Determinante de la multiplicación de una fila por un escalar

ahora veamos qué pasa con los determinantes cuando multiplicamos una de sus filas por un escalar entonces tenemos una matriz la matriz a b y por definición nosotros sabemos que este determinante es igual a de menos bs ok así lo definimos pero ahora nos podemos preguntar qué pasa cuando tenemos una matriz que tiene esta forma aunque la primera fila se queda exactamente igual a b pero la segunda fila es muy parecida a la segunda fila de esta matriz pero está multiplicada por un escalar ok cada una de las entradas las multiplicamos por una k entonces tenemos que ser y por aquí tenemos que por de y veamos cuál es su determinante por definición el determinante de esta matriz es tal cual a por acá de que también lo podemos escribir como acá a b - b porque hace que también lo podemos escribir como que a b c cierto bien entonces ya que tenemos esto así podemos factorizar la acá y lo que nos queda es que por a d - abc y nada más viendo estas dos cantidades uno a uno le salta a la vista que esta cantidad es exactamente igual a esta cantidad cierto entonces a final de cuentas este determinante es igual a que destaca por el determinante de esta matriz por el determinante de a ok entonces si en una matriz tomamos una de las filas y la multiplicamos por un escalar y después sacamos el determinante este determinante es exactamente igual a ese escalar o se destaca por el determinante de la matriz original ok ahora no tenemos que nada más multiplicamos una de las filas por el escalar si multiplicamos toda la matriz por el escalar como ésta es una matriz de dos por dos entonces eso es equivalente a multiplicar las dos filas por el escalar y entonces estamos haciendo este procedimiento dos veces y aquí nos va a quedar cada porque a ver digamos que tenemos una matriz la matriz a que es igual o sorpresa a b v y multiplicamos toda la matriz por un escalar ok eso es la matriz cada x esta matriz es lo que obtenemos al multiplicar cada una de las entradas porque entonces que tenemos que a cada vez que se ahora si multiplicamos toda la matriz por el escalar que entonces va a saber que a la hora de sacar el determinante bk o sea si sacamos el determinante de acá y acá ve que se está usando nuestra definición va a saber que nos quedan puros términos de acá al cuadrado por otra cosa aquí usando la definición este determinante es igual a que a por cade y eso es que a cuadrada por ave y luego tenemos que restar este por éste que es cabe porque hace o sea que a cuadrada por b c y ahora actualizamos la cal cuadrada y nos queda que cuadrada x - bc y como este es el determinante de nuestra matriz a entonces esto es igual a que a cuadrada por el determinante de la matriz a ok pero esto esto de que sea k al cuadrado es sólo para matrices de 2 por 2 porque las matrices de 2 por 2 tienen dos filas ok hay que tener mucho cuidado con eso para matrices de n por n vas a ver más adelante que este escalar entonces se eleva a la enésima potencia porque tiene n filas entonces lo que uno realmente tiene que recordar es que si tienes una matriz y cambias o una sola de las filas esas filas las multiplicas por qué pero dejas exactamente igual al resto de la matriz entonces el determinante de esta nueva matriz es que a veces el determinante de la matriz anterior que estamos cambiando una sola de las filas multiplicando la por acá entonces vamos a ver más ejemplos vamos a empezar por hacer lo mismo para matrices de 3 x 3 y ya después nos vamos al caso general y bueno no tienes por qué multiplicar la última fila de la matriz o sea nosotros hicimos este ejemplo multiplicando la última fila pero claramente funciona exactamente igual si multiplicamos la primera fila en lugar de la segunda si no me crees intentarlo pero bueno más con las matrices de 3 por 3 que tenemos aquí nuestra matriz llamémosle a otra vez estoy redefiniendo y este es una matriz de 3 x 3 d efe h y entonces empecemos sacando el determinante de a vamos a escoger una fila recuerden que podemos escoger cualquier fila o cualquier columna y sacar el determinante usando esa fila pero pues escogí esta y bueno de hecho escogí esta fila porque es la fila a la que vamos a multiplicar por un escalar entonces el determinante de a usando esta fila es igual a lo primero que tenemos que hacer es recordar nuestro tablero de ajedrez de signos se acuerdan aquí teníamos uno más menos más menos más más - menos más cierto entonces vamos a empezar por acá y a esta entrada le toca este signo o sea que empezamos con menos de por el determinante de la sub matriz que nos queda de quitar la fila que contiene b y la columna que contiene osea el determinante de bc h v c h y ahora tenemos que sumar por el determinante de tachar la columna y la fila y nos queda a cg ah sí y finalmente nos toca aún menos - efe por el determinante de tachamos pillay columna y nos queda a bg h a ver h ok vamos a hacer un poco más de espacio porque ahora vamos a definir otra materia es la matriz prima y esta matriz a primera ser muy parecida a nuestra matriz a pero vamos a escoger esta fila y la vamos a multiplicar por acá qué hay de hecho escogimos esta pila para sacar el determinante a lo largo de esta fila porque eso va a simplificar muchísimo nuestra prueba aunque entonces multiplicamos esta fila porque y entonces nos queda a ver que el resto de la matriz va a ser exactamente igual h pero esta fila es que a veces esta fila aunque entonces que de acá efe ok notemos que esta nueva matriz para nada se puede escribir como acá ok esta matriz no es que si fuera acá a estas dos filas también las tendríamos que haber multiplicado por acá y por eso la llamamos a prima porque se parece mucho a a pero tampoco esa ok entonces pues vamos a sacar su determinante el determinante de a prima y pues vamos a usar esta fila porque esa es la pila que hace que las cuentas salgan muy rápida entonces este determinante es nos vamos a buscar el signo nos toca un menos grave por el determinante que nos queda de quitar la fila y la columna que contiene una clave aunque hay que es exactamente la misma sub matriz que tenemos por acá cierto o sea porque estamos en el mismo lugar y las otras dos filas que no estamos tachando son exactamente iguales entonces estos dos determinantes son idénticos ok h y lo mismo pasa para el resto de la pila y aquí nos toca más acá y más acá y como estas dos filas son igualitas a estas dos filas entonces nos va a quedar el mismo determinante acg y y y finalmente menos menos acá efe por el determinante a bg h a así es que aquí tenemos algo muy bonito porque como los determinantes son iguales y aquí tenemos una f efe y de i d y los signos además también son igualitos lo cual tiene todo el sentido del mundo porque esta matriz lo obtuvimos a partir de ésta simplemente multiplicando esta fila porque entonces podemos factorizar la k de toda esta cosa y nos queda entonces que esto es igual a que por toda esta cosa que es igual a esta cosa que es exactamente igual al determinante de a y determinante de y listo el determinante de la matriz de la cual tomamos una fila y la multiplicamos porque es exactamente igual acá veces el determinante de la matriz original entonces esta cosa funciona también para matrices de 3 por 3 y pues elegí la fila de en medio pero sabemos todos que eso funciona para cualquier fila y si no me cree también puedes hacerlo tú por tu cuenta nada más te recomiendo que ésta que es el determinante a lo largo de la fila a la cual vas a multiplicar porque porque hace las cuentas mucho más sencillas como acabamos de ver entonces ahora sí ahora sí vamos al caso general porque ahorita te ha dado puros ejemplos que no son completamente particulares porque aquí no tenemos números tenemos letras y entonces estamos representando a todas las matrices de 3 por 3 ya todas las matrices de 2 por 2 pero se puede demostrar para cualquier matriz de n por n donde la dimensión n puede ser del tamaño que se nos ocurra en cualquier momento y como la prueba no es nada enredos tenemos que hacerla entonces tenemos nuestra matriz a que ahora va a ser una matriz de n por n n por n y empezamos por la primera fila y en la primera fila tenemos la entrada a 11 le llamamos 11 porque está en la primera fila y primera columna después tenemos el 12 a 13 y así nos seguimos hasta que llegamos al ah1n1 que hay de que está en la primera fila y enésima columna y luego tenemos la segunda fila y empieza con el 21 y la siguiente entrada es el 22 y así nos seguimos hasta llegar al a 2n y nos vamos a saltar todas las filas hasta llegar a la décima fila porque esa es la fila a la que vamos a multiplicar por el escalar que aunque hay entonces empezamos a contar primeras filas en una fila y así hasta que llegamos a la décima fila y su centrada de la décima fila son uno de que está en la décima fila y primera columna a dos y 3 y así nos seguimos hasta llegar al ad y n y luego hay muchas otras pilas hasta que llegamos a la enésima fila a n1 y n2 y n3 hasta llegar al a nm esta es la matriz más general a la que puedes llegar aunque con dimensión arbitraria y cada una de sus entradas también las que se te ocurran en el segundo muy bien entonces ahora vamos a sacar el determinante esta matriz está en general el determinante b vamos a usar esta fila que es la que vamos a multiplicar por una escalar para sacar el determinante de la matriz a ok entonces empezamos por este coeficiente a y 1 y tenemos que multiplicar esta entrada por su signo pero ahí es donde podríamos tener un problema porque ni siquiera tenemos bien definido de qué tamaño es la matriz ni sabemos cuál exactamente es la pila y por qué lo están tratando de hacer de la forma más general posible entonces ni sabemos a qué tablero de ajedrez de signos tenemos que ir y menos sabemos cuál de las entradas del tablero de ajedrez tenemos que escoger ok porque lo estamos haciendo la forma más general posible así es que tenemos tenemos que recurrir a nuestra función destino y la función de signo para esta entrada es simplemente menos 1 a la y + 1 esta cosa de aquí de la entrada y como uno a la que también le llamamos tablero de ajedrez décimas tablero de pérez muy bien ahora ya que tenemos el signo de la entrada ahora tenemos que multiplicar por el determinante de la sub matriz que nos queda y quitar la fila en la que se encuentra nuestra entrada y la columna en la que se encuentra aunque yo sea tachamos esta columna y esta fila y lo que nos queda es tal cual la sub matriz a y 1 ok esta es una sub matriz de dimensión en el -1 por n 1 que definimos hace algunos vídeos exactamente como la sub matriz que nos queda de eliminar la yesi martí la y la primera columna entonces sacamos su determinante y lo multiplicamos por la entrada y por su signo y listo ahora tenemos que hacer eso con cada una de las entradas de esta fila aunque entonces nos toca sumarle la entrada a 2 multiplicada por el signo de la entrada hay dos que está al cual menos uno elevado a la potencia y más dos y después multiplicarla por el determinante de la sub matriz a y 2 que es la sub matriz quita la décima fila y la segunda columna y así seguimos sumando muchísimo hasta que sumamos todos los términos hasta que llegamos a la entrada a y en la multiplicamos por su signo que es menos 1 elevado a la y más n encima potencia y multiplicamos también por el determinante de la sub matriz a&n ok entonces este es el determinante de la matriz pero resulta que se puede escribir de una forma muchísimo más sencilla y lo que vamos a hacer es usar esta anotación para las sumas y aquí le ponemos el término general que en este caso va a ser a hijo te doy la cota va a representar al 1 al 2 al 3 blah blah blah blah blah blah blah blah blah hasta llegar a la enésima columna aunque ella sea la j va a variar desde que es igual a 1 hasta que jota llega a tomar el valor de n y luego éste se está multiplicando por menos 1 a la potencia y más n y esté a la potencia y más 2 y esté a la potencia y más 1 entonces aquí tenemos que elevarlo a la potencia y que se queda igualito más la jota que varía desde uno hasta n y luego multiplicar por el determinante de la sub matriz a y por la j que varía desde 1 pasa por el 2 y por todos los demás números hasta llegar al enésimo entonces vamos a ponerlo por aquí una jota y listo esta es la notación general este símbolo lo que indica es que en esta fórmula vamos a ir sumando cada uno de estos valores sustituyendo primero la jota por un 1 y nos queda este término después le sumamos este término sustituyendo a la jota por un 2 y nos queda este término y después sumándole este término sustituyendo la jota por un 3 y así hasta llegar a sustituir la jota por una n ok esta cosa de aquí es equivalente a esta suma de términos entonces ahora sí ya vayamos a lo que íbamos vamos a tomar esta matriz y lo vamos a dejar exactamente igual en todas sus filas excepto en esta que la vamos a multiplicar por una acá entonces en lugar de volver a escribir déjame nada más la copio ok entonces lo que hice fue copiar todas estas cosas y ponerlas por aquel que da un poquito amontonado pero ni modo y lo que vamos a hacer con esta copia de la matriz es convertirla a otra matriz a la matriz a prima que tiene una de sus filas multiplicada por un escalar que de hecho vamos a tomar esta fila para multiplicar la por un escalar que o sea que aquí en lugar de tener la entrada 1 vamos a tener la entrada que por ahí uno y aquí la entrada que por ahí 2 y aquí queda por hay 3 y que por ahí n y ahora veamos cómo afecta esto a nuestro determinante aunque aquí estamos sacando el determinante de a prima y entonces vamos a utilizar la misma fila que usamos aquí arriba aunque esta fila así es que nuestro primer término es este término que ahora en lugar de ser a y uno va a ser que por hay uno el signo va a ser exactamente el mismo y la sub matriz de la cual tenemos que sacar el determinante también es exactamente igual porque está su matriz lo que hace es quitar esta fila que es la única fila que modificamos de la matriz a ivana también quita esta columna pero el chiste es que todos estos términos siguen siendo exactamente iguales ar matriz que no tiene esta modificación sobre esta pila ok entonces la sub matriz ahí 1 primer en realidad está exactamente igual a la sub matriz hay una aunque entonces de hecho le vamos a quitar la primera que entonces vamos con la siguiente entrada ahora en lugar de ser a 2 va a ser acá por hay 2 el signo va a ser exactamente el mismo la su matriz va a ser exactamente igual entonces lo vamos a dejar así y así nos seguimos con todos los términos por aquí en el a y n en lugar a tener ahí n vamos a tener cada por ahí n que por ahí en el signo es el mismo el determinante de la sub matriz también es el mismo y listo ya terminamos de calcular el determinante de a prima y aquí lo que vamos a tener es la suma desde que jota es igual a 1 hasta aquí cota es igual a n de menos 1 a la mascota por acá por ahí j por el determinante de la sub matriz a prima y j pero todos estos determinantes son iguales como vimos en estos tres casos entonces lo podemos quitar la primera y aquí pasa algo curioso porque como está cada no tiene nada que ver con la cota entonces la podemos sacar de la suma que es equivalente a factorizar la ok entonces la ponemos por aquí multiplicando toda la suma y le quitamos d y entonces lo que nos queda tanto en esta suma como en los términos aquí explícitos lo que tenemos es que el determinante de a prima es igual a que a veces el determinante de a cierto aquí tenemos las caras si las factorizar todas nos queda tal cual lo que teníamos aquí arriba aunque entonces el determinante de la primera es que a veces el determinante de siempre que a prima se haya obtenido a partir de a modificando una sola fila multiplicando esa fila por un escalar acá y quiero remarcarlo así como lo vimos al principio del vídeo para las matrices de 2 x 2 esta matriz es muy distinta al matriz que por a ok en el caso de k para todas las filas se están multiplicando por el ska lorca ok y su determinante su determinante es por ejemplo si tenemos aquí la matriz 11 hasta a 1 n y por aquí estaba hasta la n 1 hasta la n n gay si multiplicamos todas las filas todas estas pilas las multiplicamos por qué ok que es a lo que nosotros llamamos acá por a eso es equivalente a multiplicar cada una de estas filas por el escalar que aquí hay pero cada que multiplicamos una de estas filas por el escalar acá si le sacamos el determinante lo que nos queda es el determinante de a por una caja ok esto es sin nada nos hubiéramos multiplicado la primera fila por acá ok si ahora multiplicamos la segunda fila por acá entonces aquí tenemos que volver a multiplicar porque osea que nos queda acá al cuadrado si después multiplicamos la tercera fila porque entonces nos va a quedar aquí que al cubo y así como son n filas entonces aquí lo que nos va a quedar es que a la enésima potencia por el determinante de a ok entonces hay que tener mucho ojo con eso