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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 5

Lección 1: Definiciones formales de la divergencia y el rotacional (lectura opcional)

La definición formal del rotacional en tres dimensiones

Después de aprender cómo se define el rotacional en dos dimensiones, estás listo para aprender acerca de la definición formal del rotacional en tres dimensiones. Esto es avanzado, así que prepárate para tomar las cosas con calma.

Antecedentes

Entender este artículo realmente requiere esto dos prerrequisitos. La definición del rotacional en tres dimensiones tiene tantas partes, que tener una comprensión mental sólida de la analogía bidimensional, así como el concepto tridimensional que estamos tratando de capturar, es crucial.

En particular, si no acabas de leer el artículo que da la definición formal del rotacional en dos dimensiones, te recomiendo ampliamente que le eches un vistazo ahora mismo. Incluso si ya lo leíste anteriormente. Incluso si solo es el resumen.

Qué vamos a construir

Definimos el rotacional en tres dimensiones una componente a la vez, al mirar las componentes de la rotación del fluido que son paralelas al plano $y z$ ‍, al $x z$ ‍ y al $x y$ ‍.
Puedes capturar las tres definiciones coordenada a coordenada del $rot F$ ‍ al definir cuál debería ser el producto punto entre $rot F$ ‍ y cualquier vector arbitrario $\hat{n}$ ‍.
$\begin{array}{r} (rot F (x, y, z)) \cdot \hat{n} = lim_{| A_{((x, y, z), \hat{n})} | \to 0} (\frac{1}{| A_{((x, y, z), \hat{n})} |} \oint_{C} F \cdot d r) \end{array}$ ‍
$F$ ‍ es un campo vectorial tridimensional.
$(x, y, z)$ ‍ es algún punto específico en el espacio en tres dimensiones.
$rot F (x, y, z)$ ‍ regresa un vector tridimensional.
$\hat{n}$ ‍ es un vector unitario arbitrario en tres dimensiones.
$A_{((x, y, z), \hat{n})}$ ‍ representa alguna región bidimensional alrededor del punto $(x, y, z)$ ‍ en un plano perpendicular al vector $\hat{n}$ ‍.
$| A_{((x, y, z), \hat{n})} |$ ‍ indica el área de $A_{((x, y, z), \hat{n})}$ ‍.
$| A_{((x, y, z), \hat{n})} | \to 0$ ‍ indica que estamos considerando el límite a medida que el área de $A_{((x, y, z), \hat{n})}$ ‍ se va a cero, lo que significa que la región se encoge alrededor de $(x, y, z)$ ‍.
$C$ ‍ es la frontera de $A_{((x, y, z), \hat{n})}$ ‍.
La orientación de $C$ ‍ se determina con base en la regla de la mano derecha: extiende el pulgar de tu mano derecha en la dirección de $\hat{n}$ ‍, y la dirección en la que apuntan tus dedos a medida que se enrollan alrededor de $C$ ‍ es la dirección de integración.
$\oint_{C}$ ‍ es la integral de línea alrededor de $C$ ‍, escrita como $\oint$ ‍ en vez de $\int$ ‍ para to enfatizar que $C$ ‍ es una curva cerrada.

Limitar nuestra visión a un plano

El rotacional en tres dimensiones es una cosa más bien complicada de pensar. Por ejemplo, sea

F (x, y, z)

un campo vectorial tridimensional:

$\begin{array}{r} F (x, y, z) = [\begin{array}{c} F_{1} (x, y, z) \\ F_{2} (x, y, z) \\ F_{3} (x, y, z) \end{array}] \end{array}$ ‍

Un ejemplo de cómo se podría ver esto se muestra en el siguiente video.

Contenedor video de Khan Academy

Ver la transcripción del video

Ahora imagínate el flujo tridimensional del fluido que podría representar

F

. Como sabes,

rot F (x_{0}, y_{0}, z_{0})

es una manera de medir la rotación en ese flujo del fluido cerca del punto

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

, pero este es un concepto algo complicado de cuantificar de manera rigurosa.

Hay algunas buenas analogías para obtener un poco de intuición sobre el rotacional. Una de mis favoritas es pensar en una pequeña pelota de tenis centrada en el punto

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

, y cómo el flujo del fluido alrededor de ella provoca que rote. En esta analogía,

rot F (x_{0}, y_{0}, z_{0})

nos da el vector de rotación resultante de la pelota.

Sin embargo, estas descripciones solo pueden llegar hasta cierto punto, para capturar esta intuición con rigor matemático, cuando el objetivo es definir de manera formal qué es el rotacional.

Nuestra estrategia básica hacia adelante será limitar nuestra visión a la rotación en un plano específico. Por ejemplo, el siguiente video muestra un plano que representa un valor constante de

x

x = 1.6

para ser específicos, así como los vectores de

F

que salen de este plano.

Contenedor video de Khan Academy

Ver la transcripción del video

En fórmulas, podrías describir esto como todos los vectores de la forma

$F (1.6, y, z)$ ‍

Aquí,

y

z

pueden tomar cualquier valor. Cuando proyectamos esos vectores sobre el plano y los vemos como una imagen plana, obtendríamos algo como esto:

Observa que los ejes están etiquetados "

y

" y "

z

" porque este plano era originalmente paralelo al plano

y z

en el espacio tridimensional. Podríamos describir este vector bidimensional con una nueva función bidimensional

F_{1.6} (y, z)

definida de la siguiente manera:

$\begin{array}{r} F_{1.6} (y, z) = [\begin{array}{c} F_{2} (1.6, y, z) \\ F_{3} (1.6, y, z) \end{array}] \end{array}$ ‍

De manera más general, si rebanamos el campo vectorial con cualquier plano de la forma

x = x_{0}

para alguna constante

x_{0}

, y luego proyectamos los vectores que salen de ese plano sobre el propio plano, vamos a obtener un campo vectorial bidimensional descrito por una función que se ve así:

$\begin{array}{r} F_{x_{0}} (y, z) = [\begin{array}{c} F_{2} (x_{0}, y, z) \\ F_{3} (x_{0}, y, z) \end{array}] \end{array}$ ‍

Verificación de conceptos: ¿por qué la definición de

F_{x_{0}} (y, z)

no incluye

F_{1}

, la componente

x

F (x, y, z)

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
Porque representa la proyección de los vectores $F (x_{0}, y, z)$ ‍ sobre un plano paralelo al plano $y z$ ‍, y esa proyección involucra ignorar la componente $F_{1}$ ‍.
(Elección B)
Porque solo $y$ ‍ y $z$ ‍ varían en su entrada.

Verificación de conceptos: para un punto dado

(y_{0}, z_{0})

en el plano de arriba, ¿qué representa

rot 2d F_{x_{0}} (y_{0}, z_{0})

Elige todas las respuestas adecuadas:
(Elección A)
¿Cuánto rota el fluido definido por $F$ ‍ de manera paralela al plano $y z$ ‍ cerca del punto $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ‍?
(Elección B)
La componente $x$ ‍ de $rot F (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ‍

Ambas respuestas son correctas. De hecho, son dos formas de decir la misma cosa.
$F_{x_{0}}$ ‍ toma vectores de $F$ ‍ que salen de los puntos en el plano $x = x_{0}$ ‍ y los proyecta sobre ese mismo plano. En términos del flujo de un fluido, esto significa que si sigues el movimiento tridimensional de las partículas que empiezan en el plano $x = x_{0}$ ‍ de acuerdo a los vectores de velocidad dados por $F$ ‍, entonces al proyectar esas trayectorias sobre el plano $x = x_{0}$ ‍, obtienes el movimiento bidimensional del fluido descrito por $F_{x_{0}}$ ‍.
Entonces ¿qué significa esto para $rot 2d F_{x_{0}}$ ‍, el cual mide la rotación del flujo del fluido bidimensional definido por $F_{x_{0}}$ ‍? Mide el grado al cual el flujo del fluido tridimensional descrito por $F$ ‍ rota en el plano $x = x_{0}$ ‍. Podrías describir adecuadamente esto como la componente de la rotación tridimensional que es paralela al plano $y z$ ‍.
Por otra parte, como el vector $rot F (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ‍ representa la rotación tridimensional total cerca de $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ‍, la componente de este vector que apunta en la dirección $x$ ‍ también representa la componente de la rotación del fluido que es paralela al eje $y z$ ‍.

Una definición por componentes

Entonces ¿por qué estoy hablando sobre proyectar vectores y trayectorias en tres dimensiones sobre un plano bidimensional? Básicamente, es difícil pensar acerca de tres dimensiones, así que vale la pena hacer todo lo que puedas para enmarcar dos dimensiones a la vez.

La importancia de este última verificación de conceptos es que podemos describir la componente

x

del rotacional tridimensional de

F

solo en términos del rotacional bidimensional de la función

F_{x}

$\begin{array}{r} componente x de \underset{vector 3d}{\underset{⏟}{rot F (x, y, z)}} = \underset{valor escalar}{\underset{⏟}{rot 2d F_{x} (y, z)}} \end{array}$ ‍

También podemos sacar la componente

x

rot F

de manera más elegante al hacer producto punto con el vector unitario en la dirección

x

$\hat{i} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$ ‍

Esto significa que nuestra expresión se ve así:

$\begin{array}{r} (rot F (x, y, z)) \cdot \hat{i} = rot 2d F_{x} (y, z) \end{array}$ ‍

En términos de la fórmula que ya conoces, esto explica por qué la componente

x

del

rot F

tiene esa forma,

$\begin{array}{r} rot F (x, y, z) = \overset{rot 2d F_{x} (y, z)}{\overset{⏞}{(\frac{\partial F_{3}}{\partial y} - \frac{\partial F_{2}}{\partial z})}} \hat{i} + (\frac{\partial F_{1}}{\partial z} - \frac{\partial F_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{array}$ ‍

Pero recuerda, el objetivo de este artículo es que el rotacional es una de esas operaciones chistosas en las que la fórmula que usamos para calcularlo no es su definición. Nuestro objetivo es encontrar una definición del rotacional que represente la rotación de un fluido. Con eso en mente, la importancia de representar la componente

x

rot F

usando un rotacional bidimensional es que podemos tomar la definición del límite de la integral de línea de

rot 2d

que encontramos en el artículo anterior, y usarla para definir la componente

x

rot F

$\begin{array}{r} (rot F (x, y, z)) \cdot \hat{i} \overset{definición}{\overset{⏞}{=}} lim_{A \to 0} (\frac{1}{| A |} \oint_{C} F \cdot d r) \end{array}$ ‍

$A$ ‍ es cierta región bidimensional en el plano perpendicular a $\hat{i}$ ‍, y que pasa por el punto $(x, y, z)$ ‍.
$C$ ‍ es la frontera de $A$ ‍.
La orientación de $C$ ‍ se determina con base en la regla de la mano derecha: extiende el pulgar de tu mano derecha en la dirección de $\hat{i}$ ‍ y enrolla tus dedos. La dirección en la que apuntan tus dedos a medida que se enrollan alrededor de $C$ ‍ es la dirección de integración.
$| A |$ ‍ representa el área de $A$ ‍.
$lim_{| A | \to 0}$ ‍ indica que estamos considerando el límite a medida que $A$ ‍ se encoge al punto $(x, y, z)$ ‍ sobre el plano en donde $x$ ‍ es constante.

Aunque va a confundir un poco las cosas, con tal de tener un poco de claridad, será útil si nuestra fórmula expresa el hecho de que la región

A

siempre debe incluir el punto

(x, y, z)

, y que sea perpendicular a

\hat{i}

. Para hacer esto, voy a escribir

A

con subíndices,

A_{(x, y, z), \hat{i}}

Esto significa que nuestra definición completa se ve así:

$\begin{array}{r} (rot F (x, y, z)) \cdot \hat{i} \overset{definición}{\overset{⏞}{=}} lim_{| A_{((x, y, z), \hat{i})} | \to 0} (\frac{1}{| A_{((x, y, z), \hat{i})} |} \oint_{C} F \cdot d r) \end{array}$ ‍

Esta es una definición muy pesada, que supone mucho conocimiento previo del lector. ¡Y eso es solo para una componente! La clave para entender esto es:

Asegúrate de tener una buena comprensión del rotacional en dos dimensiones.
Entiende cómo es que esta definición le aplica el mismo concepto a un plano que está en el espacio tridimensional.
Asegúrate de entender por qué el rotacional bidimensional de $F_{x_{0}}$ ‍ debe representar la componente $x$ ‍ del rotacional de $F$ ‍.

Definición completa

Por supuesto que no hay nada especial acerca de la dirección

x

, también podemos definir las otras dos coordenadas de

rot F

de la misma manera:

$\begin{array}{r} (rot F (x, y, z)) \cdot \hat{j} = lim_{| A_{((x, y, z), \hat{j})} | \to 0} (\frac{1}{| A_{((x, y, z), \hat{j})} |} \oint_{C} F \cdot d r) \end{array}$ ‍

$\begin{array}{r} (rot F (x, y, z)) \cdot \hat{k} = lim_{| A_{((x, y, z), \hat{k})} | \to 0} (\frac{1}{| A_{((x, y, z), \hat{k})} |} \oint_{C} F \cdot d r) \end{array}$ ‍

Verificación de conceptos: ¿qué representa

A_{((x, y, z), \hat{j})}

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
Una región en el plano que pasa por el punto $(x, y, z)$ ‍ que es paralelo al plano $x z$ ‍.
(Elección B)
Una región en el plano $y z$ ‍.

Esto da una definición completa, ya que se contabiliza cada componente de

rot F

Vectores normales unitarios arbitrarios

Sin embargo, es poco elegante definir el rotacional en tres fórmulas separadas. Además, cuando el rotacional se usa en la práctica, es común tomar el producto punto entre el vector

rot F

y algún otro vector, así que es útil tener una definición adecuada para interpretar el producto punto entre

rot F

y cualquier vector, no solo

\hat{i}

\hat{j}

\hat{k}

Piensa en un de un plano arbitrario que corta a través del campo vectorial

F (x, y, z)

Contenedor video de Khan Academy

Ver la transcripción del video

Supón que este plano está definido de modo que sea perpendicular a algún vector unitario

\hat{n}

, tal como

$\begin{array}{r} \hat{n} = [\begin{array}{c} 1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{3} \end{array}] \end{array}$ ‍

Ahora imagina que imitamos todo lo que hicimos anteriormente con el plano

x = x_{0}

Considerar los vectores que salen de los puntos en este plano.
Proyectarlos sobre el plano
Medir el rotacional bidimensional resultante en ese plano.

Esto nos permitirá definir la componente del rotacional tridimensional en la dirección

\hat{n}

$\begin{array}{r} (rot F (x, y, z)) \cdot \hat{n} = lim_{| A_{((x, y, z), \hat{n})} | \to 0} (\frac{1}{| A_{((x, y, z), \hat{n})} |} \oint_{C} F \cdot d r) \end{array}$ ‍

$F$ ‍ es un campo vectorial tridimensional.
$(x, y, z)$ ‍ es algún punto específico en el espacio en tres dimensiones.
$rot F (x, y, z)$ ‍ regresa un vector tridimensional.
$\hat{n}$ ‍ es un vector unitario arbitrario en tres dimensiones.
$A_{((x, y, z), \hat{n})}$ ‍ representa alguna región bidimensional alrededor del punto $(x, y, z)$ ‍ en un plano perpendicular al vector $\hat{n}$ ‍.
$| A_{((x, y, z), \hat{n})} |$ ‍ indica el área de $A_{((x, y, z), \hat{n})}$ ‍.
$| A_{((x, y, z), \hat{n})} | \to 0$ ‍ indica que estamos considerando el límite a medida que el área de $A_{((x, y, z), \hat{n})}$ ‍ se va a cero, lo que significa que la región se encoge alrededor de $(x, y, z)$ ‍.
$C$ ‍ es la frontera de $A_{((x, y, z), \hat{n})}$ ‍.
La orientación de $C$ ‍ se determina con base en la regla de la mano derecha: extiende el pulgar de tu mano derecha en la dirección de $\hat{n}$ ‍, y la dirección en la que apuntan tus dedos a medida que se enrollan alrededor de $C$ ‍ es la dirección de integración.
$\oint_{C}$ ‍ es la integral de línea alrededor de $C$ ‍, escrita como $\oint$ ‍ en vez de $\int$ ‍ para to enfatizar que $C$ ‍ es una curva cerrada.

Esta es la definición del rotacional que te podrías encontrar en otros textos. Es una definición rara, ya que en vez de definir el propio vector

rot F

, solo define cuál debería ser el producto punto entre este vector y cualquier otro.

Pero aquí está por qué más o menos tiene sentido hacer las cosas de esta manera, incluso si se siente muy enredado: la rotación es una idea intrínsecamente bidimensional, y cuando tratamos de hablar acerca de la rotación en tres dimensiones (por ejemplo, la rotación de la Tierra) de cierta manera rara estamos forzados a usar vectores. Un vector de rotación dado está diciendo "la rotación en realidad está ocurriendo en un plano bidimensional, y yo solo te estoy diciendo cuál plano".

Cuando se trata de la rotación de un fluido, lo que en realidad queremos es una manera de tomar cualquier vector de rotación (que es lo mismo que decir cualquier plano posible en el cual ocurre la rotación), y preguntar "¿qué tanto de la rotación del fluido cerca de un punto dado se ve como este vector?". El rotacional nos da una manera de responder esta pregunta. Para un vector dado, que representa cierta rotación, el producto punto de ese vector con el rotacional del flujo de un fluido te dice cuánta de la rotación del fluido está representada por ese vector.

Resumen

Para definir el rotacional en tres dimensiones, tomamos dos dimensiones a la vez. Proyectamos el fluido sobre un solo plano y medimos el rotacional bidimensional en ese plano.
Al usar la definición formal del rotacional en dos dimensiones, esto nos da una manera de definir cada componente del rotacional tridimensional. Por ejemplo, la componente $x$ ‍ está definida así:
$\begin{array}{r} (rot F (x, y, z)) \cdot \hat{i} \overset{definición}{\overset{⏞}{=}} lim_{| A_{((x, y, z), \hat{i})} | \to 0} (\frac{1}{| A_{((x, y, z), \hat{i})} |} \oint_{C} F \cdot d r) \end{array}$ ‍
Puedes reemplazar $\hat{i}$ ‍ con cualquier vector unitario para definir cuál debe ser la componente de $rot F$ ‍ en cualquier dirección.

¡Felicidades!

Entender completamente esta definición complicada es una señal de que entiendes bien el rotacional y las integrales de línea, cada uno de los cuales es un concepto formidable por sí solo.

Además, esta definición te va a preparar muy bien para entender el teorema de Stokes, un tema que se encuentra en la cumbre del cálculo multivariable.

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