La matriz Jacobiana

en el vídeo anterior estábamos viendo esta función que tengo aquí esta función que es sumamente no lineal y la estábamos representando como una transformación que lleva a cada punto x m al punto x base no de james quien seno de x además nos estuvimos acercando a un punto específico y permíteme escribirles a qué punto nos acercamos nos acercamos al punto menos 2,1 menos 2,1 y lo que hice fue agregar algunas rectas adicionales a la cuadrícula alrededor del punto que podemos ver aquí así podemos ver el detalle de lo que la transformación le hace a los puntos que están en torno a ese punto menos 21 y de este lado en el cuadro tenemos la versión ampliada de ese entorno y lo que vimos fue que aunque la función como un todo se comporta como una transformación que luce bastante complicada alrededor de ese solo punto se ve como una función lineal tiene linealidad local así que lo que quiero mostrarles aquí es una matriz que va a indicar la función lineal que se ve como el cuadro de la versión ampliada y esto va a ser una matriz de 2 x 2 así que la voy a escribir justo aquí y me voy a tomar una matriz de 2 x 2 que me den esa linealidad local y la manera de pensarla es primero volver a nuestra configuración original antes de la transformación esta que tengo aquí y pensar en un pequeño cambio el x primero vamos a ver qué es lo que pasa cuando tomamos un pequeño cambios a la derecha es decir voy a pensar una pequeña d es un pequeño cambio en la dirección x y en lo que esto se convierte después de la transformación porque va a ser un pequeño cambio también en el espacio de salida así que permíteme dibujar dentro del cuadrado en lo que ese pequeño cambio se convierte ojo observa que este ya no está completamente en la dirección x tiene un componente hacia la derecha pero también tiene un componente hacia abajo y para poder representar esto de una manera agradable lo que voy a hacer es en el lugar de escribir esta función que tengo aquí que toman un vector y nos da un vector de salida lo voy a escribir mejor de la siguiente manera voy a representarlo como un vector que nos dé dos funciones separadas ahora voy a tener a dos funciones escalares y la primera la voy a llamar así efe 1d x james y bueno en la otra componente también voy a tener otra función f 2 que también depende de xm y ahora observan estas dos son funciones escalares entonces tal vez sea mejor para que así entiendas esta explicación que voy a dar solamente les estoy dando un nombre a efe uno de que james es la función x + seno de james y f2 de que james es la función que más el seno de x ahora cuando veo el vector del cuadrado este vector resultante de tener una pequeña de x es decir un pequeño cambio en el espacio de entrada este ahora corresponde a un movimiento bidimensional en el espacio de salida y el componente en x de ese movimiento es algo que consideramos como un pequeño cambio pero ahora en f1 es decir ahora tenemos un pequeño cambio en f1 y si hacemos justo esta división la magnitud del cambio en f1 entre la magnitud del cambio en x vamos a obtener cuánto cambia el espacio de salida con respecto al de entrada básicamente aumenta la escala hasta que sea un vector de magnitud normal no un pequeño empujón porque es algo más constante que no se reduce mientras nos acercamos más y más y más y luego del mismo modo el cambio y la dirección james el componente vertical de este cambio que o como todavía está provocado por de x va a ser un pequeño cambio en f2 es decir nos estamos fijando ahora en la componente jet del espacio de salida ya que recuerda que estamos viendo el espacio de salida que fue provocado por el cambio parcial en la dirección x así que déjame ponerlo entre el cambio parcial en la dirección x y de nuevo me gusta pensar esto como que estamos dividiendo por una pequeña cantidad este pequeño cambio en f2 es en realidad un empujón muy pero muy pequeño dividido entre la magnitud de un empujón pequeño inicial que lo provocó estamos obteniendo algo que es básicamente un número algo que no se reduce cuando consideramos más en más versiones ampliadas entonces eso lo que sucede cuando damos un pequeño cambio en la dirección x ahora bien otra cosa que podemos considerar es un pequeño cambio en la dirección james ya que queremos saber si tomamos un pequeño cambio que sea vertical una pequeña cantidad de hacia arriba entonces qué le sucederá cuando le aplicamos la transformación y como se ve es este vector que déjame ponerlo todavía tiene una componente hacia arriba pero también tienen una componente hacia la derecha y ahora voy a escribir sus componentes como la segunda columna de esta matriz porque como sabemos cuando estamos representando la transformación lineal con una matriz la primera columna les dice hacia dónde va el primer vector base y la segunda columna muestran hacia dónde va el segundo vector base y si esto te parece desconocido revisa el vídeo anterior o tal vez vayan y vean el contenido de álgebra lineal pero para averiguar las coordenadas de ese vector hacemos básicamente lo mismo vamos a decir que en primer lugar tenemos un cierto cambio dirección x el componente x es ese vector que va a estar dado como un cambio parcial también en f1 es decir en la primera componente de salida porque recuerda aquí estamos viendo el espacio de salida donde estamos trabajando con f 1 y con ep 2 y estamos planteando cuál fue el cambio que fue causado por un pequeño cambio ahora en la dirección y entonces el cambio en f1 provocado por un pequeño cambio la dirección tiempo esto nos da nuestra primera componente de salida y luego la componente jet de nuestra salida el componente del cambio en el espacio de salida bien va a ser ahora un cambio en f2 ok provocado por un pequeño dèiem provocado por un pequeño cambio en y por supuesto todo esto es muy específico al punto donde empezamos al punto menos 2.1 así que en cada una de estas derivadas parciales habrá que evaluarlas en este punto de menos 2 a 1 y con eso obtendremos cada uno de los componentes de la matriz en el punto menos 2,1 en cada componente van a obtener algún número y eso les dará una matriz de 2 por 2 muy concreta que va a representar la transformación lineal que este 4 representan una vez ampliado entonces esta matriz de aquí tiene un nombre bastante importante la matriz de todas las derivadas parciales se le conoce con el nombre de matriz hakobyan a déjeme notarlo y bueno la podemos entender como una matriz que tienen toda la información de las derivadas parciales está tomando en cuenta las dos componentes de salida f 1 de x 72 de quiché como también los dos componentes de entrada x james que en este caso los vamos a evaluar como menos 2 1 pero como espero que vean es mucho más que solamente una manera de registrar lo que pasó con todas las derivadas parciales existe una razón para organizarla de esta manera y realmente cae con esta idea de linealidad local para que entiendan lo que la matriz hakobyan am fundamentalmente representa es decir cómo se ve una transformación cuando la amplían acerca de un punto específico entonces todo esto toma sentido y en el siguiente vídeo voy a continuar y realmente lo que voy a hacer es calcular esta matriz solo para mostrarles cómo se ve el proceso y cómo llegamos al resultado que corresponde a la imagen que estamos observando así que hasta entonces