Linealidad local para una función multivariable

muchos de los conceptos que hemos aprendido en cálculo multivariable tienen sus bases en el álgebra lineal ya que utilizamos mucho estas herramientas para poder resolverlos llevando esta misma idea para aplicarla a ejercicios que ahora no van a ser lineales por ejemplo si esta vez nos tomamos una función déjame escribirlo me voy a tomar una función que la voy a aplicar a un cierto vector al vector x bien y voy a suponer que ahora lo que va a hacer esta función es mandarme este vector xy a otro vector que de igual manera va a ser un vector bidimensional pero ahora me voy a tomar la siguiente transformación voy a pensar que esta primera entrada de este vector me la mandé a una función de estas dos a la función x más el seno de james déjame ponerlo así el seno de james mientras que en la segunda componente me voy a tomar a gem y le voy a sumar y para hacer esto un poco simétrico ya sabes mis debilidades por la simetría voy a sumarle el seno de x y vamos a ver qué es lo que pasa cuando le aplicó esta función a este vector bueno no forzosamente necesitan este tipo de simetría entonces en el vídeo anterior de un pequeño repaso de cómo pensar acerca de las transformaciones lineales y de algunas ideas del álgebra lineal sobre cómo codificar una transformación lineal usando una matriz y también trabajamos en esta cuadrícula para visualizarlo aquí quiero mostrarles cómo se ve esta función como una transformación en el espacio es decir le voy a decir a la computadora que tome cada uno de los puntos de esta cuadrícula y si este es el punto james quiero que lo mueva sobre el punto x + seno de james coma james más seno de x y aquí está como se ve bien la cuadrícula se vuelve muy ondulada bastante rizada y como ves esto de plano no es una transformación lineal las rectas no permanecieron rectas y observa que ya no son paralelas ni uniformemente separadas en algún sentido hay mucha más información la que intervienen en funciones no lineales que la que interviene en funciones lineales y ya que esto se ve bastante complicado creo que podría ser más fácil que lo entendiéramos si nos fijamos en un solo punto así que permítanme buscar un punto digamos no se me voy a fijar qué es lo que pasa con el vector pri medios y medios pero estos valores van a ser fáciles de evaluar y entonces vamos a ver qué obtenemos si metemos este vector bueno si metemos este vector observa que aquí me va a quedar lo siguiente me va a quedar en la primera componente x x spri medios entonces me quedaría pin medios más el seno de cero pero el seno de cero es cero así que no hay que sumarle nada más y si me fijo en la segunda componente me quedaría bien pero lleva la cero entonces no hay que sumar nada más el seno de pi medios pero el seno de pi medios es lo mismo que uno entonces aquí simplemente me va a quedar uno así que vamos a ver qué es lo que pasa con este vector con este punto el punto primero a cero y vamos a ver si en efecto llegamos al punto y medios como uno espera déjame especificar que aquí le aplicamos la función eso es importante y bueno si regresamos aquí y nos fijamos entonces en el punto medio es como 0 y medios es aproximadamente 1.5 así que va a estar por aquí y esperemos que este punto se mueva al punto 21 entonces solamente debería de moverse en una unidad verticalmente y si sólo nos enfocamos en ese punto durante la transformación observamos que exactamente eso es lo que pasa solo se mueve una unidad verticalmente y por supuesto a todos los puntos les va a pasar algo similar porque bueno esta función parece ser bastante complicada ahora la computadora está tomando cada punto y moviéndolo hacia donde debería ir así que después de haber dado el repaso sobre el razonamiento de las transformaciones lineales y cómo codificar las en matrices como vimos la vez pasada ahora vamos a ver algo que podría parecer completamente inabordables ya que sin duda tienen que guardar mucha más información que sólo cuatro números para registrar a dónde va esto pero esta función tiene una propiedad agradable una propiedad con la que lidiamos todo el tiempo en cálculo multivariable es lo que llamamos lineal local déjame escribirlo realidad local y lo que significa es que si tuviera que tomar de nuevo nuestra configuración inicial y hacer un acercamiento en un punto dado así que voy a acercarme a este punto de la izquierda y está cuadrado en la parte superior derecha solo muestra la versión ampliada de ese punto en primer lugar voy a agregar algunas rectas más a la cuadrícula son rectas realmente muy cercanas que hacen una cuadrícula más pequeña pero esto nos va a ayudar de hecho podemos verlo en la imagen ampliada muy bien y puedes ver que todas estas rectas están paralelas y uniformemente separadas ahora cuando reproduzco la animación voy a tener este cuadrado amarillo que está haciendo que el acercamiento siga el punto en su centro entonces si hago la transformación y nosotros solamente estamos viendo que pasa el cuadrado ha empleado este cuadrado va a seguir ese punto durante la transformación y ahora podemos ver dentro de esta versión ampliada que bueno en primer lugar sigue siendo no lineal las rectas se curvan un poco estás de acuerdo ahora parece un poco más una función lineal temas como las rectas de la cuadrícula que comenzaron horizontales y verticales y estaban paralelas y uniformemente separadas y de hecho digamos que lo acercó aún más a un cuadradito más pequeño voy a hacer aún más pequeño el lado izquierdo y de nuevo voy a agregar rectas a la cuadrícula rectas alrededor del punto que vamos a seguir así está densamente comprimido y bueno esto es solamente para ayudarnos a visualizar mejor las cosas podría poner rectas o puntos o cualquier cosa que nos ayude a visualizar qué es lo que va a pasar así que esta vez reproduzco la transformación y ese cuadro ampliado monitorea el punto que estamos viendo y también el entorno alrededor todos los puntos alrededor realmente se ven ahora como una función lineal y entre más me acerque más precisamente se verá como una función lineal así que esto provoca la duda de que si estamos viendo alrededor de algún punto específico el cual voy a llamar el punto es cero james 0 ok y me fijo en este punto de aquí entonces puedo encontrar una matriz de 2 x 2 me voy a aplicar en una matriz de 2 x 2 ok que correspondan a la transformación lineal que se ve alrededor de él que representa la transformación lineal de esta función al menos de lo que se ve en esta función más complicada que lo que se ve esta transformación que parece lineal alrededor de este punto y es justo a lo que nos referimos con local en el siguiente vídeo voy a mostrarles cómo se ve esta matriz en términos de las derivadas parciales para nuestra función original entonces nos vemos hasta el siguiente vídeo