Idea intuitiva detrás de la divergencia (parte 1)

por fin hemos llegado a uno de mis temas favoritos en todo el cálculo multi variable y es la divergencia y en los próximos vídeos voy a describir qué es matemáticamente y cómo calcularlo pero aquí simplemente quiero dar un entendimiento visual de qué es y tratar de representarlo así que tenemos una imagen en frente de nosotros es un campo vectorial y como he dicho antes es una forma muy bonita de entender digamos cómo cómo fluyen algunos fluidos como el agua o el aire verdad y lo que quiero hacer es pensar en cada punto de este espacio vamos a pensar que es una partícula verdad quizás una partícula de aire o de agua y lo que un campo vectorial hace es asociar a cada punto en el espacio un vector verdad y recordemos que cuando representamos campos vectoriales solo mostramos un pequeño subconjunto de sus vectores pero en principio podríamos estar pensando que todos estos puntos infinitos en el espacio tienen un vector asociado y de hecho digamos son cambian cambian de forma suave a medida que atravesamos el espacio verdad lo que significa que tendremos un pequeño digamos una pequeña muestra finita de toda esa infinidad de vectores y aún así nos da una muy buena idea de qué es lo que está pasando así que si tenemos partículas de un fluido verdad y tenemos un vector asociado a cada uno de ellos una idea natural que podríamos pensar es qué pasaría si dejamos que esto avance con el tiempo verdad donde en cada instante del tiempo verdad la velocidad de esas partículas está dada por el vector que que tiene asociado en ese punto verdad así que a medida que se mueve estará tocando un vector distinto así que la velocidad quizás podría cambiar un poco girar verdad ir en otra dirección y cada molécula va a recorrer una trayectoria determinada por estos vectores verdad cuando los tocan y podríamos pensar que todo esto lo hacemos en un solo momento verdad se va a sentir justamente como un fluido y en realidad no tienes que imaginar lo que ha hecho la animación para ti así que pongamos algunas moléculas de agua o puntos que representan una muestra de moléculas de agua verdad a lo largo de todo este espacio y vamos a darle vamos a correr esta animación donde cada una de estas se está moviendo siguiendo el vector que está más cerca a él así que corremos pasión y aquí vemos que cada partícula está moviéndose a lo digamos siguiendo al vector que está tocando en el punto en donde se encuentra en dado momento verdad así que por ejemplo si regresamos digamos a la imagen verdad y quizás enfocamos nuestra atención en sólo un punto verdad digamos este punto que tendrá un vector anclado aquí verdad se moverá en esta dirección pero sólo por un instante porque justamente después se va a mover un poco y tendrá otro vector ha anclado verdad así que si corremos la animación y seguimos ese punto particular después de un poco lo encontraremos en otro lado verdad creo que era creo que era justamente este y ahora tiene otro vector verdad anclado o quizás era otro punto en realidad no importa pero si pensamos en todas estas partículas al mismo tiempo verdad esto nos da una idea global del campo vectorial si estás estudiando matemáticas podrías empezar a preguntarte algunas dudas inmediatas sobre la naturaleza de este fluido por ejemplo podrías tratar de contar el número de moléculas de agua que hay dentro de esta región verdad y ver si este esta cuenta cambia con digamos con el tiempo verdad mientras corremos esta animación y en este ejemplo particular puedes ver que en realidad no cambia mucho verdad no incrementa ni disminuye a lo largo del tiempo verdad así que si te doy una función que determine este campo vectorial deberíamos poder ser capaces de decir porque en este caso el número de moléculas en la región no tiende a cambiar mucho pero si nos fijamos en otro ejemplo digamos este de aquí y si nos enfocamos en lo que ocurre alrededor del origen verdad podríamos predecir incluso qué es lo que va a ocurrir verdad una vez que dejamos que estas moléculas de agua que voy a poner fluyan siguiendo los vectores verdad entonces la densidad dentro de la región va a disminuir verdad así que ponemos un montón de moléculas corremos la animación por un instante y vemos que algo que caracteriza a este campo vectorial alrededor del origen es que disminuye la densidad de verdad entonces esto nos sugiere bastante el tipo de operación que vamos a estar haciendo aquí que tiene que ver con las moléculas de agua y es que éstas tienen que divergen alrededor del origen es decir el tipo de divergencia de nuestro campo vectorial será positivo verdad y esto lo que significa matemáticamente lo veremos en otros vídeos así que si ahora volteamos los vectores de aquí verdad si los volteamos ahora nos preguntamos sobre la densidad en esa misma región alrededor del origen y probablemente vemos que incrementa verdad justamente cuando el flujo avanza en realidad no divergen sino que convergen hacia el origen y este hecho tiene un significado matemático para la función que representa a este campo vectorial alrededor del punto incluso si el campo vectorial no representa a un fluido verdad no puede representar un campo magnético o un campo eléctrico o cosas de ese estilo verdad hay ciertos significados para esta idea de divergen desde un punto o converger hacia un punto ya veces algunas personas en lugar de pensar en un campo vectorial que tiene un flujo que se aleja verdad desde algún lado en realidad en vez de pensar en que disminuye la densidad también se puede imaginar que este fluido tiene digamos una forma de reproducirse nuevamente alrededor de este punto así que podríamos pensar que el origen es un cierto tipo de fuente de este fluido verdad y si animáramos esto mejor tendremos un montón de puntos que serían que estarían surgiendo desde nuestra fuente verdad así que en realidad la de la densidad no disminuye en todos lados pero la idea es que los puntos de donde hay divergencia positiva verdad tendrían una especie de fuente de este fluido para que las cosas se sigan manteniendo igual es verdad y al revés si estamos pensando digamos en un flujo que va apunta hacia adentro en alguna región verdad lo que podríamos llamar una divergencia negativa entonces al correr esta animación podríamos ver cómo es que continuamente tendríamos que en el centro digamos en este punto central verdad tenemos un sumidero o un pozo verdad y podríamos pensar que este fluido se escabulle por algún lado verdad este es quizás un término muy técnico verdad algunas personas dirán que el campo vectorial tiene un pero si regresamos al ejemplo original donde no teníamos un cambio en la densidad del fluido lo que podríamos notar es que esto realmente se siente más como si fuera agua verdad que los otros ejemplos y justamente es porque no hay un cambio en la densidad así que si encontramos una forma matemática de describir esta falta de cambio en la densidad es una muy buena forma de modelar el flujo del agua verdad y otra vez no es que sea un flujo de agua pero es algo que a lo mejor podría ser un campo magnético o puede tener cualquier otro significado verdad el punto es que no cambia la densidad o una idea similar verdad así que yo creo que con esto hemos avanzado bastante en los próximos vídeos te voy a contar qué es la divergencia desde el punto de vista matemático cómo calcularlo y haremos algunos ejemplos nos vemos