Controlar un plano en el espacio

ahora vamos a hablar de cómo hallar el plano tangente a una gráfica y creo que el primer paso es entender cómo controlar estos planos en tres dimensiones y lo que tengo aquí es un punto rojo que representa un punto en tres dimensiones con coordenadas 1,23 entonces la coordenada x es 1 la coordenada y es 2 y la coordenada zeta es 3 y luego tengo un plano que pasa por él y el objetivo del vídeo es hallar una función l una función l que dependa sólo de dos variables x de verdad de tal suerte que la gráfica de esta función l sea exactamente este plano que estamos viendo del lado izquierdo entonces notemos que en realidad hay una infinidad de planos que pueden pasar por este punto rojo verdad simplemente por ejemplo cambiando las direcciones y la inclinación y los ángulos verdad entonces nosotros necesitamos una forma de poder distinguir el que nos interesa que como veremos digamos más adelante cuando estamos hablando de gráficas o más bien de planos tangentes a gráficas de funciones se puede calcular con las derivadas parciales de la función original entonces veamos una primera observación qué pasa si queremos evaluar la función l en el punto 12 bueno como sabemos que este punto en tres dimensiones está en la gráfica entonces l de 12 tiene que ser exactamente igual a 3 verdad porque será la altura la altura que nos indicará cómo se gráfica esta función verdad y eso tiene que ser justamente 3 entonces aquí podemos verlo desde este punto verdad y ahora pensemos que que distingue digamos a las gráficas planas de o de funciones digamos planas de las que pueden estar un poco curvadas porque por ejemplo si nosotros interpretamos con otro plano digamos con el plano de igual a 2 verdad pensemos que interceptamos con este plano entonces podríamos representar esto podría representar como cambia al movernos en la dirección de x y fijando el valor de verdad entonces vemos que estos dos planos verdad se intersectan en una línea y esta es la idea fundamental de los planos de verdad entonces esta misma idea la podemos repetir si cambiamos el valor de y entonces digamos que ahora el valor de g es igual a 1 verdad y si ahora es igual a 1 en realidad podemos observar que esta línea que se genera de inter secar los planos tienen la misma pendiente verdad entonces esto en términos de las derivadas de nuestra función l que estamos buscando cómo se escribe bueno esto significa que la derivada parcial de l con respecto a la variable x verdad estamos fijando y eso lo movemos a x esto por supuesto evaluado en el punto x coma pues en realidad debe ser una pendiente constante verdad quiere decir que esto es un número a que es fijo entonces este número de aquí es constante y ahora si nosotros quisiéramos calcular la derivada parcial de nuestra función l que estamos buscando pero ahora derivando con respecto de ye pues podríamos hacer exactamente la misma idea verdad por ejemplo podríamos tomar un valor fijo de x digamos x a uno y podemos ver nuestro plano del lado izquierdo entonces vemos que esto tiene una pendiente constante y en realidad esto lo podemos hacer exactamente igual en cualquier otro valor de equis y obtendremos la misma pendiente verdad esto nos dice que en la derivada parcial de nuestra función l con respecto de por qué estamos fijando a x verdad y cambiamos esto en cualquier punto x g será también una constante digamos vamos a llamarle be a esta constante pero esto que estamos diciendo es algo muy muy fuerte verdad porque en principio estas derivadas parciales pues pueden ser cualquier función sin embargo aquí estamos viendo que no son funciones arbitrarias sino que son funciones constantes esto es muy muy fuerte verdad y podemos estimar geométricamente cuáles serían los valores de a&b verdad por ejemplo si tomamos ayer constante y nos fijamos en la línea de la intersección nos preguntamos cuál es la pendiente y aquí podemos ver más o menos que esto se parece a dos verdad nos movemos una en la dirección horizontal y subimos dos en la en la dirección vertical verdad entonces más o menos la pendiente es 2 y lo mismo podríamos hacer con esta esta otra constante b verdad que si interceptamos con este otro plano podemos ver que esto se parece más o menos a 1 muy bien entonces ahora lo que podríamos nosotros hacer es fijarnos bueno de todas las funciones posibles en realidad tienen derivadas parciales constantes qué significa esto bueno esto significa que nuestra función l que depende de x y de y al derivar la con respecto de x nos da simplemente a esto quiere decir que debe ser algo de la forma a por x verdad que de hecho en este caso no está es es 2 verdad es 2 por x más una constante que bueno es una constante con respecto a la derivación con respecto a x verdad es decir todo lo que lo que aparezca en nuestra función l depende ahora exclusivamente de ye pero nosotros sabemos que la derivada con respecto de g así que esto que sólo dependía debe en realidad sólo es porque en este caso es uno por cierto más cualquier otras cosas que sean constantes para fines de derivar con respecto de iu pero además ya eran independientes de x lo cual nos dice que esta parte que es constante es constante para las dos variables verdad así que vamos a ponerlo como más una constante sé muy bien entonces podemos ver en este método que que la función l que estamos buscando es muy muy restringida verdad en realidad por ejemplo x sólo aparece en este término lineal y y el y cuando hablamos de término lineal quiere decir que no aparece con potencias ni con otras composiciones con otras funciones muy raras como seno o algo por el estilo verdad entonces lo mismo ocurre para y ahora bien lo único que nos falta determinar es el valor de esta constante c entonces cuánto vale c una idea que podríamos desarrollar para calcularlo es evaluar esta función en 12 verdad evaluamos esta función en 12 y eso sabemos que nos tiene que dar quedar 3 y entonces simplemente despejamos la constante ce verdad pero otra idea es reemplazar esta función o más bien desplazar la verdad porque por ejemplo esto lo podríamos reescribir de la siguiente forma esto es 2 por x menos 1 porque uno es el punto en donde nos interesa verdad es la coordenada x del punto que nos interesa más 1 porque menos la coordenada ya que nos interesa que es 2 verdad entonces hasta aquí podemos ver que si distribuimos en realidad tenemos 2x más 1 por ye verdad y simplemente estamos restando 2 y restando 2 acá también entonces estamos restando 4 si nosotros tenemos aquí una constante y le restamos 4 pues esencialmente obtenemos otra constante que vamos a llamar acá muy bien entonces tenemos otra constante acá entonces en realidad hemos hecho esto para que al evaluar en el punto 12 que es el que nos interesa todo esto sea mucho más simple si nosotros evaluamos l en el punto 12 verdad entonces tendremos 2 por x 1 y sustituimos x igual a 1 verdad y esto simplemente se cancela verdad si ahora sustituimos aquí con ya igualados entonces esto también se cancela y simplemente nos queda nuestra constante pero sabemos que esta función evaluada en 12 tiene que ser igual a 3 entonces esto de aquí tiene que ser igual a 3 y por lo tanto esta constante que no sabíamos quién era en realidad ahora sí sabemos quién es verdad esa constante tiene que ser 3 vamos a ponerlo aquí esta constante tiene que ser 3 entonces fíjate en cómo controlar este plano verdad tenemos este numerito 2 que esencialmente es la pendiente con respecto a la variable x y tenemos este numerito 1 que esencialmente es la pendiente pero con respecto a de verdad y podríamos cambiar estos dos números y esto es lo que nos da las distintas pendientes del plano por ejemplo para este plano particular verdad la pendiente con respecto a pues es muy muy pequeña digamos podríamos pensar que es como 0.1 y la pendiente en la dirección de x pues es negativa en este caso verdad y pues simplemente al final ponemos este este número 3 verdad como constante y este método es muy poderoso y será importante que lo recuerdes para el próximo vídeo y quiero que recuerdes esta idea de cómo escribir la coordenada digamos como escribirla en términos de las coordenadas x 0 verdad 10 0 iceta 0 que es el punto por donde pasa así como las pendientes con los coeficientes aquí al frente de verdad las pendientes con respecto a la variable xy y bueno con eso terminamos y nos vemos en el próximo vídeo