Series infinitas como el límite de sumas parciales

digamos que tengo la serie s que no es otra cosa más que una suma infinita de términos genes y esto es por supuesto van desde n iguala o no hasta infinito y recordemos que esto sólo es una forma compacta de decir que estamos sumando a uno con a 2,3 y así por siempre porque porque es una infinidad de términos de verdad y ahora digamos que tenemos la fórmula de las enésimas sumas parciales verdad digamos no sé que a lo mejor tiene la fórmula 2 n cúbica entre n 1 por n más 2 muy bien entonces a partir de esta información te hago la siguiente pregunta y que deberías ver si puedes responderla por tu propia cuenta será cierto que la serie converge o por el contrario será que la serie divergen porque a lo mejor es lo que está ocurriendo es que estamos sumando tantos números que esta serie o esta suma infinita crece y no está acotada verdad o pues al revés qué esta serie converge algún valor específico verdad así que una forma de resolver este problema o quizás una forma de pensarlo es que la serie que tenemos originalmente no es otra cosa más que el límite cuando n tiende a infinito de las sumas parciales verdad entonces lo que estamos diciendo aquí es que puedes imaginar una sucesión de números que está dada por las distintas sumas parciales s1 s2 y s3 y así sucesivamente entonces aquí estamos sumando sólo a uno aquí estamos sumando a uno más a dos aquí estamos sumando a uno más a dos más a tres y así vamos con esta sucesión de términos que están dadas por las sumas parciales entonces a medida que aumenta estamos sumando más términos y quiere decir que estamos atendiendo al valor de esta serie muy bien entonces la pregunta es qué pasa a la larga con las s n y otra forma de pensarlo es como que esta serie ese es la suma de los de la primera infinidad de números quizás no tiene tanto sentido pues también una forma de pensarlo muy bien entonces si esto que estamos diciendo es como estamos calculando el valor de esta serie pues podemos simplemente sustituir la fórmula que nos habían dado verdad entonces tenemos el límite cuando n tiende a infinito de 2n cúbica entre n 1 x + 2 muy bien y aquí por supuesto uno puede rápidamente ver que en el denominador hay un polinomio de grado 2 verdad si uno hiciera el producto de n más uno por ende más 2 nos queda un polinomio de grado 2 en la variable n verdad y el grado de ese polinomio es menor que el del numerador que se me cúbica entonces quien va creciendo más rápido es el numerador y eso haría que este límite tiende a infinito es decir que no está acotada esta sucesión de sumas parciales verdad ahora quizás esto lo dije muy rápido vamos a hacerlo con más calma ok primero multiplicamos el denominador esto es el límite cuando n tiende a infinito de 2n cúbica entre n cuadrada más 3 n + 2 verdad sería la suma de los términos constantes y después el producto muy bien ahora bien calculamos este límite lo que vamos a hacer es dividir en el numerador y en el denominador entre n cuadrada entonces qué es lo que tenemos límite cuando entiende infinito d si dividimos 2n cúbica entre n cuadrada nos queda 2 n la hora n cuadrada entre n cuadrados 13 n entre n cuadrada es 3 / n y 2 entre n cuadrada pues es eso 2 entre n cuadrada y ahora si nosotros aplicamos este límite arriba esto tenderá a infinito verdad 2 n tiende a infinito mientras que en el denominador lo que ocurre es que esto tiende a 0 esto también tiende a cero y entonces todo el denominador tiende a 1 verdad entonces ya hemos visto algunos ejemplos de estos límites cuando tenemos esta situación podemos garantizar que el límite es infinito nada más que lo voy a pintar bien muy bien entonces el valor de la serie es infinito es decir estamos diciendo que esta serie divergen muy bien esta serie s tiene un valor infinito es decir estamos diciendo que divergen no está acotada muy bien así que si el límite hubiera tomado por ejemplo un valor finito entonces si podríamos decir que la serie converge verdad lo único que estamos diciendo en este momento es que si tenemos una fórmula de las sn de las sumas parciales entonces la serie la podemos ver como el límite cuando n tiende a infinito de esas sumas parciales y entonces simplemente tenemos que calcularlo y si por ejemplo en este caso el límite tiende a infinito la serie divergente