Derivar un método para determinar inversas

tengo aquí una matriz y lo que quiero hacer es escribirla en su forma escalonada reducida y hemos hecho eso un montón de veces ya y pues lo que hacemos es hacer operaciones elementales operaciones de fila donde sumamos sólo resta vamos una fila a otra fila en todas esas cosas pero bueno lo que yo quiero hacer en este vídeo es que veamos que todas esas operaciones de fila se pueden ver como operaciones lineales sobre los vectores columna de esta matriz porque hay sobre estos vectores y déjame te enseño todo esto haciendo un ejemplo ok entonces queremos escribir esta matriz en su forma escalonada reducida entonces lo primero que vamos a hacer es dejar la primera fila tal cual como está o sea aquí vamos a tener uno menos uno y sabes que de una vez vamos a hacer la transformación lineal ok lo que estamos diciendo es que hay una transformación lineal llamémosle t 1 que va a mandar a vectores columna o sea cada uno de estos vectores que es un vector columna y esta transformación va a mandar a estos vectores columna en otros vectores pero además va a ser una transformación lineal ok y como queremos transformar a esta matriz a su forma escalonada reducida pues necesitamos que esta entrada sigue siendo un 1 entonces pues podemos empezar por dejar esta primera fila en su lugar ok a 1 la vamos a dejar como a 1 y aquí ya la tenemos escrita después queremos que esta entrada se transforme en un 0 y qué podemos hacer para hacer eso pues a esta segunda fila le sumaríamos la primera fila y con eso ya aquí nos queda un 0 entonces pues hagamos eso así es que la segunda vamos a dejar en su lugar pero le vamos a sumar la primera fila entonces a cada uno de estos vectores columna dejamos la segunda entrada en su lugar y le sumamos la primera entrada que hay aquí menos uno más uno eso son cero luego aquí a este vector también le aplicamos la transformación entonces 2 más menos 1 eso es uno y aquí 3 más menos 1 esos son dos muy bien ya terminamos con la segunda fila ahora queremos que esta entrada también sea 0 y para hacer eso generalmente tomaríamos la tercera y la y le restaría mos la primera fila entonces a la tercera entrada le vamos a dejar en su lugar a 3 y le vamos a restar la primera entrada - a aplicando la transformación a cada vector columna lo que tenemos es a 3 menos a 1 o sea 11 eso es cero después aquí tenemos la tercera entrada 1 - la primera entrada o sea 1 - menos uno eso es uno más uno o sea dos y después cuatro menos menos uno o sea 415 y esta es una transformación lineal y todas las transformaciones lineales se pueden escribir como un producto de una matriz por el vector que por el vector en el cual estamos evaluando la transformación de uno de equis evaluado en x se puede escribir como una matriz llamamos le llamamos la matriz ese que está multiplicando al vector en el cual estamos hablando la transformación ok y como encontramos esta matriz s pues lo único que tenemos que hacer es tomar la matriz identidad déjame la escribo por acá y aplicarle la transformación de uno a cada uno de los vectores columna de la matriz identidad ok entonces para encontrar este aplicamos esta transformación a cada uno de los vectores columna de la matriz identidad ok entonces aplicando la transformación de uno a cada uno de los vectores columna de la matriz identidad tenemos que la primera entrada siempre se queda igual ok a uno lo está mandando a exactamente a uno aunque entonces esta entrada se queda igual 1 después de aquí el 0 también se queda igual al igual que este 0 ok estamos aplicando esta transformación de 1 simultáneamente a estos tres vectores entonces nos fijamos en la segunda entrada del vector columna y ésta nos lo está mandando a la segunda entrada más la primera entrada entonces para este vector columna esta transformación que está mandando la segunda entrada a 0 +1 0 +1 es 1 ok aplicándole al vector de la derecha nos queda 10 también es uno y después x 0 0 es cero y ahora de uno nos manda a la última entrada de cada uno de los vectores columna a la última entrada menos la primera entrada aunque entonces para este vector columna nos lo está mandando a 0 -1 aunque yo sea menos 1 y luego aquí es 0 - 0 0 y 10 y este vector columna nos lo está mandando a este vector columna o sea aquí lo que tenemos este 1 d 0 0 y luego tenemos aquí otro vector que es el vector de 1 b 0 1 0 y el último vector columna este 1 de 0 0 1 este vector columna es tal cual de uno de 100 y bueno esta matriz que damos que le íbamos a llamar ese rey esta matriz es la matriz de esta transformación de uno entonces si nosotros creamos otra matriz una matriz donde nuestros vectores columnas sean s aplicado a el vector 1 - 1 1 o sea los vectores columna de la matriz y el segundo vector columna es la multiplicación de nuestra matriz s por el segundo vector columna b ósea por menos 121 y finalmente efe de menos 134 entonces por un lado estamos aplicándole a cada uno de los vectores columna de a la transformación que es multiplicar el vector por la matriz s y esta transformación es tal cual esta transformación de uno que es justo lo que le hicimos a la matriz a para que se convirtiera en esta otra matriz que estaba un poquito más escalonada entonces tal cual esta matriz al multiplicar cada uno de estos vectores por s lo que nos va a quedar es exactamente la misma matriz de acá y por otro lado nosotros sabemos que si multiplicamos cada uno de los vectores columna de una matriz por exactamente la misma matriz en este caso la matriz ese entonces lo que lo que tenemos realmente la multiplicación de la matriz s por la matriz a ok déjame lo escribo un poco más abajo esto de acá es igual a la matriz s 11 - 10 10 001 es la matriz que representa la transformación de uno y éstos son los vectores columna de la matriz y la matriz - 11 menos 121 menos 134 ok para dejarlo claro esta matriz ya que es la matriz s y esta matriz ya que es la matriz y la multiplicación de los dos es exactamente igual a esta matriz que teníamos por acá déjame la copio entonces esta matriz es el producto de la matriz s por la matriz o sea esta matriz es f y estoy haciendo todo esto solo para recordarte que cada vez que haces una de esas operaciones de fila cada una de estas operaciones de file o sea de sumarle una fila a la otra multiplicada por una escalada y todas esas cosas en realidad todo eso es equivalente a tomar la matriz a y multiplicarla por otra matriz que denota la transformación que le estamos aplicando a cada uno de los vectores columnas hicimos todo esto solo para recordarte que cada vez que hacemos una operación de fila lo que estamos haciendo es aplicarle una transformación lineal a cada uno de los vectores columna de la matriz a y que además eso es equivalente a multiplicar toda la matriz a por la matriz de la transformación en este caso averiguamos cuál era exactamente esa matriz s que representa esta transformación en uno que hace estas operaciones de fila pero para cualquier operación de fila tenemos una matriz similar a ésta que si la multiplicamos por la matriz a nos queda tal cual la matriz a con la operación de fila ya hecha y todo esto nos da una muy buena idea bueno pero primero hay que terminar de transformar esta matriz a su forma escalonada reducida y para eso necesitamos espacio entonces a esta matriz a esta transformación la primera que hicimos pues mejor llamémosle ese 1 para poder usar ese y ahora vamos con el siguiente conjunto de operaciones de filas en esta ocasión vamos a dejar la fila de en medio tal cual como esta y ahora lo que vamos a hacer es que estas dos entradas sean 0 y para hacer eso pues a la primera y la vamos a sumarle a la segunda fila entonces tenemos aquí 10 y después menos 110 - 12 eso es 1 y a esta tercera fila vamos a restarle dos veces la segunda fila para que nos quede aquí un solo entonces tenemos cero menos dos veces cero 2 - 2 veces 12 - 2 por 1 o sea 0 5 - dos veces 2 o sea 5 menos 4 1 entonces qué es lo que acabo de hacer a cada uno de estos vectores columna les aplique una transformación que vamos a llamarle la transformación 2 que es la transformación 2 y bueno esa transformación 2 voy a ser una situación un poquito distinta vamos a ponerle aquí que está evaluando en director y este vector columna digamos que es x 1 x 2 x 3 y bueno que es lo que hicimos con estos vectores columna pues a la segunda entrada siempre la dejamos en su lugar o sea esta fila está exactamente igual entonces al x2 a la segunda entrada la vamos a dejar tal cual como está y después en la primera entrada lo que hicimos fue tomar la primera entrada y sumarle además la segunda entrada entonces aquí tomamos la primera entrada y la dejamos así pero además le sumamos la segunda entrada y qué es lo que hicimos con la última entrada de cada vector columna pues lo que hicimos fue agarrar esa misma entrada a la entrada x 3 pero restarle dos veces la segunda entrada ok entonces aquí tenemos escribir menos 2 x 2 y bueno esta es una transformación lineal por lo tanto puede ser representada por una matriz y esta transformación es igual a tomar esa matriz que le vamos a llamar ese 2 que la representa y multiplicarlo por el vector x 1 x 2 y x entonces toda esta matriz quién es pues es el resultado de multiplicar esta segunda matriz que está representando a esta transformación por esta otra matriz ahora ya habíamos quedado que esta otra matriz de hecho lo pintamos con morado esta otra matriz es ese 1 por a entonces esta matriz de acá tiene que ser ese 2 por toda esta matriz que es ese 1 y bueno si sacamos cuál es la multiplicación de ese 2 por ese 1 y bueno si lo hacemos como antes y encontramos cuál es la matriz ese 2 y la multiplicamos por la matriz ese 1 que ya tenemos aquí abajo pues podríamos llegar desde la matriz a hasta esta otra matriz simplemente multiplicando por esta otra matriz que nos da la multiplicación de estas dos matrices pero todavía no terminamos de transformar esta matriz para que quede como una matriz escalonada reducida entonces vamos a seguir haciendo transformaciones tenemos un cero aquí y un 0 acá y esta fila ya está tal cual como queremos que se quede así es que vamos a dejarla igual y aquí a esta fila pues para que aquí nos quede un 0 vamos a reemplazar esta fila por esta fila menos dos veces esta fila aunque entonces 0 menos dos veces cero sigue siendo 0 1 - dos veces 0 es 1 y ahora sí 2 - 2 veces 1 eso es ahora para que aquí haya un 0 tenemos que reemplazar esta primera fila por la primera fila menos la última fila entonces 1 0 es 1 000 y 1 menos 10 y ya llegamos a la matriz identidad pero tenemos que escribir cuál es la transformación que usamos para ir de esta matriz a esta matriz y pues vamos a escribirla por acá de 3 de x 1 x 2 x 3 pues aquí lo que hicimos fue dejar la última fila tal cual o sea que el x3 lo vamos a mandar al x 3 la segunda fila la reemplazamos por la segunda y la menos dos veces la tercera fila y la primera fila la reemplazamos por la primera fila menos una sola vez la tercera fila y como ésta es una transformación lineal entonces tiene asociada una matriz que la representa lo vamos a llamar la matriz s 3 y entonces esta matriz de acá la podemos obtener multiplicando esa matriz s 3 por esta matriz y esta matriz será ese 2 por ese 1 por a y bueno entonces lo que obtuvimos al transformar esta matriz a su forma escalonada reducida fue exactamente igual a la identidad y eso es muy importante porque lo que nos dice tal cual como ya lo hemos visto antes es que si una matriz a la hora de transformarla a su forma escalonada reducida nos da la identidad entonces esa matriz es invertible al igual que su transformación lineal asociada acuérdense que para cada matriz en este caso es la matriz tenemos una transformación lineal asociada entonces no se llamémosle de 0 a 0 de un vector x es igual a la transformación lineal que nos da tomar la matriz a y multiplicarla por el vector x que está es la transformación lineal asociada a la matriz y como la forma escalonada reducida de la matriz a es la identidad entonces esta transformación de 0 también es invertible invertí bien ahora en este vídeo algo muy interesante paso ok tomamos la matriz a y la transformamos a su forma escalonada reducida haciendo algunas operaciones de filas pero además notamos que hacer esas operaciones de fila es exactamente equivalente a tomar la matriz a y multiplicarla por las matrices s1 s2 y s3 ok entonces esta multiplicación de la matriz a por estas otras matrices nos queda exactamente igual a la matriz identidad ahora por otro lado tenemos aquí también que todas las transformaciones que son invertibles tienen a su transformación inversa y esa transformación inversa justo lo que hace es acá vector x la matriz inversa de a por equis y la matriz inversa de a es tal cual una matriz que hace que la matriz inversa de a x la matriz a nos queda exactamente igual a la identidad entonces tenemos aquí tres matrices que cuando las multiplicamos por esta cosa que es la misma que esta cosa nos da la identidad y éste también cuando lo multiplicamos por a nos da la identidad entonces esta cosa de aquí esta multiplicación de tres matrices tiene que ser la matriz a inversa si se acuerdan aquí hicimos todos los cálculos para calcular cuál era la matriz s 1 y podríamos hacer exactamente lo mismo para calcular cuál es la matriz s 2 y para calcular la matriz s 3 y entonces lo único que tendríamos que hacer para calcular la matriz inversa sería multiplicar estas tres matrices y esto pero de hecho podemos hacer algo todavía más interesante a ver qué pasa si tomamos la matriz y ponemos a la derecha de la matriz a la matriz identidad y después lo que hacemos es a la matriz a aplicarle todo es el primer conjunto de operaciones de fila que era exactamente igual a multiplicar a por la matriz s 1 y bueno la aplicamos exactamente las mismas operaciones de fila a la matriz identidad entonces lo que nos va a quedar de este lado es simplemente la matriz s 1 sí porque aplicarle las operaciones de fila a la matriz identidad es exactamente igual a multiplicar ese 1 por la matriz y y cualquier matriz que esté multiplicando la matriz y es tal cual esa misma matriz bien entonces después de aplicarle el primer conjunto de operación de fila a la matriz lo que hicimos fue aplicarle el segundo conjunto y eso es equivalente a multiplicar toda esta matriz por la matriz ese 2 ok tomamos aquí este 22 y la multiplicamos por la matriz que ya teníamos o sea por ese 1 por a ok entonces de este lado al aplicar estas mismas operaciones de fila tenemos que multiplicar también por la matriz s 2 este 2 por ese 1 por la identidad y finalmente hacemos el tercer conjunto de operaciones de fila y eso es equivalente a multiplicar toda esta matriz que ya tenemos por la matriz s 3 que representa justo a la transformación que mueve las filas de la forma en la que las movimos entonces tenemos aquí ese 3 por ese 2 por ese 1 y de este lado también nos va a quedar ese 3 por ese 2 por ese 1 por la identidad ahora como vimos aquí esta multiplicación de matrices lo que nos da es exactamente la identidad y que es lo que nos va a dar esta multiplicación de matrices que vamos a obtener de este lado pues esto es exactamente igual a la matriz inversa y recuerda que cualquier cosa que multiplicamos por la identidad nos va a quedar exactamente ese cualquier cosa entonces ya tenemos una forma generalizada de encontrar la matriz inversa dada una matriz invertible ok lo que hacemos es tomar una matriz de aumentada y para hacer esas matrices tal cual lo que tenemos que hacer es poner la matriz y al lado de la matriz ponemos la matriz identidad y ya que tenemos nuestra matriz aumentada nos fijamos en esta parte o sea en la matriz hada y hacemos muchas operaciones de fila hasta que transformemos esta parte en la matriz identidad pero cada una de las operaciones de fila que le hagamos a esta matriz también se las tenemos que hacer a la matriz que nos queda aquí a la derecha que en un inicio es la matriz identidad entonces después de hacer muchas operaciones de fila lo que obtenemos es aquí la matriz identidad y de este lado lo que vamos a obtener es la matriz inversa así es que este es un método muy bueno y elegante para encontrar la inversa de una matriz invertible y pues vamos a verlo en el próximo vídeo vamos a ver un ejemplo yo creo que vamos a usar esta misma matriz con la que empezamos y vamos a calcular explícitamente usando este método la matriz inversa