Espacio columna de una matriz

creo que llevo mucho hablándote acerca del espacio no los de una matriz pero me gustaría tocar en este vídeo otros espacios vámonos a otros universos bueno de hecho solamente quiero ver en este vídeo el espacio columna de una matriz y el espacio columna de una matriz es bueno primero vamos a ver a nuestra matriz nuestra matriz a que va a ser de m por n hemos dicho varias veces que la podemos escribir como un conjunto de vectores de nuestros vectores b1 b2 así y cada uno de ellos es un vector columna de una columna de dos columna hasta bn columna y como sé que tenemos en el vector es porque tenemos una matriz de m por ende tenemos n columnas y además otra cosa que podemos saber es que cada uno de estos vectores columna tiene m componentes porque la matriz tiene m filas como la matriz tiene m filas cada uno de estos vectores columna tiene n componentes o existe en r m y bueno ya que tengo así a mi matriz amo y la estoy viendo de esta manera entonces yo puedo definir como el espacio columna de la matriz lo voy a denotar con una c mayúscula de am se mayúscula de a es todas las combinaciones lineales de estos vectores y quien era todas las convenciones lineales de estos vectores pues el espacio vectorial generado por todos estos vectores columna es decir b1 b2 b3 todos estos hasta pn por todos mis vectores columna de a por eso se llama el espacio columna de a y bueno no es tan difícil ver que este espacio columna de a es un sub espacio de hecho podemos probarlo justo ahorita porque el cero existe en cda el cero existencia de a porque es una combinación lineal válida para estos vectores columna de aps yo pongo cero por b 10 por b 2 y así con todas mis constantes 0 entonces voy a obtener de resultado al vector 0 y por lo tanto el 0 es un miembro del espacio columna de a ahora bien me voy a tomar a un vector a que existe en cda como a es un vector que existe espacio columna de a entonces lo podemos ver como una combinación lineal de dos vectores columna de a es decir uno por uno más de dos porque 12 así hasta almacene por ve en la pregunta es el espacio columna de la matriz a es cerrado bajo la multiplicación es decir qué pasa si yo multiplico ese por el vector a este vector existe también en los espacios columnas de la matriz am pues vamos a ver esto es exactamente lo mismo que s posee 1 por b 1 más s por 0 2 vuelve 2 más así hasta llegar a ese porcentaje lo cual también es una combinación lineal de los vectores columna de a por lo tanto ese día también debe de existir en este espacio columna de a lo que quiere decir que el espacio columna de a es cerrado bajo la multiplicación ahora ya vimos que el cero existe nada que es una de las propiedades que es cerrado bajo en la multiplicación y ahora hay que ver si es cerrado bajo la suma así que me tengo que tomar un vector que esté en el espacio columna de amd y otro vector que esté despacio columna d lo voy a llamar bien el vector b también está en el espacio columna de a además del vector hacer no se ve uno por b1 b2 b2 más fácil esta bn por ver en el labial por uwe y una vez que ya tengo al vector ahí el vector ver lo que quiero saber es si a más b existe en el espacio columna de a esta es mi pregunta y bueno para esto voy a tomarme am me voy a tomar ave y los voy a sumar a ver qué me queda quieres el vector a más del vector b pues bueno si te das cuenta tenemos hace 1 multiplicando el vector b 1 y después tenemos sumando al b1 multiplicando el vector de 1 por lo tanto si sacamos como factor común en welter b 1 me quedase uno más de uno por b 1 y después lo mismo con b2 c2 más b 2 por b 2 y después lo mismo con b 3 y así hasta llegar a b n cn que multiplica a su vez al vector de n y si te das cuenta esto es justo una combinación lineal de dos vectores columna de la matriz por lo tanto a más b existe en el espacio columna de amd y con esto acabamos de ver la tercera propiedad que necesitamos para que sea un sub espacio el cero está está cerrado bajo la multiplicación está cerrado mejor la suma y entonces concluir que el espacio columna de am es un sub espacio un sub espacio válido muy bien ahora vamos a seguir viendo cosas que tengan que ver con el espacio columna de a qué les parece si ya que tengo aquí a mi matriz am ahora pienso no sé en multiplicar la por algo así que me voy a tomar a mi matriz y ya está la voy a multiplicar por no esperar espera déjame mejor ver este conjunto el conjunto de la matriz am que multiplica a un vector x a por x como lo que teníamos la vez pasada pero recuerda que para que esto esté bien definido lo que estoy pensando es que x es un miembro de erc n porque si la matriz asm por n entonces el vector x tiene que ser de n por 1 para que la multiplicación esté bien definida entonces x existe en rn no voy a tomar el conjunto de todas estas posibilidades es decir voy a variar a todos estos vectores existentes en rn a todos los que tenga que en rn y me voy a tomar la multiplicación de la matriz a por este vector x que voy a obtener de esto fíjate bien lo que dices aquí la matriz a va a multiplicar al vector x y x existe en rn entonces que nos quedaría de esto bueno pues aquí voy a poner a mi vector x y mi vector x tiene como componentes x 1 x 2 hasta llegar a x n y esto ya habíamos visto varias veces al yo tener la multiplicación de una matriz por un vector lo podemos ver de la siguiente manera la matriz a por el vector x es exactamente lo mismo que x 1 que multiplica al primer vector columna de amd más x 2 que multiplica al segundo vector columna de an más y así nos podemos seguir hasta llegar a x n que multiplica al vector columna n de la matriz am es decir x n por b n y bueno pero qué quiere decir todo esto que si yo me tomo a un vector x en rn pues tendría una combinación lineal de los vectores columna de a ahora bien si pienso en todos los vectores que existan en rn entonces a que me estoy refiriendo a que la multiplicación a por el vector x lo puedo ver como el siguiente conjunto y lo volver de la siguiente manera esto mismo de aquí lo voy a escribir así déjenme abrir otra anotación de conjuntos porque esto lo voy a ver como x1 por ver uno más x 2 por b 2 más y así hasta llegar a x en el porve n pero lo que estoy diciendo es que aquí tanto x1 como x2 como ustedes como de hasta x n todos existen en los números reales esto es justo la definición de que el vector x exista en rn lo único que estoy haciendo es tomando me n componentes que cada una de estas componentes existen en los nuevos reales o tomando un vector en rn y bueno si lo pienso de esta manera estoy viendo que si yo lo que quiero es tomarme todas las posibles combinaciones de estos valores de x y x 1 x 2 x 3 x c n entonces esto de aquí se va a convertir en quien pues esto de aquí se va a convertir en el espacio vectorial generado por dos vectores columnas de la matriz es decir b1 b2 hasta bn el espacio vectorial generado por estos vectores columna porque tomando todas las combinaciones lineales posibles y esto es exactamente lo mismo que lo que acabamos de definir que el espacio columna de otra forma interesante de ver lo mismo no porque entonces podemos concluir que si nosotros hablamos de este espacio columna de la matriz am lo podemos ver como todas las combinaciones lineales de los vectores columna de an o en dado caso como el espacio vectorial generado por todos los vectores columna de la matriz o en su dado caso como todos los vectores x existentes en rn tales que se cumpla la multiplicación de a por equis o inclusive lo podemos ver de la siguiente manera se tenga la matriz a x el vector x y esto es igual no sé al vector b 1 es decir me estoy tomando a esta ecuación que tengo aquí esta ecuación que tengo aquí es la que quiero resolver sin embargo te digo que el vector de uno no existe en el espacio columna de amd no es un miembro del espacio columna de an entonces tú puedes construir rápidamente que esta ecuación que tenemos aquí no tiene ninguna solución y lo podemos decir con toda certeza que esta ecuación tenemos aquí no tiene ninguna solución para x porque recuerda que por equis lo habíamos visto como el espacio columna de a todas las combinaciones lineales que se forman de los vectores columna de a existen en el espacio columna de a por lo tanto si veo uno no existe en el espacio columna de a entonces la ecuación a x por b 1 no tienen ninguna solución no tiene ninguna solución y de la misma manera si yo me tomo la ecuación a x igual a b 2 y te digo que esta ecuación tiene al menos una solución con quien tenga una solución esta ecuación en otras palabras estoy diciendo que ve dos forzosamente debe de existir en el espacio columna de a porque lo podemos ver como una combinación lineal de los vectores columna de amd entonces en este caso concluimos que m2 debe de existir en el espacio columna de a déjame escribirlo aquí aquí podemos concluir entonces que b 2 es un miembro del espacio columna de am porque lo podemos ver con una combinación lineal de los vectores columna de a recuerda que si queremos concluir este vídeo podemos decir que el espacio columna de an es igual a todas las combinaciones lineales de los vectores columna de amd que a su vez es igual al espacio generado por todos los vectores columna de a que a su vez todo esto es igual al conjunto de los vectores x extender en el rn a todos los vectores x existentes en rn con los cuales podemos tomar la multiplicación de a por x de cualquier manera creo que te voy a dejar por aquí porque ya tienes bastantes cosas abstractas que pensar acabando este vídeo y en el siguiente par de vídeos voy a tratar de juntar todo lo que hemos visto es decir los espacios columnas los espacios nulos y todo lo demás para entender perfectamente la multiplicación de una matriz por un vector y esto visto desde cualquier forma posible así que no te pierdas nuestros siguientes vídeos