Expresar una forma cuadrática con una matriz

hey hola a todos hay algo que tenemos que checar antes de que podamos ver la forma vectorial de la aproximación cuadrática de funciones de varias variables digamos que tenemos una expresión de este estilo una constante que multiplica a x cuadrada y luego sumamos otra constante b que multiplica a x por ye y finalmente tenemos otra constante que multiplica a de cuadrada muy bien y aquí en este caso a veces son constantes mientras que x y son variables verdad y para este tipo de expresiones tenemos un nombre muy rimbombante y se les conoce como formas cuadráticas entonces esta expresión que tenemos acá arriba es una forma cuadrática y en realidad lo que esto significa es que tenemos todos estos términos que tenemos son cuadráticas es decir es x cuadrada x por jay y cuadrada son multiplicaciones de dos variables verdad x con xx por supuesto que para las formas cuadráticas no podemos tener términos digamos line es como x tampoco podemos tener términos constantes como 2 y tampoco podemos sumarlos simplemente son términos cuadráticas muy bien entonces nosotros pues ya saben cómo son los matemáticos verdad en realidad les gusta ponerles nombres muy rimbombantes a todo y que solo hacen que se vean más extraños de lo que ya son verdad entonces la pregunta que tenemos es cómo podríamos expresar esta forma cuadrática pero de forma vectorial entonces quizás la primera analogía que nosotros tenemos es el caso de las expresiones lineales en donde tenemos una constante por x más otra constante porque porque más una última constante digamos por zeta verdad entonces tenemos x jay-z con variables perdón mientras que abc son constantes entonces una forma que tenemos para expresar esto que tenemos aquí de forma vectorial es utilizando el producto punto ponemos ponemos en un vector e hice bien este es un vector en donde colocamos nuestras tres constantes y luego hacemos el producto punto con el vector x que se está muy bien donde estoy donde éste es nuestro vector con variables entonces justamente digamos podríamos poner esto como en una en un vector b que lo estamos haciendo digamos en negritas verdad y hacemos el producto punto con un vector x cuyas coordenadas en efectos serían x 67 y por eso lo ponemos como en negrita es verdad y entonces esta expresión esencialmente se ve solo como es como si fuera una constante por la variable sólo que en este caso la constante es en realidad un vector constante y la variable es un vector variable verdad y el producto pues no es el producto usual sino que usamos el producto punto ok entonces esencialmente esto se ve como una constante por variable pero ahora nosotros lo que ganamos con esta expresión es que podemos tener 100 - en nuestro vector constante y 100 variables en x verdad en el vector x entonces la pregunta sería podemos hacer algo similar con las formas cuadráticas y esto es importante porque si queremos digamos añadir otra variable a la forma cuadrática entonces por ejemplo podríamos tener más otra constante por el producto de x con zeta podríamos agregar otra constante con el producto de zeta con zeta que sería zeta cuadrada más otra constante con el producto de g por zeta verdad entonces si nos damos cuenta al agregar variables las formas cuadráticas se vuelven cada vez más complicadas verdad entonces para poder resolver esta pregunta que hemos planteado vamos a modificar ligeramente la forma cuadrática y vamos a poner un 2 aquí y en realidad no pasa nada si ponemos el 2 en realidad estaríamos considerando como como una constante distinta una una especie de ve distinta pero esencialmente sigue siendo una constante entonces ya verás más adelante porque necesitamos ok entonces te voy a decir cómo es que lo podemos hacer vamos a considerar una matriz una matriz de 2 por 2 en este caso donde tengamos la entrada a y la entrada se en la diagonal y digamos aquí vamos a tener b y vamos a procurar que sea simétrica digamos con respecto a esta diagonal entonces para que sea simétrica vamos a considerar b de este lado muy bien entonces déjenme quitar esas líneas vamos a considerar b de este de este lado muy bien donde a veces son justamente los que tenemos aquí arriba y ahora multipliquemos del lado derecho por nuestro vector xy el vector de las variables y del lado izquierdo vamos a multiplicar por el vector x pero transpuesto es decir vamos a ponerlo de forma horizontal entonces vamos a hacer este producto muy bien ahora si nosotros hacemos esto vamos a empezar con la multiplicación digamos por el lado derecho es decir vamos a empezar con la matriz x el vector muy bien de hecho antes de continuar si en este momento te sientes digamos incómodo con el tema de la multiplicación de matrices quizás deberías buscar vídeos en khan academy para aprender o recordar este tema porque de aquí en adelante voy a suponer que ya estás familiarizado con este tema muy bien entonces qué es lo que ocurre si nosotros hacemos esta primera multiplicación bueno pues esencialmente tendremos el primer renglón por este vector que sería a equis a equis de porsche ve por por jay eso sería la primera entrada y luego tenemos este renglón por este vector que sería por equis b por equis sé por qué más se porque entonces esto nos da un vector de digamos con dos coordenadas verdad y ahora multiplicamos por la izquierda por el vector xy que está digamos acostado verdad está de forma horizontal entonces este producto lo podemos hacer muy muy de forma muy simple verdad simplemente sería esta primera coordenada por la primera coordenada del segundo vector y esta coordenada por la segunda coordenada del otro vector entonces tendríamos equis que multiplica a a por equis por equis más ve por más b por g y luego sumamos ya que multiplica a esta coordenada que en este caso sería b por x por x + sé porque nace por g porque muy bien entonces como aquí ya tenemos puros números entonces podríamos desarrollar esta expresión verdad tendríamos a por equis cuadrada por equis cuadrada aquí tendríamos x por ver porque entonces sería más b por equis porque por equis porque y luego distribuimos este producto y aquí tendríamos b bueno y por d por equis que es otra vez de equis y en verdad entonces en esencia tenemos dos de estos por eso es que necesitábamos poner el 2 y finalmente tendremos porsche y entonces aquí tendríamos que agregar más sé por qué cuadrada más sé por qué cuadrada entonces si nos damos cuenta obtuvimos la forma cuadrática con la que habíamos iniciado verdad con todo y ese 2 entonces ahora lo que nos conviene es que podríamos expresar todo esto utilizando una notación un poquito más abstracta verdad podríamos considerar a nuestra matriz m verdad vamos a poner algo así como m mayúscula que representa a nuestra matriz que por el lado derecho va a multiplicar a nuestro vector x pero por el lado izquierdo va a múltiple cárcel con el vector x transpuesta verdad que esencialmente representa al vector pero de forma horizontal verdad y esta es la forma en la que representamos de forma vectorial a una forma cuadrática verdad entonces por ejemplo si nosotros pensáramos en algo como en tres dimensiones verdad vamos a hacerlo más abajo si pensamos en un vector x de tres dimensiones verdad entonces la matriz que tenemos aquí debería ser de 3 x 3 y ahora consideramos aquí nuevamente nuestro vector x verdad entonces nuestra matriz tendría que ser algo así ve verdad vamos a poner aquí de voy a poner aquí y aquí efe y en realidad lo pongo de esta forma porque queremos que esta matriz sea simétrica con respecto a la diagonal entonces lo que vemos el lado derecho tendremos que verlo del lado izquierdo aquí iría un ave acá abajo una c aquí habría una y muy bien entonces esta sería nuestra matriz simétrica verdad luego aquí pondríamos nuestro vector con tres variables x y y ceta y del lado izquierdo pondríamos el mismo vector pero horizontal verdad x y y ceta y en realidad todo este producto no lo voy a hacer yo pero si haces todas estas multiplicaciones de matrices obtendrás una forma cuadrática con tres variables y en efecto puede ser quizás una forma muy complicada verdad pero es es muy simple de expresar lo verdad simplemente lo ponemos así y con esta herramienta digamos a la mano en el próximo vídeo lo usaremos para escribir la aproximación cuadrática de las funciones de varias variables nos vemos en el próximo vídeo