La matriz hessiana

hey hola antes de hablar de la forma vectorial de la aproximación cuadrática de funciones de varias variables tenemos que hablar de la matriz es jana vamos a hablar de la matriz hetian a tiana muy bien que esencialmente es una forma de empaquetar toda la información de las segundas derivadas parciales de nuestra función entonces si nosotros partimos de una función fx que digamos la función del vídeo anterior que era a la equis medios por el seno de iu entonces la la forma de calcular la matriz que es jana es muy fácil generalmente algunos libros la denotan como con una h como como en negrita es verdad generalmente por la tipografía verdad y esto será una matriz que contenga todas las derivadas parciales de segundo orden de nuestra función f entonces partimos digamos de la de la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces y de hecho en esta columna siempre vamos a derivar con respecto de equis y luego con respecto a la siguiente variable verdad siempre será digamos en ese orden ahora vamos a derivar primero con respecto de y para esta columna y luego vamos a derivar respecto de equis y luego respecto de para la última entrada entonces primero aquí derivamos con respecto de x como siempre en esta columna primero respecto de iu y luego respecto a la siguiente variable que es otra vez y entonces derivamos dos veces con respecto de ye para esta entrada y esta es la matriz genciana de nuestra función efe muy bien entonces para poder calcular la necesitamos primero la información de las primeras derivadas parciales muy bien entonces tendremos que calcular la derivada de f con respecto de x quien es la derivada con respecto de x bueno en realidad éste es el único término que depende de x así que lo derivamos y nos da un medio a la equis medios y luego multiplicamos por la constante para fines de derivar con respecto de x que es seno de y ahora bien si derivamos con respecto de y entonces el término que tiene ya es esto el seno de iu entonces lo demás es constante que da a la equis medios por la derivada del seno de iu que es coseno de g muy bien entonces éstas por supuesto no van a ir en nuestra matriz que sean a pero son útiles para poder calcular las segundas derivadas verdad entonces aquí vamos a tener que nuestra matriz será derivar respecto de x la derivada respecto de x entonces si derivamos esto aquí vemos que esto es el único término o el único factor que depende de x será un cuarto verdad aquí tenemos un medio sale otro medio se hace un cuarto y a la equis medios por el seno de iu y ahora calculamos éste esta misma derivada ahora la derivamos con respecto de iu y éste es el único término que depende de verdad entonces la segunda derivada de esto digamos la entrada que va aquí sería derivar esto respecto de jay sería un medio a la equis medios por la derivada del seno de ley que es co seno de iu muy bien tenemos nuestra primera columna y aquí nosotros ya sabemos que en realidad va a ser lo mismo porque estamos calculando las derivadas cruzadas pero bueno vamos a convencernos de que en realidad valen lo mismo entonces tenemos primero la derivada de respecto de iu y la derivamos respecto de x entonces al derivar esto respecto de x tendremos un medio a la x medios por el coseno de yeyé entonces no es sorprendente verdad que en realidad las derivadas cruzadas coincidan aunque por supuesto existen algunas funciones para las cuales estas derivadas cruzadas no son simétricas es decir si pueden tomar valores distintos ok pero pero bueno esta es una de esas funciones típicas para las cuales sí coinciden verdad y ahora sólo nos falta derivar esta con respecto de y entonces otra vez este es el 1 término que depende de tendremos a la equis medios por la derivada del coseno de ye que es menos el seno de iu bien entonces esta es la matriz cristiana para esta función particular así que esta matriz donde cada entrada es una función multi variable es la matriz gestiona ya veces a esta matriz se le indica de qué funciones estamos hablando aquí se indica como un subíndice la función de la cual estamos obteniendo esta matriz es jana muy bien entonces podríamos pensar en realidad de esta matriz como como si fuera una función con valores matricial es verdad para cada equis que obtenemos una matriz que cada entrada depende de x muy bien entonces lo bonito de esta función perdón más bien de esta matriz es que podemos extender esta idea cuando tenemos por ejemplo al caso en donde tengamos muchas más variables entonces por ejemplo pensemos que esta función f no depende de xy de y sino que depende de tres variables digamos pensemos que depende de x y y ceta muy bien esta función digamos que depende de x y y ceta entonces si así fuera como calculamos ahora su matriz es jana bueno pues esencialmente tendríamos que extender esta matriz verdad para calcular todas las derivadas parciales boots vamos a dejar lo que si nos sirve vamos a dejar esto y borremos de una vez esta en realidad esto sólo sirvió para nuestro ejemplo muy bien entonces recordemos cómo se calcula el primer renglón perdón la primera columna verdad la primera columna siempre consiste en derivar primero con respecto de xy luego sería derivar con respecto de x derivar con respecto de jay y aquí sería derivar con respecto de c está muy bien entonces así estaría ahora como calculamos nuestra segunda columna primero derivamos respecto de y verdad siempre derivamos primero respecto de yale luego aquí sería respecto de x respecto de ye lo cual nos da la segunda derivada de f respecto de ambas veces y finalmente derivamos con respecto de z entonces para la tercera columna recordemos ahora vamos a derivar primero respecto de z y luego en este caso respecto de x respecto de z y para este renglón sería respecto de iu y para esta última entrada tendremos la derivada respecto de z y luego respecto de z verdad entonces sería respecto de z ambas veces entonces esta es la matriz hetian a para una función con tres variables y aquí se ve cómo extender digamos este patrón que hemos desarrollado en los dos ejemplos verdad a cuando tengamos más variables y por ejemplo hubiera cuatro variables entonces la matriz cristiana sería de 4 x 4 si tuviéramos 100 variables tendríamos de una matriz de 100% verdad entonces aquí aquí lo bonito de todo esto es que podemos hablar de la matriz simplemente utilizando este símbolo verdad hf y veremos en los próximos vídeos como ayuda a expresar digamos la la aproximación cuadrática de cualquier función de varias variables no sólo de dos variables como hemos visto hasta ahora y de hecho no nos vamos a amontonar entre tanto símbolo de derivadas parciales y demás porque en realidad no habrá una necesidad de hacer referencia a cada una de las entradas de la matriz cristiana sólo necesitaremos hacer algunas operaciones con matrices y vectores bueno nos vemos en el próximo vídeo