La fórmula de la divergencia (parte 1)

hola a todos ahora que ya tenemos la intuición de lo que es la divergencia y lo que intenta representar trataremos de darle una formula y lo primero que quiero hacer es solo fijarnos en funciones que solo tienen componentes horizontal entonces estamos pensando que nuestra segunda componente o la que está descrita por la función q pues va a valer en realidad 0 vamos a poner aquí que vale 0 muy bien entonces un campo vectorial que tiene su segundo componente 0 se visualizaría más o menos así tendríamos puras flechas horizontales verdad porque no tiene componente vertical entonces quizás apunta sí y luego puede apuntar así o quizás apunta de esta forma sí y luego tenemos una flecha grande en fin el punto es que las flechas todas apuntan en la dirección horizontal es decir ya sea a la derecha oa la izquierda así que pensemos cómo se vería la divergencia de nuestro campo vectorial b pero evaluada en algún punto particular x allí y de hecho pensemos cuando es que la divergencia es positiva en este caso así que pensemos en un punto digamos aquí tenemos el punto x mayer y digamos que aquí nuestra función p se anula es decir no tenemos ningún punto perdón ningún vector asociado entonces para que la divergencia crezca como vimos en un vídeo anterior pues necesitamos que las flechas por apunten en dirección contraria donde se encuentra este punto verdad entonces por ejemplo podríamos pensar en algo así pero si pensamos en algo así quiere decir que del lado izquierdo de nuestro punto la función p tiene que ser negativa para que esto apunte a la izquierda y acá del lado derecho tiene que ser positiva para que apunte hacia la derecha verdad entonces podemos notar aquí claramente que la función p va de digamos de negativo a cero y luego a positivo así que en resumen al movernos en la dirección de x verdad que debe crecer así que entonces la la divergencia la divergencia de nuestro campo vectorial sería positivo pero si lo interpretamos de otra forma quiere decir que la derivada parcial de p con respecto de x tiene que ser positiva verdad esto es para que podamos ir de negativo a 0 y positivo es decir que la función p vaya creciendo verdad ahora bien si no tienes muy claro nos referimos con esto pues tengo un vídeo al respecto de las derivadas parciales verdad así que puedes puedes consultarlo pero espero que esto al menos nos dé una idea de por qué la derivada parcial de p con respecto de x tiene que ser positiva pero bueno recordemos que esta no es la única forma que tenemos para plantear un escenario en donde la divergencia sea positiva verdad podríamos pensar por ejemplo en algún punto digamos que este sea nuestro punto x de verdad y que en este punto sí tengamos una flecha asociada quiere decir aquí que nuestra función p tendría que ser positiva verdad pero entonces para que ésta sea para que tengamos una divergencia positiva quiere decir que quizás lo que entra del lado izquierdo tiene que ser mucho menor que lo que sale verdad entonces quiere decir que al movernos en la dirección de x verdad nuestro vector va aumentando de tamaño lo cual significa que el valor de p también tiene que ir lo cual vuelve a caer en el caso en donde la derivada parcial de p con respecto de x tiene que ser positiva verdad y podríamos pensar también el caso contrario en donde en lugar de que apunte hacia la derecha en este punto digamos que apunte hacia la izquierda y entonces para para tener esta idea de que se aleja más digamos nuestras partículas de agua quiere decir que acá tendrá que ser muy grande nuestro vector pero en la dirección digamos hacia la izquierda verdad en ese sentido y de este otro lado tendrá que ser muy pequeño quiere decir que va por ejemplo para este caso aquí tendremos que el valor de p es negativo pero a su izquierda es mucho más negativo y quizás a la derecha no es tan negativo como como en el punto que nos interesa verdad entonces otra vez iríamos de muy negativo a poco negativo es decir la función p va creciendo lo cual nos dice que su derivada con respecto de x positiva verdad así que lo que podríamos esperar es que la derivada parcial de p con respecto a x estará involucrada en la fórmula de la divergencia de alguna forma verdad justo en el punto xy y en el próximo vídeo seguiré esta misma línea de razonamiento para ver que debe pasar con la componente vertical