Construir un intervalo t para una media. Ejemplo

un nutricionista desean estimar el contenido calórico promedio de las quesadillas en un restaurante popular para esto obtiene una muestra aleatoria de 14 quesadillas y mide su contenido calórico la muestra resultó aproximadamente simétrica con una media de 700 calorías y una desviación estándar de 50 calorías con base en la muestra cuál de los siguientes corresponden a un intervalo de confianza del 95% para la media del contenido calórico de estas quesadillas pausa el vídeo y ver si lo puedes encontrar bien cuál es la situación aquí por acá tenemos a la población de quesadillas que tiene una media para su contenido calórico el cual el nutricionista desea calcular pero desconoce el valor real del parámetro de la población es decir esta media de la población y que toman una muestra de 14 quesadillas por lo tanto n es igual a 14 y con esta muestra calcula lo siguiente sabe que la media de las calorías es de 700 y también saben que tienen una desviación estándar de 50 calorías ok usando estos datos necesitamos construir un intervalo de confianza del 95% bueno nuestro intervalo de confianza va a tener la siguiente forma ya lo hemos visto antes nuestra media muestral más menos nuestro valor crítico multiplicado por la desviación estándar muestral dividida entre la raíz cuadrada de n estamos usando un estadístico pues desconocemos la desviación estándar poblacional si la conociéramos utilizaríamos en lugar de esta desviación estándar muestral nuestra desviación estándar poblacional que se denota con sigma además estaríamos utilizando un estadístico z por aquí en lugar de un estadístico tema y usaríamos una distribución zeta sin embargo estamos usando la desviación estándar de la muestra por lo que requerimos usar un estadístico t así que calculamos este intervalo va a ser la media de la muestra que ya sabemos que es 700 así que voy a poner 700 - y ahora hay que saber cuánto vale el estadístico de la muestra cuál sería el valor crítico para un intervalo de confianza del 95% bueno para eso saquemos nuestra tabla tema pero antes recuerda que para usar la tabla te requiere saber los grados de libertad y los grados de libertad es lo mismo que n menos 1 como sabemos que la muestra es de 14 quesadillas entonces n vale 14 y me quedarían 14 menos 1 lo cual es 3 tienen esto en mente cuando hacemos la tabla te tenemos 13 grados de libertad así que vamos a usarlos para buscar en la tabla te sacamos por aquí nuestra tabla te veamos el intervalo de confianza del 95% y 13 grados de libertad aquí están los grados de libertad 13 grados de libertad que determinan este renglón que tenemos aquí y como requerimos un nivel del 95% recuerda que si nuestra distribución voy a dibujar una pequeña por aquí muy pequeña por aquí si necesitamos un 95% del área en el centro quiere decir que tenemos 5% repartido equitativamente en ambas escuelas por lo que tenemos 2.5 por ciento en cada cola así que hay que buscar la probabilidad de una cola del 2.5 por ciento aquí lo tenemos la 0.25 es 2.5 por ciento y aquí está este es nuestro valor crítico 2.160 así que ya tenemos este término de aquí es más déjame ponerlo con otro color a esto le voy a sumar y restar 2.160 que a su vez multiplica a la desviación estándar de la muestra que ya sabemos que es 50 entonces voy a poner 50 esto dividido a su vez entre la raíz cuadrada de n pero en nepal de 14 entonces la raíz cuadrada de 14 y si observas todas las opciones tienen 700 en primer lugar 700 700 setecientos 700 por lo tanto lo que necesitamos saber es nuestro margen de error esta parte de aquí y para eso voy a sacar la calculadora tengo 2.160 2.160 lo podría dejar como 2 puntos 16 pero bueno para que lo veas completo esto que va a multiplicar 50 y esto a su vez está dividido entre la raíz cuadrada de 14 ok esto me va a dar 28 puntos 86 déjame escribirlo todo esto me va a dar 28 puntos 86 aproximadamente parece que necesitamos unas fanfarrias por aquí porque al ver las opciones si redondeamos a la décima más cercana puedes ver que esta es la opción correcta 700 más menos 28.9 porque bueno estos aproximadamente 28 puntos 86 y esto es aproximadamente 28.9 así que en efecto esta es la opción correcta aquí lo tenemos ya hemos construido nuestro intervalo de confianza del 95 por ciento ahora hay dos cosas importantes que quiero mencionar es este un intervalo de confianza válido es decir hemos cumplido las condiciones que le den validez para eso tenemos que preguntarnos lo siguiente primero tomamos una muestra aleatoria y bueno esto nos lo dicen para esto obtienen una muestra aleatoria de 14 que sabías por lo tanto vamos a marcar que están si se cumple la segunda es es la distribución muestral aproximadamente normal si tomáramos una muestra de tamaño mayor o igual a 30 así lo serían pero aquí la muestra es de 14 de 14 quesadillas sin embargo nos dicen que la distribución de nuestra muestra fue aproximadamente simétrica aquí está la clave no tiene valores atípicos entonces podemos suponer que cumplen esta condición de normalidad y la última condición es la condición de independencia en este caso se cumplirían si tomáramos una muestra con reemplazo lo cual no parece que así sea al no muestra algún reemplazo esto tiene que ser menor o igual que el 10% de la población de quesadillas y vamos a suponer que van a preparar más de 140 quesadillas en este restaurante por lo que consideró que también cumplimos esta condición de independencia así que al cumplir estas tres condiciones este es un intervalo de confianza válido y ya está lo hemos encontrado así que nos vemos en el siguiente vídeo