Derivada de 2ˣ (viejo)

veamos si podemos realizar la derivada de 2 a la equis respecto de x y bueno tú podrías decirme espero momento nosotros ya sabemos cómo se realiza la derivada de elevada la equis pero ahora la base es 2 y como nosotros podríamos saber qué hacer y el secreto aquí sería como podríamos reescribir 2 a la equis así que lo que esencialmente tenemos que hacer es encontrar un e a alguna potencia para que la clave sea reescribir dicho 2 a la equis y bueno podríamos pensar en que es lo que nosotros necesitamos para entonces elevar la e a alguna potencia entonces en este caso podrá ser y el logaritmo natural de 2 y el hecho de elevarla a este logaritmo esto nos va a dar simplemente el 2 y como lo dije anteriormente esto es 2 puesto que es lo que nosotros necesitamos es una forma de reescribir lo entonces ya tenemos nuestro 2 que está reescrito y ahora vamos a elevar esto a la equis o sea también el logaritmo natural de 2 x que lo voy a poner de color amarillo entonces si ahora comienzo por acá a hacer algo veamos que esta es la derivada respecto de x de 2 a la equis y lo que aquí vamos a poder usar es poner dicha derivada al respecto de x pero con lo que ya habíamos reescrito en lugar del 2 a la x vamos a escribir la y elevada a logaritmo natural de 2 a la x como potencia y pues bueno aquí la x estaremos usando la del mismo color también ahora si tú recuerdas nosotros ya tenemos algunas antiguas propiedades de cuando nosotros elevamos algo a alguna potencia pero que después lo volvemos a elevar a otra potencia o sea tienes una base la elevas a una potencia y luego esta a otra o sea que tuviéramos un número a una base a elevado a la vez y ésta a su vez al hacer sea igual que tener esta a la b por c entonces nosotros podemos utilizar dicha propiedad y llevarla a nuestro ejemplo para poder escribirlo y tendríamos lo siguiente tendríamos la derivada de equis y adentro tendríamos el elevado a logaritmo natural de 2 pero x x entonces sería el logaritmo natural de 2 x x que igual lo voy a escribir de color amarillo y vas a decir bueno y aquí lo nuevo que fue pero lo interesante es que utilizamos la elevado a alguna potencia más simple para más adelante poder nosotros utilizar la regla de la cadena y siguiendo con esto si tú recuerdas la derivada de la x viene siendo exactamente lo mismo en esta ocasión tenemos que contar con que hay un coeficiente del lado de la x entonces aquí vamos a tener la misma elevada al logaritmo de 2 que a la vez está x x y después vamos a tener que derivar dicho coeficiente pero primero aquí abajo voy a escribir lo más claro que sería la derivada de e a logaritmo natural de 2 x x respecto y logaritmo respecto a que me equivoqué respecto de logaritmos de 2 por x la base de esto viene siendo que tenemos la he elevado a algún x pero como había comentado esto está detenido de algún coeficiente que está de su lado entonces aquí vamos a utilizar el producto y aplicarlo del producto puesto que como tú sabes ya estamos aplicando la regla de la cadena entonces tenemos que hacer ahora la derivada del coeficiente y en este caso la derivada sería del logaritmo natural de 2 y es respecto de x pero pues en este caso ese sea el coeficiente por lo que me quedaría entonces la derivada del logaritmo natural de 2 que está x x respecto de x así que lo que hicimos fue simplificar las cosas todavía un poco más pues esta cosa de aquí la podemos volver a reescribir como bueno voy a pintar aquí una línea para que no se confundan las cosas pero esto de aquí como habíamos mencionado en un principio lo podemos volver a poner con respecto a estas propiedades que habíamos visto también anteriormente como a logaritmo natural de 2 que esto a su vez está elevado a la equis exacto a la equis y éste está multiplicando como logaritmo natural de 2 pero que no representaba la ha elevado a logaritmo natural de 2 como tú recuerdas en esta propiedad lo que hicimos fue reescribir el 2 por lo que esto es 2 entonces esto ya lo podríamos ver de una forma simplificada entonces esto sería igual y haciendo un pequeño intercambio por la propiedad del producto como el logaritmo natural de 2 que está aquí por 2 a la equis que es lo mismo que poner 2 a la equis por el logaritmo natural de 2 y este es nuestro resultado