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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3

Lección 1: Planos tangentes y linealización local
Matemáticas
Cálculo multivariable
Aplicaciones de las derivadas multivariables
Planos tangentes y linealización local
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Planos tangentes

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Así como la derivada de una sola variable se puede usar para encontrar las rectas tangentes a una curva, las derivadas parciales se pueden usar para encontrar el plano tangente a una superficie.

Antecedentes

Qué vamos a construir

  • Un plano tangente a una función de dos variables f(x,y) es, bueno, un plano que es tangente a su gráfica.
  • La ecuación del plano tangente de la gráfica de una función de dos variables f(x,y) en un punto particular (x0,y0) se ve así:
    T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)

La tarea inmediata

Piensa acerca de una función escalar con una entrada con dos coordenadas, como esta:
f(x,y)=−x2−y2+3
De manera intuitiva, es común visualizar una función como esta con su gráfica tridimensional.
Recuerda que puedes describir esta gráfica de manera más técnica al describirla como un cierto conjunto de puntos en el espacio tridimensional. Específicamente, son todos los puntos que se ven así:
(x,y,f(x,y))=(x,y,−x2−y2+3)
Aquí, x y y pueden estar en todos los números reales.
Un plano tangente a esta gráfica es un plano que es tangente a la gráfica. Mmh, esa no es una buena definición. Esto es difícil de describir con palabras, así que simplemente voy a mostrar un video con varios planos tangentes diferentes.
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Pregunta clave: ¿cómo encuentras una ecuación que represente al plano tangente a la gráfica de la función en un punto específico (x0,y0,f(x0,y0)) en el espacio tridimensional?

Representar los planos como gráficas

Bueno, en primer lugar, ¿qué funciones g(x,y) tienen gráficas que se ven como planos?
Un plano que pasa por (2, 2, 2)
Un plano que pasa por (2, 2, 2)
La pendiente de un plano en cualquier dirección es constante sobre todos los valores de entrada, así que ambas derivadas parciales gx y gy tendrían que ser constantes. Las funciones con derivadas parciales constantes se ven así:
g(x,y)=ax+by+c
Aquí, a, b y c son constantes. Estas se llaman funciones lineales. Bueno, técnicamente, son funciones afines ya que las funciones lineales deben pasar por el origen, pero es común llamarlas funciones lineales de todos modos.
Pregunta: ¿cómo puedes garantizar que la gráfica de una función lineal pase por un punto particular (x0,y0,z0) en el espacio?
Una manera limpia de lograrlo es escribir la función lineal como
g(x,y)=a(x−x0)+b(y−y0)+z0
Verificación de conceptos: con g definida de esta manera, calcula g(x0,y0).
Escoge 1 respuesta:

Escribir g(x,y) de esta manera hace claro que g(x0,y0)=z0. Esto garantiza que la gráfica de g debe pasar por (x0,y0,z0):
(x0,y0,g(x0,y0))=(x0,y0,z0)
Las otras constantes a y b pueden ser cualquier valor que queramos. Diferentes opciones de a y b resultan en diferentes planos que pasan por el punto (x0,y0,z0). El siguiente video muestra cómo cambian esos planos a medida que ajustamos a y b:
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La ecuación de un plano tangente

Regresemos a la tarea que tenemos entre manos. Queremos una función T(x,y) que represente un plano tangente a la gráfica de alguna función f(x,y) en el punto (x0,y0,f(x0,y0)), por lo que sustituimos f(x0,y0) para z0 en la ecuación general del plano.
T(x,y)=f(x0,y0)+a(x−x0)+b(y−y0)
A medida que ajustas los valores de a y b, esta ecuación dará varios planos que pasan por la gráfica de f en el punto deseado, pero solo uno de ellos va a ser un plano tangente.
De todos los planos que pasan por (x0,y0,f(x0,y0)), aquel tangente a la gráfica de f tendrá las mismas derivadas parciales que f. Gratamente, las derivadas parciales de nuestra función lineal están dadas por las constantes a y b.
  • ¡iInténtalo! Toma las derivadas parciales de la ecuación para la expresión T(x,y).
Por lo tanto, hacer a=fx(x0,y0) y b=fy(x0,y0) garantizará que las derivadas parciales de nuestra función lineal T coincidan con las derivadas parciales de f. Bueno, por lo menos van a coincidir para la entrada (x0,y0), pero ese es el único punto que nos importa. Al poner todo esto junto, obtenemos una fórmula útil para el plano tangente.
T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)

Ejemplo: encontrar el plano tangente

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Problema:
Dada la función
f(x,y)=sin⁡(x)cos⁡(y),
encuentra la ecuación para el plano tangente a la gráfica de f en el punto (π6,π4).
El plano tangente tendrá la forma
T(x,y)=fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)+f(x0,y0)
Paso 1: encuentra las dos derivadas parciales de f.
fx(x,y)=
fy(x,y)=

Paso 2: evalúa la función f y las dos derivadas parciales en el punto (π6,π4):
f(π/6,π/4)=
fx(π/6,π/4)=
fy(π/6,π/4)=

Al sustituir estos tres números en la ecuación general para un plano tangente, puedes obtener la respuesta final:
T(x,y)=

Resumen

  • Un plano tangente a una función de dos variables f(x,y) es, bueno, un plano que es tangente a su gráfica.
  • La ecuación del plano tangente de la gráfica de una función de dos variables f(x,y) en un punto particular (x0,y0) se ve así:
T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)

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