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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 5

Lección 1: Definiciones formales de la divergencia y el rotacional (lectura opcional)

La definición formal de la divergencia en tres dimensiones

Aprende cómo se usan las integrales de superficie y el flujo en tres dimensiones para formalizar la idea de la divergencia en tres dimensiones.

Antecedentes

Es un paso corto entre estos dos prerrequisitos y la comprensión de la definición formal de la divergencias en tres dimensiones. Por esa razón, este artículo va a ser corto, al suponer que tienes la intuición detrás de esas dos piezas de conocimiento previo.

Qué vamos a construir

El objetivo es capturar la intuición del flujo saliente en un punto en una fórmula matemática.
En tres dimensiones, la divergencia se define al usar el siguiente límite:

$\begin{array}{r} div F (x, y, z) = lim_{| R_{(x, y, z)} | \to 0} \overset{Flujo promedio saliente de R por unidad de volumen}{\overset{⏞}{\frac{1}{| R_{(x, y, z)} |} \underset{Flujo a través de la superficie de R}{\underset{⏟}{\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ}}}} \end{array}$ ‍

$F (x, y, z)$ ‍ es un campo vectorial tridimensional, pensado como que define un flujo tridimensional de un fluido.
$(x, y, z)$ ‍ es algún punto específico en el espacio.
$R_{(x, y, z)}$ ‍ es una región tridimensional que contiene al punto $(x, y, z)$ ‍.
$| R_{(x, y, z)} |$ ‍ es el volumen de $R_{(x, y, z)}$ ‍
$| R_{(x, y, z)} | \to 0$ ‍ indica que estamos considerando el límite cuando el volumen de la región se va a $0$ ‍. Como $R_{(x, y, z)}$ ‍ debe contener a $(x, y, z)$ ‍ por definición, puedes pensar acerca de la región como que se encoge alrededor del punto específico.
$S$ ‍ es la frontera de $R_{(x, y, z)}$ ‍, que es una superficie.
$\hat{n} (x, y, z)$ ‍ es una función vectorial que regresa un vector normal unitario que apunta hacia afuera en cada punto sobre $S$ ‍.
La integral de superficie $\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ$ ‍ da el flujo de $F$ ‍ a través de la superficie $S$ ‍.

Están pasando muchas cosas en esta definición, pero la mayor parte de la complejidad está en esa integral de flujo. Si entiendes esa parte, el resto se vuelve tomar el límite con respecto a la región que se encoge alrededor de un punto.

De una región a un punto

Digamos que tienes un campo vectorial tridimensional.

$F (x, y, z) \leftarrow Campo vectorial tridimensional$ ‍

Como siempre, piensa acerca de este campo vectorial como que representa el flujo de un fluido. La divergencia

div F

trata de medir el "flujo saliente" de este fluido en cada punto. Sin embargo, no acaba de hacer sentido hablar acerca de lo que significa que un fluido fluya hacia afuera de un punto.

Lo que sí hace sentido es la idea de un fluido que fluye hacia afuera de una región. De manera específica, imagínate una región

R

en el campo vectorial.

Contenedor video de Khan Academy

Ver la transcripción del video

Llamemos "

S

" a la superficie de esta región. En el artículo sobre flujo en tres dimensiones, te mostré que puedes medir la tasa a la cual el fluido está dejando la región al tomar el flujo de

F

sobre la superficie

S

$\underset{Tasa a la cual el fluido sale de R}{\underset{⏟}{- \frac{d (masa del fluido en R)}{d t}}} = \underset{Integral de superficie del flujo}{\underset{⏟}{\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ}}$ ‍

Aquí,

\hat{n} (x, y, z)

es la función vectorial que regresa el vector normal unitario que apunta hacia afuera en cada punto sobre

S

La divergencia tiene que ver con el cambio de la densidad del fluido alrededor de cada punto, y no de la masa. Podemos obtener el cambio en la densidad de fluido de

R

al dividir la integral del flujo entre el volumen de

R

. Para indicar el volumen de

R

, ponle barras alrededor:

$| R | \leftarrow Volumen de R$ ‍

Así que aquí está cómo se ve la tasa a la cual cambia la densidad del fluido dentro de

R

$- \frac{d (density del fluido en R)}{d t} = \frac{1}{| R |} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ$ ‍

La divergencia de

F

en un punto

(x, y, z)

está definido como el límite de esta expresión del cambio en la densidad del fluido a medida que la región se encoge alrededor del punto

(x, y, z)

$div F (x, y, z) = \underset{R se encoge alrededor de (x, y, z)}{\underset{⏟}{lim_{R \to (x, y, z)}}} \frac{1}{| R |} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ$ ‍

En esa ecuación, escribí

R \to (x, y, z)

para expresar la idea de que

R

se encoge alrededor del punto

(x, y, z)

. Al final del día, toda esta notación es solo un intento desesperado de comunicar una idea altamente visual con símbolos. Verás a diferentes autores utilizar diferentes notaciones. Si lo prefieres, alternativamente podrías comenzar por decir que

R_{(x, y, z)}

es una región que contiene el punto

(x, y, z)

y luego escribir lo siguiente:

$div F (x, y, z) = lim_{| R_{(x, y, z)} | \to 0} \frac{1}{| R_{(x, y, z)} |} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ$ ‍

Tengo una ligera preferencia por la última notación, solo porque hace un poco más sencillo ver la conexión entre

(x, y, z)

del lado izquierdo y del lado derecho sin depender tanto del contexto en el que estén definidos todos los términos.

¡Felicidades!

Si estás en el punto en el que puedes entender esta definición (bastante complicada), es una buena señal de que tienes una comprensión mental fuerte tanto de la divergencia como de las integrales de superficie. También significa que estás en una buena posición paras entender el teorema de la divergencia, el cual conecta esta idea con la de las integrales triples.

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