Rodar sin deslizar. Problemas

la vez pasada vimos que teníamos dos tipos de energía cinética traslacional y rotacional pero estas energías cinéticas no necesariamente son proporcionales entre sí en otras palabras la cantidad de energía cinética traslacional no está relacionada necesariamente con la cantidad de energía cinética rotacional sin embargo tenemos toda una clase de problemas es decir un tipo especial de problemas en donde estas fuerzas son proporcionales y es de lo que vamos a hablar en este vídeo imaginen que en lugar de lanzar esta pelota de béisbol hacemos que ruede en un piso de concreto así que tomamos esta pelota de béisbol y la vamos rodando en el concreto y lo que va a pasar es que va a rotar conforme avanza hacia adelante y va a ser lo que llamamos rodar sin resbalar y esto es lo que probablemente va a hacer esta pelota de béisbol a menos que empujemos con mucha fuerza esta pelota o el suelo esté congelado es como va a rodar de otra manera esto no se va a resbalar va a rodar y se va a detener y este movimiento de rotación se va a dar conforme avance esta pelota cuando tenemos una superficie como el cuero sobre concreto va a tener el agarre suficiente como para hacer que esto vaya rodando conforme se va moviendo para avanzar de manera que las superficies nunca se van a resbalar entre sí en otras palabras esta pelota se va a mover hacia adelante pero no se va a estar resbalando no va a haber deslizamiento en esa superficie de aquí lo que significa que en cualquier momento dado y esto quizá parezca un poco raro quiere decir que esta pelota conforme va rodando en el suelo no tendrá velocidad en esta parte de abajo la superficie de aquí abajo no se va a mover al menos con respecto al suelo ya que de otra manera se estaría resbalando o deslizando este punto de la pelota que está en contacto con el suelo no se está deslizando por lo que no va a tener velocidad es extraño esto de veloz igual a 0 pero aún más extraño es que cuando vamos manejando en la autopista a gran velocidad no importa cuánta velocidad tengamos la parte de abajo de las llantas tienen una velocidad de 0 no se están moviendo con respecto al suelo es el resto de la llanta que está rotando a lo largo del suelo así que este punto de abajo como que se queda pegado por un instante breve de tiempo de manera que la llanta pueda empujarse a sí misma hacia adelante y ahora un nuevo punto se vuelve el punto que tiene velocidad cero y luego se vuelve a rotar usando este punto y después un nuevo punto es el punto que no se mueve y así sucesivamente otros puntos se están moviendo este de aquí arriba se mueve como loco al menos en relación con el suelo pero el punto que está tocando el suelo a menos que manejen con poca precaución y se estén patinando si todo funciona como debe ser en condiciones normales de operación la parte de abajo de la llanta no se debe estar deslizando en el suelo significa que ese punto de abajo en la llanta no tiene velocidad no se mueve con respecto al suelo lo que quiere decir que se queda detenido al menos un instante en este punto no tiene velocidad y es a lo que nos referimos con rodar sin resbalar porque esto es importante esto es importante porque implica que estas dos energías cinéticas son proporcionales y aún más implica que estas dos velocidades la velocidad del centro de masa y la velocidad angular también son proporcionales y es lo que vamos a ver aquí como probamos que la velocidad del centro de masa es proporcional a la velocidad angular imagínense que vamos a cubrir la superficie de nuestra pelota de béisbol con pintura estoy a punto de rodar la en el suelo va a rodar sin resbalar y aquí le estoy poniendo o la estoy cubriendo con pintura y voy a rodar esta pelota hacia adelante que veremos en el suelo pues veremos que se traza una distancia que es igual a lo que rodamos la pelota en otras habrás si esta pelota de baseball rota hasta aquí se habrá movido hacia adelante esta longitud de arco ya que si esta pelota está rodando sin resbalar conforme esta pelota esté rotando hacia adelante se habrá movido hacia adelante exactamente esta cantidad esta longitud de arco hacia adelante si viéramos la huella que deja la pintura de esta pelota en el suelo tendría una longitud igual que la longitud de arco que giro la pelota y por qué nos interesa que viaje la misma distancia que la longitud de arco pues porque significa que el centro de masa de la pelota ha viajado la longitud de arco hacia adelante el centro de masa de esta pelota ha viajado esta distancia hacia adelante y sabemos que esta distancia que ha recorrido el centro de masa es igual a la longitud de arco y que es la longitud de arco recuerden que tenemos una fórmula para esto para algo que rota con cierto ángulo si consideramos el ángulo que va de aquí a acá nos imaginamos el radio de esta pelota la longitud de arco ser igual a r por el cambio en theta que tanto ángulo ha rotado este objeto pero noten que esto no se cumple para todos los puntos de esta pelota por ejemplo este punto aquí arriba está rotando alrededor del centro de masa al mismo tiempo que el centro de masa se está moviendo hacia adelante por lo que va a crear una extraña curva en el espacio que se verá más o menos así y esta distancia no es necesariamente igual a la longitud de arco pero el centro de masa no está rotando alrededor de sí mismo el centro de masa de esta pelota está moviéndose en línea recta y es por eso que podemos decir que el centro de masa de esta pelota ha viajado una distancia igual a la cantidad de la longitud de arco que se movió es igual a la longitud pintada en el suelo porque nos interesa esto que la distancia del centro de masa sea igual a la distancia de la longitud de arco bien esto a ambos lados entre el tiempo que le llevó a hacer este recorrido tendremos la distancia que recorrió el centro de masa entre el tiempo pues esto es la velocidad la velocidad del centro de masa y esto es igual al radio x delta theta entre el tiempo y esto es la rapidez angular por lo que nos muestra que la velocidad del centro de masa para algo que está rotando sin resbalar va a ser igual al radio de ese objeto multiplicado por su velocidad angular la velocidad angular alrededor del centro de masa y esto es importante es algo que deben recordar ya que cuando un problema dice que hay algo que está rodando sin resbalar es básicamente el código para de igual a r por omega donde b es la velocidad del centro de masa y omega es la rapidez angular alrededor del centro de masa y quizá esto no los impresiones y me digan que acaso no sabíamos ya que esto es igual a r por omega si lo sabíamos pero esto es diferente esta velocidad que mostramos aquí es la velocidad del centro de masa y esta velocidad de acá es la velocidad de cualquier punto en un objeto que se encuentra a una distancia r del centro y está en relación al centro de masa en otras palabras si aquí tenemos una pelota que está rotando y si queremos conocer a una distancia r del centro qué tan rápido se está moviendo este punto comparado con la velocidad angular si esto rota así va a tener cierta rapidez ve pero es la rapidez ve en relación al centro de masa y lo que encontramos en esta ecuación es diferente esta es la rapidez del centro de masa nos dice qué tan rápido se está moviendo este centro de masa y no qué tan rápido se está moviendo un punto en esta pelota de béisbol cuando rota en relación al centro de masa esto nos permite determinar cuál es la velocidad del centro de masa lo cual es bastante útil para muchos problemas y justamente ahora vamos a resolver algunos ejemplos vamos a todo esto y a resolver este ejemplo digamos que tomamos un cilindro sólido de 5 kilogramos y que tiene un radio de 2 metros y enrollamos cuerda alrededor de él luego atamos el extremo suelto al techo y lo soltamos dejamos que este cilindro se desenrolla hacia abajo y conforme rueda va a estar moviéndose hacia abajo y digamos que lo soltamos a una altura de 4 metros y queremos saber cuál es la rapidez del centro de masa justo antes de que el yoyo toque el suelo y con yoyo nos referimos a este cilindro que se está desenredando aunque realmente no es un yoyo el yoyo tiene una cavidad adentro en el cual se coloca la cuerda la cuerda va a estar enrollada en un pequeño eje en cambio aquí estamos enrollando nuestra cuerda en el borde del cilindro lo que es importante ya que este básicamente es un caso de rodar sin resbalar y ustedes me pueden decir esto no está rodando para nada pero sigue siendo la misma idea tienen que está cuerda es el suelo y esto es como una rueda o una bola que está rodando en el suelo y no estás resbalando con respecto a este excepto que en este caso el suelo es la cuerda este cilindro no se está respaldando con respecto a la cuerda y esto es algo que debemos suponer que este cilindro se está desarrollando pero no se está red es balance de la cuerda lo que quiere decir que podemos usar nuestra deducción anterior la rapidez del centro de masa de este cilindro va a ser igual al radio del cilindro multiplicada por la rapidez angular del cilindro y ya que el centro de masa se va a estar moviendo hacia abajo la distancia va a ser igual a la trazada por la longitud de arco del borde exterior del cilindro pero no lo puedo resolver porque no conozco la velocidad del centro de masa y tampoco conozco la rapidez angular por lo que necesito otra idea otra ecuación aquí y esta idea es la conservación de la energía este problema pide a gritos se resuelto con la conservación energía vamos a hacerlo vamos a poner todo lo de nuestro sistema y vamos a decir que la energía se conserva comienza a una altura de 4 metros lo que significa que comienza con energía potencial comienza con mgh y esto en que se convierte pues este cilindro cuando llegue al suelo ya no tendrá energía potencial al menos considerando el punto más bajo como h igual a cero pero se estará moviendo así que va a tener energía cinética va a tener energía cinética traslacional ya que el centro de masa de este cilindro se va a estar moviendo por lo que va a tener una rapidez y además va a tener energía cinética rotacional ya que este cilindro va a estar rotando alrededor del centro de masa y lo hará al mismo tiempo que se desplaza hacia abajo el centro de masa por lo que tenemos que agregar un medio de iu por omega al cuadrado y sigue pareciendo que no lo podemos resolver ya que seguimos sin conocer ver y seguimos sin conocer omega y es aquí donde es importante que s vamos lo que acabamos de ver que nos llevó algunos minutos de desarrollar esta es la relación entre la velocidad del centro de masa y la rapidez angular por lo que podemos dejar toda esta fórmula en términos de una de las variables ya sea sustituyendo b u omega y vamos a sustituir omega porque queremos conocer b podemos decir que omega es igual a la rapidez del centro de masa entre r así que aquí despejamos omega y la vamos a sustituir en esta otra fórmula y nos queda un medio de iu por la velocidad del centro de masa entre el radio al cuadrado y ya que elevamos esto al cuadrado copio y pego esto y pongo este término al cuadrado la rapidez del centro de masa al cuadrado entre el radio al cuadrado y ahora ya se ve mucho mejor tenemos una sola variable que es la que queremos encontrar aunque quizás esta hilos esté desesperando un poco es el momento de inercia que vamos a hacer con esto bueno el momento de inercia de un cilindro y la mayoría de las veces ustedes tienen que buscar este dato del momento de inercia dependiendo del objeto que estén analizando el momento de inercia de un cilindro es un medio de la masa del cilindro multiplicado por el radio del cilindro al cuadrado así que tomamos esto y lo sustituimos en y nos queda copio y pego esto vamos a hacer un poco de espacio para poder sustituirla y por el momento de inercia del cilindro que quedamos es un medio m r al cuadrado y esto es además de éste un medio que ya teníamos aquí ahora tenemos otro un medio del momento de inercia un medio m por r al cuadrado y resulta que este ere es la misma que esta otra r tengo r al cuadrado y uno entre r al cuadrado por lo que terminan cancelándose y esto es extraño no importa cuál sea el radio del cilindro y no sólo eso todos estos términos tienen la masa en ellos así que tampoco importa cuál es el tamaño de la masa del cilindro va a llegar al suelo con la misma velocidad en el centro de masa en otras palabras todos los rollos que tengan la misma forma van a llegar al mismo tiempo al suelo siempre y cuando todas las eles sean iguales y si ignoramos la resistencia al aire no importa de qué tamaño sea el yoyo o cuál sea su masa todos van a llegar al suelo al mismo tiempo y con la misma rapidez lo que es bastante extraño y ahora sí ya podemos resolver esto en el lado izquierdo sólo nos queda g por h y esto va a ser igual a un medio la velocidad del centro de masa al cuadrado más un cuarto de la velocidad del centro de masa al cuadrado y esto es igual a tres cuartos la velocidad del centro de masa si tenemos un medio y le agregamos un cuarto pues vamos a tener tres cuartos y si calculo esto para la velocidad del centro de masa multiplico gh por cuatro entre tres en ambos lados hice con la raíz cuadrada nos va a quedar la raíz cuadrada de 4 g h entre 3 y ahora sólo tenemos que sustituir números aquí esto es igual a esto es igual a la raíz cuadrada de 4 por 9.8 metros por segundo al cuadrado por 4 metros entre 3 lo que nos dará la rapidez del centro de masa igual a 7.23 metros por segundo y aquí hay algo que tenemos que tener en cuenta algunos problemas pueden lucir diferente de este pero la forma en que lo resolvemos puede que sea idéntica por ejemplo podemos tomar toda esta solución de acá la copiamos y vamos a ver un nuevo problema este va a ser sencillo y no nos llevará mucho tiempo digamos que tomamos el mismo cilindro lo liberamos de su posición de reposo en la parte alta de un plano inclinado que tiene una altura de 4 metros y dejamos que ruede sin que resbale en todo este plano inclinado y nuevamente nos preguntamos cuál va a ser la rapidez del centro de masa de este cilindro al llegar hasta abajo de este plano inclinado pues es el mismo problema se ve diferente del problema anterior pero conceptualmente y matemáticamente es lo mismo esto comenzó con energía potencial mgh y termino con energía cinética traslacional y energía cinética rotacional ya que la conservación de energía nos dice que esta energía potencial se transforma al final en energía cinética traslacional y energía cinética rotacional nuevamente si es un cilindro su momento de inercia va a ser igual a un medio m por r al cuadrado y si está rodando sin resbalar nuevamente podemos reemplazar a omega con b / r ya que es la misma relación que mantiene algo que está rodando sin resbalar la semes también se cancelan y obtenemos el mismo cálculo la velocidad del centro de masa de este cilindro al final del plano inclinado va a ser igual a 7.23 metros por segundo esta va a ser su rapidez cuando rodando desde una altura de 4 metros en resumen aun cuando la velocidad del centro de masa de un objeto no es necesariamente proporcional a la velocidad angular de ese objeto alrededor del centro de masa si el objeto está rotando o rodando sin resbalar esta relación se va a cumplir lo que nos permite pasar de ecuaciones con dos incógnitas a ecuaciones con una sola incógnita lo que nos va a permitir despejar la rapidez del centro de masa del objeto