Más sobre momento de inercia

debemos hablar más sobre el momento de inercia ya que es algo que muchas veces confunde a las personas primero recuerden que ese momento de inercia simplemente es la inercia rotacional en otras palabras que tanta resistencia va a poner algo que se esté acelerando angular mente ya sea que se incremente su rotación o se disminuya si este sistema tiene un gran momento de inercia va a ser muy difícil que esto comience a rotar pero si el momento de inercia es pequeño debe ser relativamente fácil hacer que esta cosa se acelere angular mente y es para lo que sirve este número el momento de inercia nos va a permitir conocer qué tan difícil va a ser acelerar algo angular mente y recuerden que esto aparece en la versión angular de la segunda ley de newton esa es la aceleración angular que va a ser igual al torque neto dividido entre el momento de inercia o la inercia rotacional ya que ambos son lo mismo y esto tiene sentido estamos dividiendo entre el momento de inercia ya que significa que si esta inercia rotacional es grande vean que como está en el denominador si tenemos un denominador grande vamos a obtener un valor pequeño lo que quiere decir que está alfa va a ser pequeña será una aceleración angular pequeña pero si este momento de inercia fuera pequeña pues va a ser más fácil de rotar y obtendremos una mayor aceleración angular ya que ahora estamos dividiendo entre un número más pequeño por lo que tiene el mismo propósito en la fórmula de la segunda ley de newton es el término de la inercia pero para la aceleración angular y vimos cómo determinar el momento de inercia para una masa puntual y aquí normalmente se menciona mucho esto por masa puntual me refiero a algo que podemos tratar como si toda la masa de ese algo estuviera rotando a la misma distancia del centro o del eje y es lo que pasa aquí si tenemos una bola pesada conectada a una cuerda que es una cuerda bastante ligera y que tiene poca masa podemos ignorar la masa de aquí y si toda la masa estuviera rotando con el mismo radio como tenemos aquí la vez pasada determinamos que el momento de inercia de una masa puntual que va alrededor de un círculo es igual a la masa y a qué tan lejos se encuentra esta masa del eje al cuadrado este es el término para una masa puntual que va en un círculo así obtenemos un momento de inercia que tan difícil va a ser acelerar la angular mente esa es la inercia rotacional m por r al cuadrado pero podemos tener problemas más complicados por ejemplo qué pasa si no tenemos una sola masa puntual sino tres esto también lo vimos la última vez si tenemos varias masas puntuales todo lo que tenemos que hacer es decir bueno para múltiples masas puntuales simplemente vamos a sumar las contribuciones de cada una de estas masas puntuales individualmente matemáticamente hay que tener cuidado ya que aquí hay que ponerles un sub índice a esta masa y a este radio pero no se asusten esto simplemente significa que hay que sumarlas todas esto será m 1 x r 1 al cuadrado tomamos la primer masa y la multiplicamos por su distancia al eje al cuadrado más m2 por r 2 al cuadrado es esta masa 2 por su distancia hacia el eje al cuadrado y a esto le sumamos m3 por r 3 al cuadrado y si tuviéramos más masas pues sumamos todas las masas que tengamos si tuviéramos muchísimas más puntuales que podemos tratar como si todas las masas se estuvieran rotando a la misma distancia del eje ustedes podrían decirme a ver un momento cada una de estas masas no está a la misma distancia del eje cada una tiene una distancia diferente pero si una masa en particular por ejemplo m uno está rotando con el mismo radio del eje entonces podemos usar esta fórmula para las masas individuales y las sumamos y el resultado de la suma de todas estas contribuciones base la inercia rotacional total digamos que para este ejemplo la inercia rotacional total para este sistema de masas va a ser m 1 por su distancia al eje al cuadrado es al cuadrado digamos que b es la longitud de esta parte de la cuerda y de forma similar se representa solamente esta longitud de la cuerda y vamos a suponer que el radio de estas masas es muy pequeño aquí las dibujo grandes para que podamos verlas pero es más fácil si consideramos que son pequeños por lo que no tenemos que tomar en cuenta su propio radio y las vamos a sumar esta m 1 x al cuadrado es la contribución a la inercia rotacional de esta primera masa de aquí es la contribución al momento de inercia de esta masa de aquí y tenemos que calcular las contribuciones de cada una de estas masas por lo que le vamos a sumar esta masa 2 más su distancia al eje y no va a ser sólo b va a ser toda esta distancia de acá a más b al cuadrado y la contribución de m3 va a ser esta m3 más la distancia a su eje a b c todo esto al cuadrado esto va a ser el momento de inercia total para todo el sistema lo que va a ser más difícil ya que conforme vamos agregando más masa a un sistema más difícil va a ser acelerarlo angular mente y cómo podemos hacer que este sistema de tres masas sea más fácil de rotar digamos que estamos cansados de necesitar tanto torque para mover esto una cosa que podemos hacer es tomar nuestras masas y moverlas hacia el eje es decir mover estas masas al centro ya que si lo hacemos noten que todas estas erres van a ser más pequeñas y si son más pequeñas pues tendremos un menor momento de inercia o inercia rotacional por lo que va a ser más fácil rotar este objeto más fácil de acelerar angular mente la vamos a rotar más fácilmente si hacemos que todas las masas se vayan hacia el centro esto tiene sentido imagínense un bate de béisbol imagínense a que aquí lo tenemos aunque no es el mejor dibujo de un bate de béisbol si lo giramos a partir de este eje va a ser más difícil de rotar ya que tenemos toda esta masa pesada en este otro extremo pero si lo giramos teniendo el eje aquí lo volteamos y lo giramos desde este extremo va a ser más fácil ya que casi toda la masa va a estar en el eje y si lo hacemos así el radio de esa masa va a ser menor y si el radio es menor va a contribuir menos al momento de inercia y si hay menos inercia rotacional va a ser más fácil de girar y es bastante más fácil mover el bate de béisbol si lo tomamos desde este extremo más ancho al menos comparado con el del otro eje donde se supone que debemos tomar el bat para moverlo podemos moverlo más rápido aunque no es buena idea porque hace difícil que le demos a la pelota con esto pero lo podríamos mover más fácilmente ya que el momento de inercia va a ser más pequeño y otra cosa que podemos hacer es disminuir la masa si hacemos menor la masa también vamos a reducir el momento de inercia y si movemos las masas hacia el eje vamos a reducir la r que también nos va a ocasionar una menor inercia rotacional pero qué pasa si no tenemos masas puntuales en muchas ocasiones vamos a encontrarnos que no hay muchas masas puntuales rotando qué tal si tenemos algo como esto que es como una barra que tiene la masa distribuida uniformemente a todo su largo y que toda la barra rota en un círculo ya no podemos usar esta fórmula ya que es solamente para masas puntuales porque suponemos ya que para usar esta fórmula suponemos que toda la masa se encuentra en el mismo radio pero para esta barra solo la masa que se encuentra al extremo final de la barra es la que está rotando con este radio que será la longitud completa de la barra la masa que se encuentra más cerca del eje tendrá un radio menor y sólo estará rotando una parte de la longitud puede un radio de entre 2 y esta parte de acá quizás tenga un radio de l entre 8 así que la inercia rotacional total ya que no podemos decir que toda la masa de esta barra se encuentra rotando en el mismo radio si esta barra tiene una masa total m y una longitud total l no podemos decir que el momento de inercia de esta barra sea de m por l al cuadrado esto no es así ya que no toda la masa de esta barra se encuentra en el extremo que tiene un radio de longitud l sólo aquella partecita que se encuentra hasta el otro extremo de la barra es la que estará rotando con una r de longitud l el resto de la masa va a tener que su contribución al momento de inercia va a disminuir debido al hecho de que estas masas se están acercando cada vez más al eje así que qué hacemos bueno sabemos que no podemos usar esto vamos a quitarla es que tenemos que usar cálculo para poder encontrar la fórmula para estos objetos continuos lo cual es bastante divertido pueden realizar integrales y encontrar estos momentos de inercia y ese es uno de los cálculos que más me gustan ya que se parece mucho a los rompecabezas pero si no conocen de cálculo eso les va a sonar como brujería y yo les sugiero que aprendan algo de cálculo e intenten encontrar estas fórmulas ya que es bastante divertido pero aquí pues vamos a ver los resultados y resulta que el momento de inercia de esta barra y sin conocer la respuesta correcta nosotros podríamos decir que es será mayor que igual a un menor que m por l al cuadrado pues deberíamos decir que esto es menor que m por l al cuadrado ya que esto sería si toda la masa se encontrara en este punto de acá a una distancia l del eje sólo así sería igual a m por l al cuadrado si pudiéramos fundir esta barra y deja solo una bola y poner esta bola en el extremo más lejano estaríamos maximizando su momento de inercia ya que toda la masa tendría el radio más grande r pero no tenemos este caso algo de la masa se encuentra aquí y otra parte de la masa se encuentra acá una en el / 2 otra en el / 4 y así por lo que todas estas masas van a tener su contribución al momento de inercia reducido porque se van a encontrar con un radio menor porque se van a encontrar en un radio menor así que va a hacer esto menor a m por r al cuadrado que tan menor va a ser bueno resulta que para una barra va a ser una tercera parte de m por l al cuadrado y si ustedes realizan la integral van a encontrar que de ahí es de donde sale este un tercio y esto va a ser para una barra con el eje al final de la misma barra este es el momento de inercia para una barra que está rotando en un eje que se encuentra en uno de sus extremos pero qué pasaría si movemos este eje al centro lo movemos aquí de manera que toda esta barra esté rotando en un eje en su centro ustedes creen que el momento de inercia de esta barra que tiene la misma masa y la misma longitud que antes pero que va a estar rotando en su centro tendrá un momento de inercia mayor que menor que o igual a el momento de inercia que tenía cuando estaba el eje en uno de los extremos bueno yo me pregunto esto en donde se encuentra la mayor parte de la masa más cercana o más lejana del eje de rotación ya que sabemos que si podemos decrementar esta r vamos a decrementar el momento de inercia y en este caso si decrementar las erres ya queden se cuenta que las masas que se van a encontrar más lejos estarán a una distancia que no es más grande que l entre 2 l entre 2 de este lado y el entre 2 de este otro lado mientras que antes lo que teníamos era una parte de la masa estaba a una distancia de l por lo que sería l al cuadrado pero aquí ya no es así nuestro máximo será el entre 2 al cuadrado y por lo tanto nos va a disminuir el momento de inercia ya que una mayor cantidad de la masa se va a encontrar más cercana al eje de rotación cuando lo tenemos al centro esto va a ser menor que un tercio de m por l al cuadrado y si hacemos la integral nos va a quedar 1 entre 12 m por l al cuadrado y esto es para una barra con eje en el centro que otra geometría común ahí vamos a quitar esto pues otro caso que es muy común es el del cilindro a veces también llamado disco digamos que tenemos un cilindro sólido de masa m y con un radio r que será igual en este momento de inercia bueno ahora podemos decir que no va a ser igual al momento total de inercia de una masa puntual y podemos decir eso ya que no toda la masa va a estar rotando lejos d el eje de rotación de este cilindro así que va a ser menor que esto que de tanto menor bueno si hacemos la integral resulta que vamos a tener un medio m por el real cuadrado entonces el hecho de que no toda la masa se encuentre a una distancia r del centro de rotación va a ser que esto sea igual a un medio por m por r al cuadrado la masa total del cilindro por el radio total de este cilindro al cuadrado y esto es para un cilindro con el eje a través del centro por lo que el centro va a estar rotando justo aquí va a rotar alrededor de este punto de acá y esto es importante de notar no podemos decir simplemente a bueno si es una barra ese será su momento de inercia tenemos que saber en dónde se encuentra el eje de rotación si alguien le dice a ver cuál es el momento de inercia de esto sin decirles dónde está el eje ustedes no le van a poder dar la respuesta a menos que les diga en dónde se encuentra ese eje en donde quieren que ese objeto esté rotando rota en un extremo entonces va a ser un tercio de m por l al cuadrado pero si la barra está rotando en su centro su momento de inercia será un doceavo m por l al cuadrado y nuevamente la razón de esto es que al rotar en diferentes ejes tendremos que algo de la masa va a estar rotando con una r diferente al menos en comparación con algún otro eje de rotación así que esto fue para un cilindro también conocido como disco a veces también nos encontramos esferas así que este es otro ejemplo muy común digamos que tenemos una esfera que también está rotando alrededor de un eje como lo hace la tierra alrededor de su propio eje este eje pasa por su centro y digamos que también tiene una masa m y un radio r y nuevamente ya que algo de esta masa se encuentra más cercano al eje de rotación por ejemplo vean esta masa de aquí para éste ando aquí alrededor de este eje en cambio la masa que se encuentra más alejada pues va a estar rotando con un radio más grande por lo que el momento de inercia de todo esto va a ser menor que m por rr al cuadrado que tanto menos para una esfera que está rotando en un eje a través de su centro tenemos que el momento de inercia va a ser dos quintos m por r al cuadrado esto es para una esfera con eje a través del centro y en este punto ustedes me pueden decir a ver un momento tenemos esferas y cuando teníamos esferas anteriormente teníamos m ponerle al cuadrado bueno sí pero esto era para esferas que tenían toda su masa rotando a una distancia r del eje tenemos aquí una esfera y tenemos una cuerda y vamos a tener que esta esfera va a estar rotando a alrededor de un círculo de esta manera si ese es el caso al que se refieren entonces sí vamos a usar esta fórmula ya que el total de la masa va a estar rotando aún r de distancia del eje pero este no es el caso esta es una esfera que está rotando alrededor de su centro así que si tenemos una esfera que gira en su lugar pues no va a ser el mismo caso que este otro de aquí en el que toda la masa está girando alrededor de un eje de un eje fuera de ella misma este sería como la luna orbitando a la tierra si quisiéramos conocer el momento de inercia de la luna rotando alrededor de la tierra podríamos tratar a la luna como una masa puntual y usar m por r al cuadrado pero si estamos hablando de la tierra rotando en su propio eje no hablamos de la tierra orbitando alrededor del sol sino girando solita sobre su propio eje entonces diremos que el momento de inercia para esta cantidad de rotación es dos quintos m por r al cuadrado en resumen el momento de inercia o la inercia rotacional nos va a dar un número que nos indica qué tan difícil va a ser acelerar angular mente un objeto vemos una masa puntual en donde toda la masa se está moviendo a una misma distancia r del eje de rotación podemos usar m por r al cuadrado si tenemos una colección de masas puntuales vamos a sumar todas sus m por r al cuadrado si tenemos una barra rotando en uno de sus extremos tendremos un tercio de m por l al cuadrado y si la barra está rotando en su centro entonces tendremos 1 entre 12 m por l al cuadrado un cilindro rotando en su centro va a ser un medio m por r al cuadrado y una esfera rotando con eje a través de su centro va a ser dos quintos m por el real cuadrado y el hecho de que todos estos objetos tengan su masa distribuida a través de ellos hacen que el momento de inercia sea menor que m por r al cuadrado y esto se debe a que la distribución de la masa de estos objetos tiene algo de su masa a una distancia menor de él comparada con el caso de que toda la masa se encuentra al extremo así que el hecho de que tengamos algunas de estas masas más cercanas al eje en un objeto uniforme reduce el momento de inercia total ya que reduce la r y si se llegan a olvidar de cualquiera de estas fórmulas muchas veces hay una tabla en sus libros de texto o las pueden buscar en línea ahí pueden encontrar los momentos de inercia de diferentes formas geométricas dependiendo del eje en donde están rotando que también tenemos que tomar en cuenta