La respuesta natural de un circuito LC

Desarrollamos una intuición para la respuesta natural de un circuito inductor-capacitor, $\text{LC}$‍.

Después de que tengamos una buena idea mental de lo que está ocurriendo, en el siguiente artículo llevaremos a cabo la deducción formal de la respuesta natural del circuito $\underset{―}{\text{LC}}$‍.

A los circuitos con dos elementos de almacenamiento de energía (capacitores o inductores) los llamamos circuitos de segundo orden. En los circuitos de segundo orden, los voltajes y las corrientes van y vienen, o, mejor dicho, oscilan. En este artículo hacemos una descripción intuitiva de por qué esto ocurre.

Los sistemas de segundo orden son las fuentes de las ondas sinusoidales en los circuitos eléctricos.

Hasta ahora hemos estudiado sistemas de primer orden, $\underset{―}{\text{RC}}$‍ y $\underset{―}{\text{RL}}$‍, que solo tienen un elemento de almacenamiento de energía, $\text{C}$‍ o $\text{L}$‍. La respuesta natural de estos circuitos de primer orden tiene forma exponencial que "decae" a su valor final; el resistor disipa la energía almacenada en estos elementos.

Ahora estudiamos un circuito sin resistores y con dos componentes capaces de almacenar energía. Esto circuitos son sistemas de segundo orden porque producen ecuaciones con segundas derivadas.

Los sistemas de segundo orden son los primeros sistemas que van y vienen en el tiempo, u oscilan. El ejemplo clásico de un sistema mecánico de segundo orden es un reloj de péndulo. En la electrónica, el sistema clásico es el circuito $\text{LC}$‍.

Queremos encontrar la respuesta natural de este circuito. Es decir, lo que hace el circuito cuando no está bajo una fuerza externa. La respuesta natural siempre es una parte importante de la respuesta total de un circuito.

Digamos que el capacitor tiene un voltaje inicial, lo que significa que está almacenando algo de carga, $q$‍. Suponemos que no hay corriente inicial en el inductor (y, por lo tanto, tampoco hay corriente en el capacitor). ¿Qué va a ocurrir cuando se cierre el interruptor y dejemos que el circuito haga "lo que quiera"? Vamos a razonar este problema siguiendo lo que le ocurre a la carga $q$‍.

La cantidad de carga $q$‍ está dada por el producto del voltaje inicial a través del capacitor con el valor de su capacitancia, $q=\text{C}v$‍. La carga $q$‍ no cambia durante la respuesta natural. Al principio, toda la carga está estacionaria en el capacitor.

Ahora soltamos el circuito al cerrar el interruptor, dejándolo comportarse de forma "natural".

El inductor comienza con corriente $0$‍ y, de repente, "ve" un voltaje inicial, $v={\text{V}}_0$‍. Este voltaje genera una corriente creciente en el inductor, y este comienza a almacenar energía en su campo magnético circundante.

¿De dónde proviene esta corriente (flujo de carga)? Viene, por supuesto, del capacitor.

En el capacitor, la corriente fluye por la placa superior, pasa por el inductor y vuelve a la placa inferior del capacitor. Si $q$‍ disminuye, entonces $v$‍ también lo hace, pues $q=\text{C}v$‍.

Eventualmente, llegamos a un estado donde la carga en la placa superior es igual a la carga en la placa inferior; por lo tanto, el voltaje a través del capacitor es $0$‍.

En el inductor hay una corriente que fluye aun cuando el voltaje es $0$‍, pues la energía almacenada en su campo magnético la mantiene fluyendo (la corriente no cae abruptamente a $0$‍ cuando el voltaje llega a $0$‍).

La corriente del inductor continúa moviendo carga de la placa superior a la placa inferior del capacitor. Ahora hay más carga positiva en la placa inferior que en la superior, por lo que el voltaje cambia de signo y se vuelve negativo.

Conforme la carga se acumula en el placa inferior, repele la llegada de nueva carga proveniente de la corriente del inductor (repulsión electrostática). La corriente del inductor disminuye y empieza a caer de regreso a $0$‍.

Después de un poco, cuanto toda la carga ha fluido a la placa inferior, el voltaje alcanza su valor más negativo posible, que es el negativo de su voltaje inicial. La carga deja de moverse por un breve momento, por lo que la corriente cruza el $0$‍.

La situación que retrata la imagen anterior es casi idéntica que la situación en la que comenzamos. La corriente otra vez es cero y el voltaje está en un pico, que resulta ser el negativo del voltaje inicial. Podemos volver al comienzo de la historia y contarla otra vez, excepto que ahora la carga se mueve de la placa inferior a la placa superior del capacitor. Este es el resultado final después de un ciclo completo:

La razón de oscilación (la frecuencia) está determinada por el valor de $\text{L}$‍ y $\text{C}$‍. Descubriremos cómo es que esto ocurre cuando, en el siguiente artículo, hagamos la deducción formal de la respuesta natural del circuito $\text{LC}$‍.

Un péndulo oscilante es una analogía mecánica de un circuito $\text{LC}$‍.

El voltaje $v(t)$‍ es análogo a la posición. Medimos la posición del péndulo conforme se aleja de su centro. La distancia es $0$‍ $(v=0)$‍ cuando el péndulo está completamente horizontal, y es $v=+{\text{V}}_0$‍ o $-{\text{V}}_0$‍ en sus posiciones extremas.

La corriente $i(t)$‍ es análoga a la velocidad. El péndulo se mueve más rápido cuando está en el punto central $(i={\text{I}}_{máx})$‍, y está quieto $(i=0)$‍ un instante al final de su oscilación.

El voltaje inicial $+{\text{V}}_0$‍ corresponde a qué tanto jalamos el péndulo hacia la derecha antes de soltarlo.

Soltar el péndulo corresponde a cerrar el interruptor. Lo que ocurre después es la respuesta natural. Si el punto de apoyo no siente fricción y no hay resistencia del aire, el péndulo oscila indefinidamente.

El circuito $\text{LC}$‍ (y el péndulo) intercambia corriente y voltaje de ida y vuelta en un patrón sinusoidal. Tanto el voltaje como la corriente son ondas sinusoidales, y podemos ver una diferencia de fase de $1/4$‍ de ciclo entre ellas.

Exploramos la descripción intuitiva de la respuesta natural del circuito $\text{LC}$‍ (un sistema de segundo orden). Tanto el voltaje como la corriente tienen un patrón de onda sinusoidal en el tiempo.