Producto de una matriz por un vector

en los últimos vídeos hemos hablado acerca de la idea de una matriz que en realidad solamente es un arreglo de números que usualmente se hace de dos por dos un arreglo bidimensional de hecho casi siempre utilizamos un arreglo bidimensional sin embargo visto de una forma general si tengo una matriz de m por n m es solamente el número de filas y n es el número de columnas filas por columnas entonces dejen de escribir una matriz de m por n por aquí de una manera general voy a llamar a esta matriz a y bueno recuerda que las matrices se denotan con mayúscula y con negritas y esta matriz a es igual aquí en la primera entrada es esta la llamaré a minúscula y está en la fila 1 columna 1 la siguiente entrada está en la fila 1 columna 2 y así nos seguimos que las n columnas que tiene esta matriz hasta llegar a la componente que está en la fila 1 columna en él y ahora vamos a fijarnos en las filas aquí abajo tendremos la componente a minúscula fila 2 columna y así hasta pasar por las filas hasta llegar a la componente que tiene la fila m columna 1 y bueno vamos a rellenar un poco más esta matriz aquí tendríamos la componente 2 2 ya está acá tendríamos la componente a minúscula que está en la fila m columna n y aquí ya tenemos nuestra matriz a y bueno seguramente tú ya has escuchado un poco de matrices porque esto es lo que has visto en sus cursos por ejemplo de álgebra y sin embargo en esta ocasión vamos a ver matrices de una manera muy especial que nos va a ayudar a hacer muchas operaciones en un futuro lo que quiero hacer en este vídeo es cómo operar matrices con vectores qué operaciones puedo hacer si yo tengo una matriz y un vector y bueno para esto lo que voy a hacer es definir la primera operación y la primera operación que se me ocurre es la multiplicación entre una matriz y un vector entonces cómo puedo definir la multiplicación de la matriz a por el vector x y fíjate que am la estoy poniendo en mayúsculas y en negritas y el vector x voy a tomarme el vector ahora bien para definir esta multiplicación lo más importante es que nos tomemos a un vector que tenga la misma cantidad de componentes que las columnas que tienen la matriz como en este caso mi matriz general tiene n columnas entonces mi vector tiene que tener n componentes me voy a tomar un vector que tenga en la componentes supongamos que van a ser los componentes x1 x2 así hasta x n pero eso es muy importante fíjate en la cantidad de columnas que tiene la matriz a que en este caso son n y por lo tanto para definir esta multiplicación mi vector forzosamente debe de tener n componentes de cualquier otra manera no está definido esta multiplicación y bueno es que esto es una definición nada en la naturaleza nos dijo que de esto tenía que ser de esta manera sólo que algún ser humano o más bien algún matemático decidió que esta es una convención útil para definir la multiplicación de una matriz con un vector es por eso que recuerda que una definición no se demuestra y es justo por lo mismo por esta forma de definir esta multiplicación que nosotros nos vamos a tomar un vector que tenga la misma cantidad de componentes que la cantidad de columnas que tiene esta matriz am entonces déjame ponerlo aquí que nos va a quedar de la definición de multiplicar la matriz a con el vector x y recuerda que la matriz a es una mayúscula en negritas y el vector también se denota en negritas y con una flecha arriba y bueno la multiplicación de la matriz a por el vector x esto a quién va a ser igual bueno pues nos va a dar de resultado también un vector de vector pues bueno lo que hay que hacer es fijarnos en la primera entrada de la matriz y multiplicando por la primera componente del vector x es decir nos va a quedar a 1-1 que va a multiplicar a x 1 entonces dejamos escribirlo aquí a 1-1 que multiplica a su vez a la primer componente del vector x es decir x 1 más a 12 que va a multiplicar a la segunda componente de este vector a la componente x2 entonces a 12 por x 2 y así nos vamos a seguir hasta llegar a la multiplicación de la entrada a 1 n por la última componente de este vector por la componente x n y bueno esto es lo que nos sale en la primera entrada de este vector que va a ser el resultado de esta matriz por este vector y parece un poco al producto punto aunque ahorita quiero ver con más calma las propiedades de esta multiplicación por ahorita hasta aquí vamos a decir que es la primera componente de este vector porque después la siguiente componente va a ser lo siguiente ya me tomé la primera fila ahora me voy a fijar en la segunda fila y así sucesivamente y ahora vamos a fijarnos en la fila 2 esta primera fila la multiplique por todo este vector y medio esto de aquí a continuación modifica en la siguiente fila y dejamos para esto tomar otro color me voy a tomar en la segunda fila y también la voy a multiplicar por el mismo vector por todas las componentes del mismo vector me va a quedar a 21 que a su vez multiplica a x 1 + a 22 que a su vez multiplica a x2 estamos haciendo lo mismo solamente con la segunda fila más a 22 que multiplica a la componente x 2 y después a esto lo voy a seguir sumando sumando sumando sumando hasta llegar a la suma de la entrada a 2 n déjame ponerlo con el color correspondiente a la entrada a 2 n que a su vez multiplica a la última componente este vector x n y bueno así va a pasar para cada una de las filas de este vector así para la que sigue así para la que sigue así para la que sigue hasta llegar pues claro a la última fila de esta matriz es decir vamos a seguir fila tras fila tras fila tras fila hasta llegar a esta de aquí la cual la vamos a multiplicar por las componentes del vector x y me va a quedar a m 1 x x 1 m 1 aquí era 1 perdón m 1 que multiplica a la primer componente del vector x es decir x 1 ya esto le voy a sumar a m2 que va a multiplicar a la segunda componente del vector x es decir x2 y así nos vamos a seguir hasta a mn que la voy a multiplicar por la última componente del vector x que es x en y aquí ya tengo cada una de las componentes de este vector que me dio de resultado ahora bien como es un vector pues déjame llamar a esto el vector b y este vector de qué propiedades tienen quién es este vector bien bueno primero cuántas componentes tiene este vector ven y si te das cuenta multiplique cada una de estas filas por este vector x entonces si tenían m filas ni efecto resultante de esta operación va a tener en componentes te das cuenta dicho de otra manera lo que hice fue tomarme el producto punto de cada uno de estos vector fila por este vector x y este es un concepto nuevo cuando hablo de un vector fila lo que estoy diciendo es que voy a descomponer a esta matriz a en cada una de sus filas para así poder tomar el producto punto con el vector x y entonces fue justo lo que hice me tomé la primera fila después la segunda fila después la tercera fila y así hasta llegar a la nueva fila y bueno entonces podría decir que este efector d tiene como componentes b1 b2 b3 hasta de m m componentes tiene este vector b y entonces ya me estoy dando cuenta que al menos puedo saber cuántas componentes tienen mi resultado de esta multiplicación que esté definiendo y es que fíjate lo siguiente esto es muy importante mi matriz am era una matriz m por n en el filas n columnas mientras que el vector x por otra parte si te das cuenta tiene n filas y solamente una columna precisamente por eso es vector y cuando yo hago una multiplicación de matriz por vector se puede cancelar estos dos entonces nos va a quedar que mi resultado va a tener m por 1 esa va a ser la dimensión de mi vector resultante es como se cancelará esta n estã n y solamente me queda m x 1 m filas por una columna y bueno todo esto es a lo que llamamos a hacer una buena definición entonces esta es mi definición de cómo me voy a tomar el producto entre una matriz y así que vamos a reforzarlo con un ejemplo no voy a tomar una matriz y vamos a suponer que me tomo no sé se me ocurre la matriz menos 3 032 esto es la primera fila y después 17 menos 19 cuando el color amarillo ya se ve mucho mejor todo esto y bueno entonces a esta matriz la voy a multiplicar por un vector y cuantas componentes tienen que tener este vector pues bueno haciendo un poco de memoria con lo que acabamos de ver me vas a decir que debe tener las mismas componentes que la cantidad de columnas que tiene esta matriz así que vamos a fijarnos cuántas columnas tiene esta matriz una dos tres cuatro y entonces por lo tanto en el vector tiene que tener cuatro componentes que cuatro componentes pues bueno voy a decir que voy a tener los componentes 2 menos 3 4 y menos 1 aquí ya tengo a este vector y bueno que me resulta de multiplicar esta matriz por este vector pues bueno lo que me va a resultar es otro vector aunque sería muy bueno pensar en cuántas componentes va a tener este efecto y si te das cuenta esta matriz tiene dos filas por lo tanto solamente vamos a obtener un vector con dos componentes y bueno hay que tomarnos el producto punto del primer vector fila por este vector y me queda menos 3 por 2 y después a esto hay que agregarle 0 x menos 30 x menos 3 y después a esto termina tengo que agregar 3 por 4 3 por 4 y después hay que sumarle 2 x menos 12 x menos 1 y bueno hay que hacer lo correspondiente con el segundo vector fila que tenemos en esta matriz es decir cuenta de aquí abajo y me queda 1 x 2 + 7 x menos 37 por menos 3 más menos 1 por 4 + menos 1 por 4 y por último más 9 por menos 19 por menos 1 y bueno cuanto me va a dejar del resultado esto pues vamos a calcularlo me quedan tres por menos 2 me da menos 60 por menos 3 chabán 0 por lo que sea 0 entonces más 0 más 3 por 412 más 2 por menos 1 me da y aquí abajo que me quedan dos por unas 27 x menos 3 es menos 21 después 1 x menos 4 me da menos 4 y para finalizar menos 21 es que parecía menos 4 - 21 menos 4 y menos 9 y bueno esto es igual a menos 60 es menos 6 más 12 6 -2 es 44 positivo 2 - 21 menos 49 pues esto es lo mismo que menos 34 2 lo cual es menos 32 este y este es menos 30 menos 34 menos 34 más dos me da menos 32 perfecto y entonces ya tengo el resultado de esta multiplicación de esta matriz por este vector que yo tenía aquí al lado ahora bien lo que quiero que veas en este momento es que también podemos escribir esto de una manera alterna es decir podemos pensar que este equipo es un vector fila este de aquí y bueno de hecho lo podemos escribir de la siguiente manera vamos a suponer que yo digo que este de aquí es el vector lo voy a poner de la siguiente manera el vector a1 va a ser igual al vector a menos 3 como es un vector tiene solamente una columna menos 3 0 3 y 2 y entonces voy a decir que el vector a 2 va a ser el otro el que está abajo es decir 17 menos 1 y 9 y bueno ya que tengo estos dos vectores ahora date cuenta que para que yo forme la matriz que tengo aquí arriba esta matriz que está multiplicando este vector entonces lo que me tengo que tomar son las trans puestas de estos vectores es decir fíjate bien si yo me tomo a uno que es un vector columna ya este vector a uno sacó su transpuesta entonces tengo que cambiar todas las filas a columnas y las columnas en filas y por lo tanto me va a quedar menos 3 032 lo cual es un vector fila y si yo calculo a 2 transpuesta pues me va a quedar lo mismo solamente que he visto como una fila es decir unos 7 menos 1 y 9 y bueno ya tengo los dos vectores trans puestos y entonces fíjate bien yo puedo decir que esta matriz que tengo aquí la puedo ver de la siguiente manera esta matriz que tengo aquí es exactamente lo mismo que pensar en a1 transpuesto el vector fila a1 transpuesto y abajo tengo pues el vector a 2 transpuesto y espera déjame ponerle aquí arriba este es el vector a 2 transpuesto y estos dos vectores filas me forman a esta matriz que yo tengo aquí arriba y si a estos dos vectores los multiplicó por el vector x voy a suponer que este de aquí se llama mi vector x así que déjenme ponerle nombre entonces este es mi vector xy a esta matriz la voy a multiplicar por un vector x entonces que me da de resultado ojo estamos encontrando una forma alterna de ver cómo puedo escribir esta multiplicación de una matriz por un vector y bueno voy a hablar de justo lo que te decía hace rato hablar del producto punto y si te das cuenta en efecto resultante medio esto el vector a 1 punto x a 1 punto x producto punto y es que date cuenta si yo déjame cambiar de color y poner aquí x si yo calculo el producto punto entre 1 y x entonces me va a dar menos 3 x menos 2 + 0 x menos tres más tres por cuatro más dos x menos uno y esto es útil porque cuando definir el producto punto solo lo definimos con vectores columnas como éste yo no he definido formalmente un vector fila y menos un vector fila producto punto un vector columna entonces puedo escribir un matriz como los vectores trans puestos de estos vectores columna es decir los vectores filas y entonces cuando cálculo la multiplicación de la matriz con el vector pienso que cada componente del vector resultante va a ser el producto punto del inverso de la trans puesta de estos vectores fila con el vector x y de igual manera la segunda componente este vector resultante quién va a ser pues va a ser el vector a 2 punto producto punto con el factor x otra vez es decir 1 por 2 más 7 x menos 3 más menos 1 por 4 + 9 por menos 1 lo único que hice fue calcular dos productos puntos y aquí tengo una forma alterna de ver cómo encontrar este vector resultante así que esta es una forma distinta de poder encontrar la multiplicación de una matriz por un vector sin embargo aquí no acaba la cosa también hay otra forma de ver esta misma multiplicación de una matriz por un vector y lo voy a ver aquí abajo y de hecho sería bueno poner otro ejemplo para ver esta nueva forma de definir esta de multiplicación de la matriz por un vector y entonces no voy a tomar a la matriz a y fíjate que no quedó nada muy bien delineada y voy a decir que es la matriz te voy a poner 3 103 después abajo 24 70 y después menos 1 2 3 4 y bueno a esta matriz la voy a multiplicar por el siguiente vector x y este vector va a ser el vector 5 5 no derecho del córdoba ver de una forma general x 1 x 2 x 3 y x 4 porque recuerda que tiene que tener cuatro componentes para que esté definida esta multiplicación y bueno a continuación lo que quiero que veas es que a esta matriz a la puede descomponer en estos siguientes vectores en este vector que le voy a llamar el vector 1 en este vector columna que le voy a llamar el vector de 2 en este otro vector columna que le voy a llamar el vector b 3 y por último este último va a ser mi vector columna b 4 entonces yo ya puedo ver a la matriz a a negrita como quien como la matriz que tiene como elementos al vector b 1 el vector b2 aquí es b1 b2 b3 b4 ya que nos facto el 4 entonces así puedo ver ahora a esta matriz am como estos vectores y cuando yo me tomo la multiplicación de la matriz a por el vector x entonces que me va a quedar bueno déjame escribirlo aquí abajo date cuenta que aquí tengo mis vectores aquí tengo a mi vector x mis vectores columna y ya más o menos te estás imaginando qué es lo que va a quedar porque a x quien es bueno pues esto es lo mismo que tomarme y déjame escribir al menos la primera componente para que te des cuenta que es lo que me quedaría 3 veces x 1 + 1 por x 20 x x 3 + 3 x x 4 esto es lo que habíamos definido en el principio del vídeo y aquí abajo me quedaría lo siguiente y aquí tengo 2 x 1 + 4 x 2 + todos los demás ya que abajo tendría menos una vez x 1 + 2 x 2 + todos los demás y es que al final lo que quiero es que te des cuenta del siguiente patrón si te das cuenta vector columna siempre esta x x1 el primer rector columna b 1 siempre esta x x1 fíjate aquí tengo 3 x 1 2 x 1 y menos 1 x 1 al final lo que hice fue tomar meses de efectuar columna en x x 1 y después a esto le agregamos el vector columna 2 el vector b 2 x x2 y después a esto le agregamos el vector columna 3 por x 3 y por último le agregamos el vector columna 4 b 4 por x 4 y entonces es que al encontrar este patrón no estoy dando cuenta que hay otra forma distinta de escribir la multiplicación de una matriz por un vector esto es exactamente lo mismo que tomarme b 1 que multiplica a x 1 así que déjenme tomar el color amarillo x 1 que multiplica el vector b 1 más el escalar x2 la segunda componente de x x2 que multiplica al vector 2 y después con amarillo déjenme ganarme el color amarillo por b 2 pues y ya ves el patrón después me tomé el escalar x 3 y lo multiplique por el vector b 3 y después para finalizar me tomé el escalar x 4 y lo multiplican por el vector columna de cuatro y es que date cuenta que tanto x 1 x 2 x 3 y x 4 son componentes de x y por lo tanto son escalares y pueden ser cualquier tipo de escalar en este caso no los tomamos de forma general pero nosotros podemos variar x 1 x 2 x 3 y x 4 y como podemos variar estos valores entonces podemos decir que la multiplicación en una matriz por un vector la podemos ver como una combinación lineal esto de aquí es una combinación lineal y déjame ponerlo combinación lineal de quien de los vectores columnas de a porque al final puedo variar tanto x1 como x2 como x 3 como x 4 y por lo tanto esto es una combinación lineal de los vectores columna de a y bueno estoy seguro que alguna vez has visto la multiplicación de matrices en el pasado pero realmente quiero absorber estas dos maneras nuevas interpretar esta multiplicación de matriz por vector porque van a ser importante cuando nos demos el tiempo de hablar de cosas como los espacios columnas y cortes fácil y al final no solamente existen estas dos formas nuevas de ver las multiplicación la matriz por un vector sin embargo por la brevedad del vídeo no me dan tiempo de ver todas las demás formas de escribir esta multiplicación aunque bueno puedes recordar estas dos formas que una fue ver esto como una combinación lineal de los vectores con una dea y la otra fue hablar acerca del producto punto de los vectores fila trans puestos que a su vez forman a esta matriz ampo en el vector x por lo que al final se trata de dos interpretaciones completamente válidas y espero que al menos este vídeo te dé un conocimiento de cómo se trabaja la multiplicación de una matriz por un vector y bueno también todas las diferentes formas en las que se puede interpretar esta multiplicación