Energía cinética rotacional

cuando un jugador de ligas mayores lanza una bola rápida esa bola definitivamente tiene energía cinética eso lo sabemos porque si nos atravesamos en el camino de la pelota estaba hace el trabajo sobre nosotros y nos va a doler así que hay que tener cuidado pero esta es mi pregunta el hecho de que la mayoría de los lanzamientos a menos que lancemos una bola lenta el hecho de que la mayoría de los lanzamientos que se envían hacia home tienen este giro rotacional significa que esta bola tiene una energía cinética extra pues si así es y como nos damos cuenta de esto ese es el objetivo de este vídeo cómo podemos determinar cuál es la energía cinética rotacional en un objeto bueno si yo viera esto por primera vez mi primera idea sería bueno yo ya sé cómo luce la fórmula de la energía cinética normal o regular y es de un medio por la masa por la velocidad al cuadrado y si yo digo que ahora quiero la energía cinética rotacional que le vamos a llamar k bueno yo sé que para objetos que están rotando el equivalente rotacional de la masa es el momento de inercia por lo que puedo decir bueno en lugar de la masa voy a usar el momento de inercia ya que la segunda ley de newton para la rotación se que usa el momento de inercia en lugar de la masa así que lo reemplazo aquí y en lugar de la velocidad al cuadrado ya que tengo algo que está rotando voy a poner la velocidad angular al cuadrado y resulta que esto funciona siempre podemos no deducir pero sin adivinar educadamente la fórmula para la energía cinética rotacional la fórmula rotacional análoga de alguna fórmula lineal simplemente sustituyendo los análogos rotacionales de cada una de las variables reemplazando la masa con la masa rotacional así obtengo el momento de inercia si reemplazo la velocidad con la velocidad rotacional obtengo la velocidad angular y esta es la fórmula correcta en este vídeo vamos a deducir esta fórmula aunque realmente no la estamos reduciendo solo estamos mostrando que es posible usarla como podríamos demostrar que esta es la fórmula de la energía cinética rotacional de un objeto que esté rotando como esta pelota de béisbol lo primero que tenemos que reconocer es que esta energía cinética rotacional no es un nuevo tipo de energía cinética sigue siendo la vieja y regular energía cinética para algo que está rotando y con esto quiero decir que imaginen que esta bola de béisbol está rotando circularmente cada punto en esta pelota de béisbol está rotando y moviéndose con cierta rapidez es decir imagínense este pedacito de cuero va a tener cierta rapidez hacia adelante ya este pedacito de cuero le voy a llamar m1 es un pedacito de masa aquí y a su rapidez le voy a llamar b1 de forma similar este punto de cuero aquí le voy a llamar m2 y se va a estar moviendo hacia abajo están rotando en un círculo su rapidez será de 2 y los puntos que estén cerca del eje se van a estar moviendo con una menor rapidez este punto de aquí que le llamamos m3 que se mueve hacia abajo con una rapidez de tres ésta no será tan grande como b2 o como b1 esto no se nota muy bien voy a usar un verde más oscuro este es de 3 y más cercano al eje el eje está aquí en este punto de acá mientras más cercano esté al eje su rapidez será menor comparado con los puntos que se encuentran más lejanos a este eje y pueden darse cuenta de que esto es un poco complicado todos los puntos de esta pelota se van a estar moviendo con diferentes rapidez así que los puntos que estén acá muy cerca del eje apenas se van a mover vamos a llamarle a este m 4 y se moverá con una rapidez de 4 y a lo que nos referimos con la energía cinética rotacional es toda la energía cinética regular que tienen estas pequeñas masas alrededor del centro de masa en otras palabras a qué nos referimos con cada rotacional pues simplemente vamos a sumar todas estas energías cinéticas tenemos un medio m 1 por b 1 al cuadrado más la energía cinética de esta masa 2 es un medio por m2 por b 2 al cuadrado ya que tiene este punto cierta energía cinética y no se preocupen de que tenga una dirección hacia abajo como estamos elevando las velocidades o la rapidez al cuadrado el signo no importa la energía cinética no es un vector por lo que no importa que cierta velocidad apunta a cierta dirección y otra velocidad apunte a otra dirección ya que sólo estamos interesados en la rapidez y de forma similar sumamos un medio por m3 por b 3 al cuadrado y ustedes me pueden decir esto es imposible cómo es que voy a sumar todos los puntos que se encuentran en esta bola hay una cantidad infinita de puntos aquí cómo voy a poder sumarlos todos bueno pues algo mágico está por suceder y esto una de las deducciones que más me gustan es pequeño y elegante vea lo que sucede cada rotacional simplemente es la suma de todos estos puntos lo voy a escribir como la suma de todos los un medio por m por b al cuadrado de cada uno de los puntos que se encuentran en esta bola de béisbol imagínense descomponer esta pelota en pedacitos muy pequeños no lo hagan de verdad solo imagínense que lo hacen visualizan pequeños pedazos de esta bola de béisbol y qué tan rápido se mueven y lo que quiero decir es que si sumamos todo eso vamos a tener la energía cinética rotacional total y luce imposible de realizar pero algo mágico va a suceder eso es lo que podemos hacer aquí el problema es la vez ya que todos estos puntos tienen una rapidez diferente ve y podemos usar un truco que nos gusta mucho usar en física en lugar de escribir esto como ve la vamos a reemplazar por recuerden que para algo que está rotando ve es igual a r por mega el radio o qué tan lejos nos encontramos del eje x la velocidad angular o la rapidez angular esto nos va a dar la velocidad regular y esta fórmula es muy útil así que vamos a reemplazar ve con r por omega y esto lo tenemos que elevar al cuadrado también y quizá en este punto me digan que está saliendo peor esto para que lo estamos haciendo pues fíjense aquí tengo la suma de un medio por m por r al cuadrado por omega al cuadrado y la razón por la que esto es mejor es que ya que cada punto de la bola va a tener una velocidad diferente todos estos puntos van a tener la misma rapidez angular omega y eso es lo bueno de estas cantidades angulares son las mismas para cada uno de los puntos en esta bola de béisbol sin importar qué tan lejos se encuentren del eje o qué tan cerca estén y ahora ya puedo realizar esta suma voy a escribir esta suma pero sacando todo lo que es constante esto lo escribo como 1 me dio por la suma de m por r al cuadrado aquí termina esta suma y sacó a la omega al cuadrado ya que es la misma para cada terminó prácticamente factor izando esto de todos estos puntos es como tenemos aquí arriba cada uno de éstos tiene un medio y podemos imaginarnos factor izando s un medio y escribir toda esta cantidad como un medio x m 1 x b 1 al cuadrado más m2 por b 2 al cuadrado etcétera y es lo que estoy haciendo aquí para en un medio y para la omega al cuadrado y esto es lo bueno de reemplazar la b con r por omega la omega va a ser la misma para todos y quizás les preocupe que sigamos teniendo esta m aquí ya que tenemos diferentes emes en diferentes puntos y también estamos atorados con todas estas r al cuadrado ya que todos estos puntos de la bola de béisbol tendrán eres diferentes ya que son diferentes puntos alrededor del eje y tendrán distancias diferentes esto no los podemos factorizar qué vamos a hacer ahora pues si son listos seguros se darán cuenta de que reconocen este término este término de la suma no es nada más que el momento de inercia total de este objeto recuerden que el momento de inercia de un objeto que ya vimos con anterioridad es simplemente m por r al cuadrado el momento de inercia de una masa puntual es m por el re al cuadrado y el momento de inercia de muchas masas puntuales es la suma de todas las m por r al cuadrado y esto es justamente lo que tenemos aquí esto es justamente el momento de inercia de esta bola de béisbol o cualquiera que sea el objeto que estamos analizando y no tiene que tener una forma en particular cuando sumamos todas las m por r al cuadrado esto va a ser igual el momento de inercia total así que lo que encontramos es que nuestra carrot acional es igual a un medio muy replicado por esta cantidad que es i mayúscula el momento de inercia multiplicado por omega al cuadrado es la fórmula que obtuvimos aquí arriba cuando sólo estábamos adivinando que podría ser pero en efecto funciona y acabamos de ver porque si funciona ya que siempre vamos a tener esta cantidad aquí abajo un medio de iu por megal cuadrado sin importar cual sea la forma del objeto y qué es lo que nos da esta cantidad pues es la energía cinética rotacional total de todos los puntos en esta masa alrededor del centro de masa pero hay algo que no nos dice este término de aquí no nos incluye la energía cinética traslacional el hecho de que esta pelota de béisbol esté volando por el aire no está incorporado en esta fórmula no tomamos en cuenta el hecho de que esta bola de béisbol está viajando por el aire es decir no estamos tomando en cuenta que el propio centro de masa de esta bola de béisbol se está trasladando a través del aire pero eso lo podemos hacer fácilmente con esta fórmula de acá esta es la energía cinética traslacional a veces en lugar de escribir la energía cinética regular podemos especificar esto indicando que es la energía cinética traslacional así que ya tenemos la fórmula para la energía cinética traslacional que es la energía que tiene algo debido al hecho de que el centro de masa de ese objeto se está moviendo y también tenemos la fórmula que toma en cuenta el hecho de que esta masa está rotando sobre su centro de masa y que tiene energía cinética debido a este hecho de que está rotando que es nuestra cara rotacional si un objeto está rotando va a tener energía cinética rotacional y si el objeto se está trasladando va a tener energía cinética traslacional es decir que se está moviendo el centro de masa y si el objeto se está trasladando y está rotando pues tendremos estas dos energía cinética ambas al mismo tiempo y esto es lo bonito si tenemos un objeto que se está trasladando y está rotando y queremos encontrar la energía cinética total de esto podemos sumar estos dos términos si tenemos este un medio por m por b al cuadrado a dar la velocidad del centro de masa así que debemos tener cuidado vamos a hacer un poco de espacio aquí y voy a quitar algo de esto si tomamos un medio por m por la rapidez del centro de masa al cuadrado obtendremos la energía cinética traslacional total de este objeto y si le agregamos la energía cinética rotacional y si esto le agregamos el un medio por iu por omega al cuadrado es decir la omega alrededor del centro de masa obtendremos la energía cinética total tanto transnacional como rotacional y esto es genial podemos encontrar la energía cinética del movimiento rotacional y el movimiento traslacional simplemente usando estas dos fórmulas del cual podría ser un ejemplo de esto vamos a quitar todo esto y digamos que alguien lanza esta bola de béisbol y una pistola de radar nos dice que esta pelota se está moviendo a 40 metros por segundo así que se acerca a home a 40 metros por segundo el centro de masa de esta bola de béisbol está moviéndose a 40 metros por segundo pero digo que la lanzaron como bola rápida así que también va a estar rotando y va a estar rotando con una velocidad angular de 50 radiales por segundo y conocemos la masa de una bola de béisbol la busque y resulta que es de 0.1 45 kilogramos y el radio de esta pelota de béisbol es de alrededor de 7 centímetros pero como lo queremos dejar en metros pues vamos a tener puntos 07 metros y si queremos encontrar cuál es la energía cinética total vemos que tendremos una energía cinética rotacional y una energía cinética traslacional y la energía cinética traslacional va a ser un medio por la masa de la bola de béisbol por la rapidez del centro de masa de esta bola de béisbol al cuadrado que nos va a dar un medio por la masa de esta pelota que es de 0.1 45 kilogramos por la rapidez del centro de masa de esta bola que es de 40 metros por segundo que vamos a elevar al cuadrado y si calculamos todo esto nos da 116 jules denel a cinética traslacional regular pero cuánta energía cinética rotacional habrá aquí tenemos energía cinética rotacional debido al hecho de que la bola de béisbol está girando sobre su centro de masa cuánto va a ser bueno pues vamos a poner un medio por iu por omega al cuadrado bueno aquí tendremos nuestro un medio y cuál será el momento de inercia de esta bola de béisbol bueno es una esfera y si buscamos el momento de inercia de una esfera ya que no quiero hacer la suma de todos los puntos que componen a esta bola de béisbol si hacemos esto usando cálculo obtendremos esta fórmula lo que quiere decir que si están en una clase de física que sólo contempla el álgebra ustedes van a tener que buscar esta fórmula ya sea en un libro en una gráfica o en una tabla y siempre la pueden buscar en línea y el momento de inercia para una esfera es dos quintos de m por r al cuadrado es decir 200 partes de la masa de la bola de béisbol multiplicado por el radio de esta bola al cuadrado y esto es y el momento de inercia el momento de inercia de una esfera y aquí suponemos que esta bola de béisbol es una esfera perfecta y que tiene una densidad uniforme lo cual no es totalmente cierto pero es una muy buena aproximación y esto lo multiplicamos por omega al cuadrado la velocidad angular al cuadrado y ahora sustituimos los valores y nos queda un medio por dos quintos la masa de la bola de béisbol que es de 0.1 45 kilogramos el radio de la bola dijimos que es de 0.07 metros que los ponemos al cuadrado y finalmente lo multiplicamos por omega al cuadrado que es 50 radiales por segundo al cuadrado y todo esto nos va a dar 0.3 55 jules así que casi nada de la energía cinética de esta pelota viene de la rotación casi toda la energía está en la forma de energía cinética traslacional lo cual tiene sentido ya que está el hecho de que esta bola béisbol está volando hacia home y si nos golpea nos va a doler a diferencia de lo que nos puede doler porque haya estado rotando esta pelota cuando nos golpea la rotación casi no nos va a causar ningún daño al menos comparándola con el hecho de que esta pelota se está moviendo a 40 metros por segundo lo cual está en la forma de energía cinética traslacional pero si queremos saber la energía cinética total de esta bola de béisbol vamos a sumar ambos términos nuestra caja rotacional y nuestra transnacional y esto será igual a 116 jules + 0.3 55 jules lo que nos da 116.300 55 jules en resumen si un objeto está rotando y se está trasladando podemos encontrar la energía cinética traslacional con esta fórmula un medio por m por la rapidez del centro de masa al cuadrado y podemos encontrar la energía cinética rotacional usando un medio de y mayúscula el momento de inercia para cualquiera que sea la forma que tenga este objeto si fuera una masa puntual moviéndose en un gran círculo sería m por r al cuadrado si el objeto fuera una esfera que está rotando en su centro de masa podemos usar dos quintos de m por r al cuadrado los cilindros son un medio por m por r al cuadrado y ustedes pueden buscar la fórmula correspondiente a la forma del objeto que quieren encontrar su energía cinética rotacional multiplicado por la rapidez angular al cuadrado que se mueve alrededor de ese centro de masa y si sumamos ambos términos obtendremos la energía cinética total de ese objeto