Superficies paramétricas

tenemos aquí una función que se ve bastante complicada y en realidad esta función tiene una entrada de dos dimensiones verdad en realidad tenemos dos coordenadas como entrada y tenemos una salida en tres dimensiones verdad específicamente este es un vector en tres dimensiones y cada una de estas expresiones verdad es un montón de cosas que tienen cosenos y senos y que dependen de nuestras dos entradas verdad y en el último vídeo hablamos de cómo visualizar funciones que tienen una sola entrada pero tienen una salida multidimensional y en el ejemplo que vimos en el vídeo anterior era algo que tenía dos salidas verdad es decir su salida era un vector de dos de dos coordenadas verdad y teníamos en nuestro parámetro t entonces vamos a hacer en este vídeo digamos como un análogo en tres dimensiones de esto que vimos en el vídeo anterior y lo que vamos a hacer es simplemente tratar de visualizar cosas en el espacio de salida es verdad y vamos a tratar de pensar en todos los posibles puntos ser salidas muy bien entonces vamos vamos a borrar esto y vamos a borrar esto por ahora así que por ejemplo vamos a empezar a tratar de obtener cierta intuición de esta función al evaluarlo en un par de puntos así que digamos digamos que vamos a evaluar esta función efe en el punto cero y entonces vamos a tomar el punto cero coma pi y vamos a tratar de evaluar esta función en ese punto así que veamos a que cuanto vale esto al evaluar en cero coma y entonces si nosotros nos regresamos a nuestra función coseno de cero valdría uno verdad lo mismo ocurriría kiko seno es cero vale uno seno de cero aquí vale cero verdad el seno de cero es cero lo mismo ocurriría aquí y ahora vamos a ver qué ocurre con digamos el parámetro ese entonces coseno de pi vale menos uno coseno de pi vale menos uno seno de pi vale 0 entonces con esto ya podríamos determinar fácilmente quién es el digamos el valor de salida de nuestra función entonces en nuestra primera coordenada tendremos 3 x 1 que es 3 1 x menos 1 que es menos 1 entonces 3 menos uno nos da 2 verdad en la segunda tendremos 0 + 0 x menos 1 todo eso nos da 0 y en la tercera simplemente tendremos 0 verdad aquí tenemos nuestro vector de salida verdad esta salida será el punto que se encuentra digamos a lo largo del eje x y simplemente bueno a dos unidades del origen verdad así que podemos verlo en esta gráfica agregamos el punto aquí y eso es lo que corresponde a este particular a esta entrada particular verdad la entrada 0 pi y podríamos hacer esto mismo con un montón de de entradas verdad simplemente podríamos agregar muchos otros puntos pero en realidad esto tomaría mucho tiempo verdad así que para empezar a obtener cierta intuición de lo que nos está diciendo la función digamos como un todo es por otra cosa que podríamos hacer para esto es en vez de ir pensando en evaluar punto por punto imaginemos que tenemos una de las las constantes así que vamos a imaginar déjenme déjenme ir borrando todo esto vamos a imaginar ahora que tenemos nuestra coordenada ese constante muy bien entonces mientras borramos esto vamos a pensar que tenemos nuestra nuestra entrada ese constante ahora vamos a dejar que nuestro parámetro t sea libre entonces cómo es que vamos a poder estudiar esta función de hecho para poder estudiarlo vamos a borrar todo esto también dado que el parámetro s es constante vamos a dejar eso ahí muy bien y ahora vamos a poner vamos a empezar a variar libremente en nuestro parámetro de muy bien entonces efe dt coma pi sería quien vamos a ponerlo con blanco entonces quién será esto tendremos tres veces el coseno dt vamos a utilizar los mismos colores tres veces el coseno de t y luego tenemos menos uno por coseno de t así que esto es menos el coseno de t - el coseno de t y ahí tenemos nuestra primera coordenada veamos quién sería la segunda coordenada tendríamos tres veces el seno de t tres veces el seno de t y ahora tenemos menos uno por el seno de t entonces esto es menos el seno de t sigamos siendo congruentes con los colores y finalmente tenemos el seno de ese que en este caso es pi así que tendremos que esto vale cero y como podemos ver esto todavía se puede simplificar tres veces el coseno de t - el coseno dt nos da dos veces el coseno de t lo mismo ocurre aquí verdad tres veces seno de t menos seno de t nos da dos veces seno de t entonces en realidad todo esto es dos veces el coseno dt dt aquí vamos a omitir y el color seno de t y luego 0 así que todo esto se simplificó en esto que acabamos de escribir y otra vez cuando dejamos digamos este ese constante y le damos el valor pi y digamos dejamos libremente el parámetro de entonces obtenemos esto verdad que en esencia es un círculo y es lo que estamos dibujando y en realidad puedes darte cuenta porque es un círculo verdad tenemos digamos este patrón de cosenos y senos en realidad es un círculo de radio 2 y ahora vamos a hacer exactamente lo mismo pero en lugar de pensar en qué ocurriría cuando te varía ahora vamos a hacer que ese varíe muy bien entonces en este caso yo te invito a que trabajes por tu propia cuenta con esta idea vamos a poner fijo a te vamos a hacer que te valga cero y que ahora nuestro parámetro que será libre es el parámetro s muy bien y vamos a tratar de dibujarlo y no lo quiero hacer yo porque quiero que obtengas la intuición tú mismo así que en este caso vamos a obtener un círculo verdad que se ve más o menos de esta forma otra vez te invito a que tú trates de pensar porque es que tenemos este círculo verdad y esencialmente son digamos los mismos argumentos que ya hemos realizado así que imaginemos que dejamos a ese libre manteniendo a t constante en el valor cero y ahora bien si nosotros pensamos en dejar digamos libres tanto el parámetro t como el parámetro s una forma muy bonita de visualizar esto es imaginamos que este círculo digamos representado por por la s digamos libre que hemos pintado anteriormente digamos está siendo barrido a través del espacio que pintamos cuando tenemos a t corriendo libremente y en esencia vamos a obtener esta figura que puedes ver que es como una dona verdad y tenemos una palabra elegante para para las zonas en matemáticas y las llamamos toros muy bien así que resulta ser que esta función que tenemos aquí arriba es una forma elegante de escribir un toro o una dona verdad y en otro vídeo voy a digamos entrar más en detalle por ejemplo si nos dieran el toro nuestra figura del toro cómo podríamos encontrar esta función que tenemos aquí digamos como podríamos obtener la intuición para obtener esa función y en realidad nos vamos a involucrar mucho en ese problema digamos vamos a retomar la idea de que estamos barriendo un círculo para obtener el toro verdad y digamos veremos cuál es la relación entre el círculo rojo y el círculo azul pero aquí simplemente quise darles una intuición de qué son las superficies parametrizados verdad de qué se trata este tema cómo se puede visualizar digamos una función que tiene una entrada de dos dimensiones con salida en tres dimensiones