Introducción a campos vectoriales en 3d

en el último vídeo hablamos de campos vectoriales en un contexto de dos dimensiones y aquí quiero hacer lo mismo pero para tres dimensiones así que tenemos un campo vectorial de tres dimensiones dado por una función digamos multi variable que tiene una entrada tridimensional dado por las coordenadas x jay-z y tenemos un vector de salida verdad que también va a ser tridimensional que tiene expresiones de alguna forma dependientes en x jay-z y simplemente voy a poner unos puntos por aquí ahora verdad y la forma en la que esto funciona digamos justo como en el caso bidimensional es que vamos a elegir una muestra de varios puntos en este espacio de tres dimensiones y para cada uno de esos puntos consideraremos cuál es la la salida de esta función y eso será digamos algún vector tridimensional y lo dibujamos justo anclado a ese punto verdad así que para empezar digamos tomemos un ejemplo muy simple uno donde el vector de salida es justamente una constante constante así que en este caso vamos a hacer que este vector constante digamos va a ser uno 0 y este vector simplemente tiene una longitud unitaria en la dirección x verdad aquí está el eje x y todos los vectores van a verse digamos algo parecido cuando tenemos un vector que tiene una longitud 1 en la dirección xy lo que hacemos es que en cada punto posible bueno quizás no no todo punto posible verdad pero en una muestra grande de un digamos muchos puntos vemos que el campo vectorial se ve justamente así y en cualquier punto del espacio tenemos digamos estos vectores azules que son pequeñitos y todos ellos son digamos copias idénticas de digamos del mismo vector verdad cada uno apunta en una digamos unidad de longitud en la dirección x así que mientras el campo vectorial digamos en principio se ve bastante aburrido de verdad pero podríamos hacerlo un poquito más divertido si cambiamos nuestra salida digamos que depende de alguna forma en el punto en el que estemos digamos parados digamos en el punto de entrada así que lo que vamos a hacer es que la salida depende una forma en el punto de entrada así que lo que vamos a hacer es simplemente cambiar el campo vectorial porque 0 0 así que esto seguirá moviéndose en la dirección x pero ahora va a depender del valor y así que pensemos un segundo antes de que cambiemos la imagen qué es lo que significa esto bueno el eje y es este que se encuentra aquí y ahora el eje z digamos es el que está apuntando hacia nuestra cara así que a medida que aumentamos el valor de ya digamos 123 la longitud de estos vectores va a incrementar y eso digamos pensaremos que va a ser un vector más fuerte en la dirección x verdad un vector quizás muy fuerte en la dirección x si estamos muy arriba y si es negativa entonces estos vectores van a apuntar en la dirección contraria así que vamos a ver cómo se vería esto y aquí lo tenemos en este campo vectorial digamos el color y la longitud se usan para indicar la magnitud del vector así que los vectores rojos son muy largos los vectores azules son muy pequeños verdad y en cero pues en realidad no vemos nada verdad porque esos vectores tienen una longitud cero y justo como en el caso de dos dimensiones cuando dibuja vamos los campos vectoriales en realidad mentíamos un poquito verdad esto está en realidad debería tener una longitud de 1 verdad y cuando cuando ya es igual a 1 esto debería tener una longitud unitaria aquí donde ya 5 o 6 en realidad debería ser un vector muy largo pero estamos mintiendo un poquito porque si si dibujáramos todos estos vectores a su escala real en realidad se vería muy amontonada la imagen así que un par de cosas que podemos notar en este ejemplo es que aunque la salida depende en realidad no depende de la variable equis o zeta si nos movemos en la dirección x en realidad no cambian y si nos movemos en la dirección zeta que es hacia arriba y abajo en realidad también los vectores no cambian verdad solo cambian cuando nos movemos en la dirección así que bueno estamos empezando a tener cierta intuición de cómo es que la salida puede depender de la entrada y ahora vamos a hacer algo un poquito diferente digamos que ahora nuestra salida depende nuestra entrada y de nuestras tres componentes de la entrada que son xy set así que vamos a considerar simplemente la función identidad es decir en cada punto x jay-z el vector de salida será el mismo x y z así que pensemos que es lo que significa digamos este campo vectorial o cómo se vería así que tenemos un punto dado digamos un punto flotando en el espacio y pensamos cuál es el vector de salida para esto bueno el punto tiene cierta componente x cierta componente y una componente zeta y ese vector le corresponde el vector x y z verdad que será digamos uno que apunta desde el origen hacia el punto mismo verdad y ahora vamos a dibujar este aquí del origen al punto y debido a digamos como consideramos los campos vectoriales este vector lo movemos de tal suerte que en vez de estar anclado al origen ahora estará anclado al mismo punto verdad y quizás lo que más debemos rescatar de este ejemplo es que este este vector va a apuntar justamente a en dirección opuesta al origen verdad hacia fuera origen y digamos que mientras más lejos se encuentra el punto de anclaje más largo será de este vector así que con esto vamos a fijarnos en el campo vectorial muy bien aquí lo tenemos nuevamente estamos mintiendo un poco cuando dibujamos estos vectores verdad estos vectores rojos que están muy alejados deberían ser realmente largos porque este vector debería tener la misma longitud que digamos la distancia del punto al origen pero digamos para que se vea claro y limpio el campo vectorial simplemente estamos rescatando todo y notamos que los vectores azules que están digamos más cerca del centro en realidad son muy muy muy pequeños verdad y estos en realidad también están apuntando digamos hacia fuera del origen y este es uno de esos campos vectoriales que en realidad es muy bonito verdad un muy buen ejemplo que nos da bastante intuición de cómo se pintan también los campos vectoriales en tres dimensiones verdad y ahora al menos tenemos una idea de cómo pensar a la función identidad como un campo vectorial en el próximo vídeo vamos a ver otro ejemplo que es quizás un poquito más complicado que éste y espero que podamos tener una mejor intuición de cómo es que las salidas pueden depender de las tres variables x y y ceta