Determinante cuando se suma una fila

y llevamos jugando con nuestros determinantes para ver si podemos encontrar otras propiedades muy útiles que aunque no las vayamos a usar ahorita seguro las vamos a necesitar cuando estemos en algún otro tema de álgebra lineal entonces digamos que tengo aquí una matriz llamémosle x y esta matriz va a ser una matriz de 2 x 2 donde su primera fila va a ser la misma fila de siempre la fila a b pero la segunda fila le vamos a llamar en lugar de llamarle 6 como siempre le vamos a llamar x1 y x2 más adelante tú solo te vas a dar cuenta de por qué le estoy llamando así y también tenemos otra matriz a la cual le vamos a llamar ye que va a ser exactamente idéntica de la matriz x en la primera fila de aquí va a tener ave pero en la segunda fila tiene cualquier otra cosa digamos g1 y g2 y además tenemos una tercera matriz la matriz zeta que es igualita a estas dos matrices en su primera fila o sea tiene aquí a b pero en su segunda fila esta fila va a resultar ser la suma de estas dos filas aunque aquí va a tener x uno más de uno y en esta entrada va a tener x2 más de dos que está zeta no es para nada la suma de las matrices xy aunque por ejemplo aquí este término esta no es la suma de a massa porque aquí tendríamos dos a éste simplemente a estamos dejando toda esta fila tal cual igualita a estas dos entonces z definitivamente no es igual a x + d pero bueno algo que vas a notar lo vimos en el vídeo pasado y lo vamos a ver en este vídeo es que el determinante no es lineal con respecto a las operaciones entre matrices o sea el determinante de k por aa como vimos no era igualito acá por el determinante de a y lo mismo pasa para la suma el determinante de x + d no es igual al determinante de x más el determinante de y pero resulta que el determinante aunque no es lineal para las operaciones entre matrices si es lineal en cierta medida o sea si es lineal para las operaciones que le hagamos a una sola fila de la matriz pero bueno empecemos por ver cómo se relacionan estos tres determinantes tenemos aquí el determinante de x determinante de x que es igual a esto sí ya lo hemos hecho un millón de veces es a x x2 x x 2 - b por x17 bien el determinante de y determinante de g es igual a apoyados por dos menos b porque uno menos deport de uno y finalmente el determinante de zeta es igual a por x2 más de 2 x 2 + 2 - v x x 11 de x x 1 más de uno entonces vamos a desarrollar esta multiplicación y nos queda a preki dos más apoyados por x 2 más a x 2 - b por x 1 - b porque 17 bien y ahora pues vamos a reacomodar estos términos de manera conveniente aquí vamos a ponerle a x x 2 x x 2 - b x x 1 - b x x 1 aunque tenemos a por x 2 que es este término menos b por x 1 - p por x 1 y después vamos a sumarle a x 2 que es este término menos b porque 1 y ahora si ya podemos ver la relación entre estos dos determinantes y este determinante resulta que a x2 b x 1 es igualito a esto o sea esto de aquí este con éste que es este es igualito al determinante de x y estoy acá que es hayedos menos 21 es igualito al determinante de y ok entonces estos dos son igualitos al determinante de iu y se están sumando entonces el determinante de zeta es igual al determinante de x más el determinante del ojo z para nada es la suma de x + ok y esta propiedad sólo se da porque estas tres matrices son iguales en toda la matriz excepto en una fila en esta fila que bueno se ve como la mitad de la matriz pero eso es sólo porque estamos viendo matrices de 2 x 2 y bueno entonces iceta x y ya son iguales en toda la matriz excepto en una fila y resulta ser que justo en esa fila en la que son distintas la fila de zeta es igual a la suma de las filas de xy entonces y sólo en ese caso podemos concluir que el determinante de zeta es igual al determinante de x más el determinante de y ok es muy importante eso de que son y velitas en el resto de la matriz excepto en esa fila a ver vamos a empezar por ver otro ejemplo vamos a hacer lo mismo pero para matrices de 3 por 3 y después vamos al caso más general con matrices de n por n que en realidad hacer esta demostración para matrices de n por n es lo más sencillo pero como es muy abstracto vamos a empezar por el de 3 x 3 entonces empecemos por redefinir todas nuestras matrices de arriba vamos a tener una equis pero en su versión de 3 x 3 y ésta va a ser igual a b y vamos a hacer que la última fila sea la que cambia de matriz en matriz entonces aquí tenemos de efe pero sabes que mejor o mejor si vamos a hacer que la de enmedio sea la que cambia de matriz a matriz para que no creas que esto sólo funciona con la pila de esta abajo o sea también se puede hacer con la fila de enmedio y de hecho se puede hacer con la pila de hasta arriba pero vamos a hacer la de enmedio entonces tenemos aquí x 1 x 2 x 3 y después d efe entonces cuál es el determinante de x y vamos a sacar el determinante de x y para sacarlo esta vez vamos a usar esta fila porque esa es la que nos conviene así es que el determinante de x es x 1 x 1 por su signo que en este caso como es una matriz de 3 por 3 lo más fácil es dibujar nuestro tablero de ajedrez de signos que se acuerdan como iba a llevar más - - - - más no aquí ya me equivoqué estamos aquí entonces aquí hay un menos y aquí por lo tanto tiene que haber un más menos más menos más baja ese sí es nuestro tablero de ajedrez decidimos entonces x1 está aquí o sea que le toca este signo o sea menos x 1 por el determinante de la sub matriz de tachar la pila y la columna osea bs.f y después nos toque aún más 2 por el determinante de seguro esto ya lo puedes hacer con los ojos cerrados x2 quitamos y quitamos acb efe a ser de efe y ahora nos toca un menos menos x 3 por el determinante de la sub matriz que nos queda de quitar la fila y la columna que contiene un x 3 o sea nos queda a b d de d y listo ahí está el determinante de x haber pero creo que este tablero de ajedrez me va a probar al rato entonces vamos a borrarlo de una vez y vamos a redefinir nuestra matriz ya y esta matriz va a ser igual a vamos a dejar exactamente estas dos filas tal cual como están en la matriz x o sea nos queda aquí d efe pero la fila de en medio vamos a ponerle otra cosa que en este caso va a ser de 1 2 y 3 y cuál es el determinante de y pues va a ser muy parecido al determinante de x y vamos a sacarlo a lo largo de esta misma fila en que la fila que está distinta entre estas dos matrices y entonces lo que nos queda es como estas dos matrices son igualitas excepto por esta fila y vamos a sacar el determinante a lo largo de esta fila entonces lo que nos queda es el mismo signo menos después de 1 y 1 en lugar de x 1 y a la hora de sacar el determinante de la sub matriz pues la sub matriz va a ser exactamente la misma o sea porque tachamos la fila que contiene allí uno que es la única fila que está distinta entre estas dos matrices y nos queda el determinante de la sub matriz bs sí efe que es exactamente el determinante de la misma su matriz que nos queda acá entonces ya podemos dejar de hacer tantas cuentas y para el siguiente término sabemos que es de 272 sumado por el determinante de ac de f este mismo determinante y después nos queda menos de 3 por el determinante de a b d bien ahora vamos a definir a la última matriz de 3 x 3 adivinen cuál va a ser la matriz zeta que va a ser exactamente igual a estas dos matrices en la primera fila y en la última fila o sea vamos a tener aquí a b c d efe pero en esta pila lo que vamos a tener es la suma de estas dos pilas aunque entonces aquí vamos a tener x uno más de uno x 1 más 1 en este lugar vamos a tener x 2 más de 2 x 2 + 2 y en esta última entrada vamos a tener x 3 más de 3 x 3 más de 3 y ahora vamos a sacar el determinante de zeta y lo que más nos conviene es usar esta fila entonces tenemos la primera entrada que es x 1 + con su signo es más o menos aunque aquí tenemos un signo menos por el determinante de echamos está ahí está y nos queda bs.f b al igual que aquí y aquí y después nos vamos con la siguiente entrada que tiene un signo + - + más la entrada x2 más de 2 x 2 más de 2 por el determinante tachamos tachamos hace de f efe igual y nos toca el signo menos 10 x 3 más de 3 x 3 más de 3 por el determinante de tachamos y tache más si nos queda de d que es igual a igual muy bien entonces creo que ya sabes dónde va esto entonces podemos observar que si sumamos este término con este término lo que nos queda es este término na o sea los tres tienen este determinante de esta matriz y este es menos x 1 + menos de 1 y eso lo que nos dáis menos x uno más de uno y todos están multiplicando a este determinante aunque entonces esté más este nos queda este término y lo mismo pasa con estos términos o sea este término más este término nos da este término y finalmente debería de subrayar lo distinto verdad este término más este término nos da este término y finalmente este término más este término nos da este término bien entonces eso lo que nos dice es que el determinante de x más el determinante de g es igual al determinante de zeta aquí entonces ya demostramos esto para las matrices de 3 por 3 recordando otra vez hay que hacer hincapié en esto porque es muy importante que estas tres matrices son exactamente igual en toda la matriz excepto en una fila ok y justo en esas filas la fila de z es igual a la fila de x más la fila de y entonces pues lo que tenemos que hacer ahora es demostrarlo para cualquier matriz de n por n para saber que realmente cierto de forma general y no nada más para los casos de matrices de dos productos de tres por tres pero hay que mantener este ejemplo en mente es mucho más fácil visualizarlo para matrices de tres por tres porque en matrices de n por n a veces puede ser difícil qué estamos haciendo entonces vamos a empezar por hacer más espacio entonces vamos a volver a empezar por redefinir todas nuestras matrices vamos a empezar por x x va a ser una matriz de n por n al igual que jay-z pero esta matriz tenemos esta matriz que es la típica matriz a con sus entradas a 11 a 12 no seguimos está el n a 1 n en la segunda fila tiene a 21 a 22 y así hasta a 2 n y pues no vamos a saltar muchas filas el chiste es que cuando llegamos a la décima fila vamos a reemplazar esa fila por otros números que van a ser distintos no sé en lugar de hacer los típicos ahí j ahora van a ser x 1 x 2 y así hasta llegar a x m y más abajo pues tenemos otra vez el resto de las filas con puras entradas as aunque hoy aquí llegamos a n1 y n2 y así está en m y ahora vamos con nuestra matriz ya que también va a ser una matriz de n por n o sea si ésta es una matriz de 10 por 10 entonces ésta va a ser una matriz de 10 por 10 también aunque y tenemos aquí la matriz que va a ser idéntica a la matriz x excepto en la décima fila ok en la primera fila tiene al a 11 en este mismo a 11 después a 12 y así hasta llegar al 1 ene y después del 21 a 22 hasta llegar a 2 n y todas estas pilas van a ser iguales hasta que lleguemos a la décima fila ok en esta décima fila en lugar de tener el mismo x1 de esta matriz ahora vamos a poner un 1 y un 2 y todas estas entradas van a ser algo que pueden ser distintas estas x cotas hasta llegar al de n y después otra vez aquí en el resto de las filas vamos a tener exactamente las mismas entradas que en la matriz x en todas estas entradas que son las as con algunos subíndice o sea que aquí tenemos a en 1 n 2 y así hasta llegar al a nm ok y está ahí pues si es tener una matriz de 10 x 10 y este era la séptima fila ósea y es igual a 7 entonces ésta también va a ser una matriz de 10 por 10 y ésta también va a hacer la fila 7 y ahora vamos a poner a la matriz zeta también hacer una matriz en evergreen aunque es igual va a tener las mismas pilas excepto en la décima fila o sea que aquí tenemos a uno a uno dos y así hasta llegar a 1 n después a 21 a 22 a 2 ene y entonces todas estas filas van a ser exactamente iguales a las primeras y menos un filas de equis y b y gay pero cuando llegamos a la misma fila esta fila va a ser exactamente igual a la décima fila de x más la décima fila de y aunque entonces aquí tenemos x 1 más 1 x 2 más 2 y así hasta x en más de n ok esto es nuestra y es imagina que es distinta en cada una de las matrices pero el resto de la matriz todas estas otras filas también van a ser exactamente iguales a las pilas de x ya las filas de iu aunque entonces aquí tenemos a n 1 n 2 y así hasta llegar a n m este es un caso muy particular y es en este caso tan particular que vamos a sacar el determinante de z entonces empecemos por sacar el determinante de x que le he estado llamando mucho últimamente tal cual determinante de x para sacar este determinante voy a usar la anotación de suma espero que se acuerden del vídeo pasado esta suma y pues vamos a sacar el determinante de x a lo largo de esta pila que es la pila que está distinta entonces lo primero que tenemos que hacer es encontrar el signo de esta entrada y para hacer eso lo que hacemos es tomar el menos 1 y elevarlo a la potencia de la fila y la columna en la que se encuentra ok estamos en la fila y estamos en la primera columna o sea que aquí va un 1 aunque hay ese es el signo de esta entrada este es el signo que nos daría nuestro tablero de ajedrez en caso de que tuviéramos nuestro tablero de n por n y supiéramos en cuál entrada buscar entonces multiplicamos el signo por nuestra entrada que es x 1 x 1 y por el determinante de la sub matriz que nos queda de eliminar esta fila y esta columna y pues para denotar a esa su matriz lo que vamos a hacer como estamos tachando la única fila que tiene x y todas las demás entradas son as entonces pues podemos pensar que hay una matriz que tiene puras entradas as y al final de cuentas si tachamos la única fila que no tiene hadas entonces la sub matriz de esa esa matriz a ok la sub matriz y j donde j es cualquiera de estas columnas está su matriz va a ser igual a cualquier sub matriz de x que se tome en la entrada y ok entonces aquí nos tocaría la sub matriz x y 1 pero esta sub matriz es exactamente igual a la suma triste y uno pero mucho cuidado aquí le estamos poniendo puros uno es cuando aquí estamos usando la anotación de suma y la suma va a correr a lo largo de todas las columnas desde la primera columna o sea desde que jota es igual a 1 hasta la enésima columna o sea cuando jota vale n entonces aquí tenemos que poner en el lugar del número de la columna que en este caso fue la primera columna tendremos que poner j j j j y listo este es el determinante de x esta expresión de suma lo que hace es ir sustituyendo el uno el dos el tres y así hasta el número n en cada uno de los lugares donde aparece la jota y sumar todas esas cantidades aunque hay entonces nos queda tal cual el determinante de x así es que vamos a sacar el determinante de elche el determinante de g y eso es exactamente igual a la suma desde que jota es igual a 1 hasta n de el signo de nuestra entrada ok el signo de nuestra entrada que es menos 1 a la y más j por nuestra entrada por de jota por el determinante de la sub matriz que nos queda de quitar la fila y la columna ok y otra vez como vamos a quitar la única fila que no tienen términos as entonces esta suv matriz es exactamente la misma su matriz que está sub matriz aunque hay que es la sub matriz j y finalmente saquemos el determinante de z determinante de zeta aunque éste también lo vamos a escribir en su forma de sume la suma hoy aquí me faltó estos palitos de la suma van estos perritos de la suma y es nuestro signo en la entrada y coma j por nuestra entrada que en este caso es x j más j por el determinante de la sub matriz que nos queda de eliminar la fila y la columna correspondiente y como estamos tachando justo la única fila que es distinta de las demás matrices y a la matriz a entonces aquí nos queda la sub matriz a y jota y me imagino que tú ya sabes perfectamente qué es lo que voy a decir ahorita pero aquí tenemos que estos términos son exactamente iguales a la suma de estos dos términos que tenemos que estas cosas son idénticas a estas dos cosas y los términos restantes estos dos términos si los sumamos nos queda este término entonces desde jota igual a uno hasta n vamos sumando término con término y nos queda esta suma así es que el determinante de x más el determinante de y es igual al determinante de zeta y listo ya terminamos de probar para este caso remarcó muy particular en el que las tres matrices son exactamente iguales en toda la matriz excepto en una sola fila y además la fila que es distinta de una de esas tres matrices es igual a la suma de las pilas que son distintas de las otras dos matrices ok este es el único caso en el que podemos hacer la afirmación general de que el determinante de x más el determinante de g es igual al determinante de zeta no es el caso para nada es el caso y déjame lo escribo por aquí no sucede se ve que si z es igual a x más que eso no implica para nada implica que el determinante de z sea igual al determinante de x no es el determinante de jay ok bien entonces los determinantes no son lineales con respecto a la suma de matrices en general con respecto a las operaciones entre matrices sólo son lineales con respecto a que algunas filas sean la suma de otras filas de otras matrices que sean idénticas entre ellas excepto en esa fila bueno espero que encuentres muy útil este vídeo y nos vemos próximamente