Un tratamiento más formal de la regla de la cadena multivariable

hola a todos esto sería lo que yo llamaría un vídeo opcional en los vídeos anteriores he hablado de lo que es la regla de la cadena multivariable dando una justificación que a muchos quizás les habrá parecido poco rigurosa por ejemplo yo consideraba cosas como este estilo donde teníamos la derivada de una función vectorial verdad y multiplicamos por un pequeño incremento en t verdad y nosotros decíamos bueno esto lo podríamos cancelar y tenemos un pequeño incremento en la función b y algunas personas dirán esto no es exactamente una fracción así que en realidad es una derivada y lo estamos tratando de forma incorrecta y aunque eso es cierto la intuición que vimos coincide muy bien con el argumento informal que hemos estado manejando así que vamos a borrar por ahorita todo esto muy bien vamos a borrarlo ahora veremos ese argumento formal que les les he estado platicando verdad y sólo para recordar más o menos la intuición que hemos desarrollado nosotros digamos teníamos nuestro espacio de digamos donde vive la variable de verdad que en esencia es la recta real muy bien y además tenemos una función de verdad que tiene valores vectoriales que nos manda digamos esta recta numérica esta función be nos la nos manda la recta numérica a este espacio que puede tener varias dimensiones verdad el caso quizás más simple sería el plano con dos dimensiones podríamos tener el espacio con tres dimensiones verdad en realidad no importa la dimensión y luego tenemos una función digamos nuestra función efe que a este espacio de varias dimensiones lo manda exactamente a la recta de la recta real verdad entonces esto sería nuestro espacio de salidas y entonces en esencia cuando vemos la composición demandarte mediante la función de a este espacio de varias dimensiones y luego aplicar efe que regresa a una dimensión tenemos una función que en esencia tiene una variable y una salida verdad por eso es que nosotros podemos tomar simplemente la derivada ordinaria de esta composición de funciones es una es una función digamos en tradicional verdad de una variable y una salida entonces siguiendo la idea de lo que es la regla de la cadena tradicional la derivada de una composición sería la derivada de la digamos función que ésta fuera evaluada en la que está dentro multiplicando por la derivada de la que está dentro verdad que es justamente lo que tenemos aquí solo que la derivada de la función f es un gradiente y la derivada de la función de adentro pues es un vector y el producto que tenemos que hacer entre ellas es el producto punto muy bien entonces para poder hacer digamos para poder deducir esta fórmula siempre es bueno partir de la definición tradicional de la derivada verdad y esta definición tradicional en esencia es el límite cuando h tiende a cero y cuando h cuando escribimos h en realidad podríamos estar pensando en un pequeño incremento en la variable t verdad y esto será el límite de una cosa que tiene aquí como denominador h verdad y tendremos que evaluar efe en vez de temas h - efe debe de verdad esta es la definición clásica de la derivada muy bien en realidad esta parte de arriba corresponde al incremento verdad estamos calculando el incremento que tenemos de esta función completa muy bien entonces ahora sólo para para tener un punto de partida vamos a recordar un poco de la la intuición de la regla de la cadena verdad entonces nosotros digamos partimos de algún punto cualquiera por aquí verdad y pensamos en un pequeño aumento en nuestra variable t que vamos a denotar con de verdad este pequeño aumento en la variable t nos produce digamos un pequeño aumento nuestra función vectorial ve verdad entonces y aquí tenemos digamos a donde cae este punto bajo la imagen digamos bajo la acción de nuestra función de verdad entonces esto produce algún cambio que podemos denotar como de verdad y este debe en realidad será proporcional al aumento digamos en esta variable de verdad y de hecho el factor de digamos el factor de proporción entre este aumento y el otro pues será justamente la derivada por eso es que podemos pensar que cancelamos verdad pero finalmente este pequeño aumento en digamos en la función vectorial b nos produce un cambio en nuestra función f verdad y ese cambio está dado por la derivada direccional en la dirección de este vector debe verdad de nuestra función f entonces con esta intuición aquí podemos ver en este paso intermedio que necesitamos calcular la derivada de la función vectorial así que sería un buen punto para continuar digamos calculando esa derivada a partir de la definición clásica verdad otra vez tendremos la derivada de nuestra función vectorial de verdad y vamos a calcular la derivada con respecto a t y esto será el límite cuando h tiende a cero de b de temas h - b dt y todo esto irá dividido entre h y no hay que perder de vista que como como se interpreta esto en realidad esto es una diferencia de vectores lo cual nos dará nuevamente un vector y vamos a reescalar lo con este digamos con esta h verdad que es un número que está dividiendo a este vector entonces aquí hay una multiplicación de una escala por un vector entonces el límite de todo esto será justamente un vector es decir la derivada de una función vectorial vuelve a ser un vector y solo para digamos poder escribirlo mejor forma vamos a considerar justamente esto de aquí vamos a copiarlo tal cual y vamos a copiarlo y vamos a pegarlo nuevamente aquí abajo entonces vamos a decir que la derivada será igual a ésta a este vector pero necesitamos agregar también un error verdad es decir es como lo que le falta a este vector para hacer justamente la derivada muy bien entonces lo importante de este error es que tiende a cero cuando nuestra variable h tiende a cero pues cuando h tiende a cero justamente esto de aquí es la derivada entonces esto tendría que ser cero verdad y esto que hemos hecho aquí será muy útil para poder manipular todas las cuentas que vamos a desarrollar en realidad como a nosotros nos interesa saber digamos alguna forma de expresar de de temas h pues aquí podemos observar que aquí se encuentra justamente desde temas h entonces si multiplicamos ambos lados de esta igualdad por h veamos qué es lo que obtenemos obtendremos h veces la derivada de con respecto a ti pues era justamente ve de temas h - vedette verdad es justamente este numerador y que dicho sea de paso pues esto es justamente lo que estamos pensando como nuestro cambio en la función de verdad podríamos pensarse como ese pequeño empujoncito que tenemos en la dirección de la derivada verdad entonces por supuesto éste es sólo el primer sumando y además tenemos otros otros sumando verdad a veces la función error verdad lo que es el error lo que le faltaba a este número para hacer a este vector perdón para hacer la derivada y nuevamente voy a introducir un poquito de notación esto lo voy a denotar como o minúscula dh y en realidad esta es una convención o digamos algo muy muy común cuando uno está trabajando en análisis matemático verdad porque una función que es o minúscula de h significa que al dividir la norma de esa función entre la variable h éste tiende a cero cuando h tiende a cero entonces puedes observar que h por vih es o minúscula de h ya que al dividir esto entre h sé que suena un poquito como a trabalenguas pero pero al dividir esto entre h simplemente nos queda el error y el error sabemos que tiende a cero cuando h tiende a cero verdad entonces pero bueno solo es un poquito de convención verdad y ahora podemos despejar quienes ve de temas h que era lo que necesitamos justamente aquí arriba verdad entonces ve de temas h ve de temas h simplemente despejando será vedette pasando digamos sumando lo del otro lado será de t a veces la derivada de b con respecto a t y luego tenemos menos algo que es o de h muy bien entonces en realidad este menos puede ser más no importa en realidad todo esto no es una función simplemente es la notación verdad estamos diciendo que es algo que sea pachorra muy muy muy rápidamente a cero cuando h tiende a cero muy bien entonces ahora lo que podemos hacer es regresar a nuestra definición digamos que queríamos estudiar justamente esta de aquí vamos a estudiar esta definición muy bien y vamos a copiarla aquí abajo para poder seguir trabajando con ella muy bien esto era justamente lo que queríamos calcular y ahora vamos a hacerlo solo que vamos a sustituir esta vez de temas h por esta expresión que tenemos aquí entonces esto será el límite cuando h tiende a cero de la función f evaluada en vez de t + h veces la derivada de b con respecto a t por supuesto todo esto va evaluado entre verdad todo esto va evaluado entre menos o menos nuestra función o de h que es esta cosa que sea pachorra muy rápido verdad y luego simplemente tendremos menos efe de tdt verdad hasta este momento todo esto que sustituimos era simplemente verde temas h aquí copiamos vedete de perdón efe dt y todo esto lo dividimos entre h muy bien y aquí viene digamos la parte interesante este o de h como ya dijimos es algo que sea para churra muy muy rápido cuando h tiende a cero se hace muy rápidamente 0 entonces podríamos por un momento despreciar este término verdad vamos a ignorar sin embargo ahora lo que tenemos aquí verdad justamente una pequeña desviación en la dirección de la derivada de b de nuestra función vectorial de verdad y si omitimos esto y observamos qué es lo que nos ha quedado justamente estamos viendo que tenemos un aumento en la dirección de la derivada y esta es la definición de la derivada direccional en la dirección de las derivadas de nuestra función de verdad otra vez suena a trabalenguas por lo que acabo de decir es que esto es la definición de la derivada direccional en la dirección de la derivada de b y esto de nuestra función efe evaluada en btt muy bien esto es la derivada direccional y justamente tú dirás bueno falta más para llegar a la fórmula que tenemos arriba como calculamos la derivada direccional pues simplemente será el gradiente de nuestra función evaluada en el punto que se encuentra aquí y hacemos el producto punto con la derivada de btt así que si subimos a ver todo esto coincide con la intuición que habíamos generado en vídeos anteriores verdad digamos y hacemos pequeños empujoncitos y en esencia toda la manipulación algebraica que hemos hecho en este vídeo fue para poder expresar este empujoncito verdad del bdt + h y resultó ser el vector original acá lo teníamos abajo resultó ser el vector original más un pequeño empujón en la dirección de la derivada de be y bueno además tenemos un término de h que se encoge muy muy rápido verdad y en esencia al final terminamos con una fórmula verdad terminamos con la formulita de las derivadas direccionales así que espero que esto satisfaga a los que digamos les gustan los argumentos más rigurosos y quizás sea bueno ir mencionando que hay una fórmula más general para la regla de la cadena de funciones vectoriales pero ya llegaremos a ello cuando veamos la conexión entre el cálculo diferencial y el álgebra lineal pero por ahora esto es lo que necesita saber nos vemos en el próximo vídeo