Solución única para el espacio de fila de Ax = b

vamos a empezar tomando una matriz a y digamos que esta matriz es muy general es digamos de tamaño m por n y vamos a escribirla en términos de sus vectores columna es decir esta matriz como primer columna tenemos a 1 como segunda columna tenemos al vector a 2 y así sucesivamente hasta el vector a n muy bien esta es nuestra matriz a y vamos a empezar tomándonos un vector b en el espacio columna de nuestra matriz a y recordemos que el espacio columna de la matriz en no es otra cosa más que el espacio generado por los vectores columna de nuestra matriz es decir que cualquier elemento en el espacio columna es una combinación lineal de estos vectores columna entonces justamente por esto que acabamos de decir vamos a escribir a b como una combinación lineal de los vectores a1 a2 todos hasta a n entonces este es una constante x 1 x a 1 más otra constante por a dos más uno bueno etcétera estamos sumando todos estos la última constante x cn por aena y estamos justamente diciendo que x 1 x 2 todos los x van a ser constantes digamos arbitrarias en en nuestro espacio de los números reales ok y entonces esta combinación lineal mediante la cual yo escribía be la puede escribir de otra forma esto va a ser equivalente a que si yo tengo la matriz digamos con estas columnas a 1 a 2 así sucesivamente hasta n y si multiplicamos esta matriz por un vector llamado x 1 x 2 y así hasta x n aquí no se ven mucho los puntitos ahí está ok está estas dos expresiones expresiones son equivalentes y como son equivalentes pues por supuesto esta multiplicación de esta matriz por este vector debe ser igual a b muy bien entonces este este resultado que de hecho es nada más un repaso de lo que ya habíamos visto en otros vídeos me está diciendo que esta ecuación sí sí el vector de constante de estas constantes x de las x no es conocido quiere decir que tenemos al menos una solución a esto tenemos la matriz a que multiplica un vector x y que me da la solución igual a b entonces esta ecuación en donde x es desconocida tiene tiene al menos al menos una solución al menos una solución podría tener más verdad muchísimas otras más pero al menos esta tiene una solución y eso es porque ve lo estamos considerando en el espacio columna de nuestra matriz y entonces qué es lo que estamos diciendo con con con dibujitos digamos vamos a hacer una caricatura de lo que estamos haciendo tenemos aquí rn este es nuestro espacio rn y sn porque aquí tenemos este este vector x de n entradas entonces nuestro vector x ahí se encuentra en rn y digamos que tenemos aquí también nuestro espacio nulo que aquí está el espacio nulo de la matriz a ok y simplemente para recordar quién es el espacio nulo el espacio nulo es el conjunto de vectores que tienen esta solución a x igual a 0 es decir que al multiplicarlos por la matriz a nos da el vector 0 ese es el espacio nulo y también sabemos ya hemos visto en vídeos anteriores que pues este es un sub espacio y por lo tanto por aquí andará el complemento ortogonal es decir el espacio nulo de a ortogonal que no es otra cosa más que el espacio fila verdad del espacio fila que es el espacio columna de la matriz transpuesta y estos dos solo se intersectan en un solo punto que de hecho es el y demostramos hace ya como dos vídeos me parece que podemos escribir cualquier vector de rn como una suma de dos vectores es decir vamos a tomarnos un vector aquí que se llame no se n y vamos a tomarnos no sea algún otro de aquí que se llame r cualquier cualquier vector que se encuentra en rn lo podemos escribir como una suma de uno que se encuentra en el núcleo y otro que se encuentra en el espacio fila de la matriz que es que es igual al complemento ortogonal del espacio nulo muy bien entonces ya con esto dicho y este esto por supuesto estamos diciendo que es el espacio fila de a este de aquí es el espacio fila espacio fila de la matriz a entonces vamos a tomarnos un x que sea solución de ax igual a b es decir tenemos un vector x tal que a x es igual a de qué entonces x es solución es solución aunque quizás debería escribirlo al revés vamos a ponerlo de esta forma digamos x es solución es solución de la ecuación a x igual a be ok consideremos eso y entonces estamos diciendo que x se encuentra en rn ok eso es algo inmediato verdad aquí lo podemos lo podemos ver x tiene n coordenadas entonces como x se encuentra en rn y dijimos que podemos expresar cualquier vector de rn como una suma de un elemento que se encuentra aquí con otro que se encuentre acá entonces yo puedo escribir a x x x lo podemos escribir como una suma la suma de un ere 0 + 1 n 0 y donde habíamos dicho que r 0 los seres r 0 se encuentra en nuestro espacio fila de la matriz y el n 0 en el 0 es igual pero no no es igual se encuentra en el núcleo de la matriz ok eso es porque podemos descomponer cualquier vector de rn de esta forma entonces qué pasa si nosotros despejamos a r 0 es decir nosotros vamos a escribir vamos a pasar digamos n 0 del lado izquierdo restando y entonces me queda que r 0 va a ser igual a x menos n 0 ok muy bien ahora ya aquí tenemos a r 0 despejado de esta forma que ocurriría si nosotros multiplicamos la matriz por r 0 es decir qué pasa si yo tengo a por r 0 a por r 0 bueno como r 0 está escrito de esta forma esto va a ser lo mismo que déjenme hacerlo con otro color va a ser que multiplica ere 0 que es x menos n 0 muy bien y ahora como esta es una matriz multiplicada una diferencia de vectores esto no es otra cosa más que a x menos a por n 0 y ahora vamos a ir analizando esto dijimos que x era una solución de x igual a b entonces a x esto va a ser exactamente b y ahora quienes a n 0 dijimos que n 0 se encuentra en el núcleo de la matriz y nuestra matriz perdona el núcleo es todos los vectores que al multiplicarlos por la matriz nos da 0 entonces como éste está en el núcleo esto no es otra cosa más que 0 el vector 0 y entonces está muy bien porque tengo b -0 esto simplemente es el vector b y déjenme ponerlo con otro color para que sea más distinguible ok entonces qué es lo que hemos obtenido hasta ahorita r 0 r 0 lo escribí de esta forma y resultó que al multiplicarlo por la a medio que era el vector b eso me está diciendo inmediatamente eso me está diciendo inmediatamente que r 0 r 0 es una solución una solución de la de la ecuación a x igual a ve muy bien entonces esto es bastante interesante fíjense nos tomamos inicialmente un b que se encontrará en el espacio columna ok ese es un elemento del espacio columna y con todo esto que hemos analizado descubrimos que existe un r 0 r 0 en el espacio fila verdad aquí está r 0 en el espacio fila tal que se resuelve esta ecuación a por x igual a b es decir que a por r 0 es igual a b entonces esto me parece un resulta un resultado bastante interesante y la pregunta inmediata que surge es bueno será cierto que este ere 0 es único es decir podríamos pensar que existe algún otro vector r uno que esté también en el espacio fila y que también sea solución de esta ecuación vamos a ver vamos a ver es decir nos estamos planteando la posibilidad de si existe consideremos un r uno que se encuentre en el espacio fila de la matriz o el espacio columna de la matriz transpuesta es lo mismo y que además sea solución y que sea solución a la ecuación a x igual a b esto quiere decir que a por r 1 es igual a b y ya tenemos este ere 0 que sabemos que existe vamos a ver qué pasa bueno lo que podemos empezar haciendo es tomar una resta de r 1 - r 0 y eso por qué pues porque como este es un espacio fila y es un sub espacio vectorial válido entonces la resta de vectores en el mismo espacio se queda en el mismo espacio entonces esto quiere decir que r 1 - r 0 se encuentra exactamente en el espacio fila de la matriz a ok ahora bien vamos a ver qué ocurre si multiplicamos a este vector por la matriz entonces si tenemos a que multiplica a r 1 - r 0 esto simplemente como como se puede distribuir muy bien será a por r 1 menos a porque r 0 y ahora recordemos que r 1 tanto r 1 como r 0 se encuentran perdón son soluciones de esta ecuación entonces a por r uno por un lado es b esto va a ser b y por el otro lado a por el resero también va a ser b entonces es b - b y resulta que esto es 0 es decir este ere 1 - r 0 resuelve la siguiente ecuación resuelve a x igual a 0 verdad es una solución de esta ecuación y eso inmediatamente me está diciendo qué cosa pues que de hecho aquí habíamos dicho y lo habíamos escrito que los vectores que cumplen esta ecuación a x igual a 0 son aquellos que pertenecen al núcleo o al espacio nulo de nuestra de nuestra matriz verdad entonces es decir que r 1 - r 0 se encuentra en el espacio nulo de la matriz y esto es bastante bastante bueno porque si recordamos aquí tenemos el espacio nulo y aquí tenemos el espacio ortogonal que resulta que el espacio ortogonal ya habíamos dicho que es el espacio fila del espacio nulo son ortogonales entre sí entonces aquí tenemos que r 1 - r 0 se encuentra en ambos y dijimos que sólo existe un único vector que se encuentra en ambos espacios y ese no es otra cosa más que el vector 0 entonces como este ere 1 - r 0 se encuentra en ambos r 1 - r 0 no le queda otra cosa más que ser el vector 0 verdad y eso es por este resultado y este otro resultado pero cierre 1 - r 0 es 0 entonces ya podemos concluir exactamente que r 1 es igual a 0 verdad pasando r 0 el lado derecho sumando entonces pensamos que podríamos tener dos soluciones distintas y al final concluimos que pues no eran tan distintas que en realidad eran iguales entonces qué es lo que hemos obtenido hasta ahora vamos a ir escribiendo estos resultados empezamos con un b un vector b que se encuentra en el espacio columna de nuestra matriz a ok y lo que llegamos a concluir a partir de todo esto es que es que existe existe y de hecho uno solo es un elemento si no es único un único elemento un único elemento de nuestro espacio fila verdad este r 0 es una solución de esto pero pero es es un elemento del espacio fila y déjenme ponerlo con otro color es un elemento del espacio fila este es el espacio fila y este es el espacio fila y de hecho vamos a escribir bien el nombre digamos r 0 este ere 0 este ere 0 es el que se encuentra en nuestro espacio fila de la matriz a ok y qué ocurre con este ere 0 tal que tal que ere 0 es solución es solución es solución de a x igual ave puede ser eso es cierto que haya muchísimas otras soluciones de esta ecuación pero lado sólo existe una única solución de la ecuación en el espacio fila y eso es lo más fuerte que quizás es un un resultado complejo pero bastante interesante entonces esto empezamos partimos de tomar un elemento en el espacio columna escribimos como combinación lineal y resultaba que era que lo podíamos escribir de esta forma como en una ecuación verdad es después este número es perdón a este vector lo descomponemos en en una suma donde uno se encuentra en el espacio fila y el otro en el espacio nulo y concluimos que este elemento del espacio fila es solución y que de hecho es la única solución en el espacio fila muy bien entonces vamos a ver qué más podemos sacar de todo esto vamos a considerar una solución cualquiera a ax de ok digamos consideremos cualquier cualquier solución solución x x de a x igual a b y dijimos nuevamente que como es un elemento de rn lo podemos descomponer como una suma de dos de dos vectores verdad un ere cero y un n cero que se encuentran en estos dos espacios respectivamente verdad de hecho aquí aquí es en donde se encuentra el r cero verdad en el espacio fila es donde estamos trabajando entonces como lo podemos escribir de esta forma es decir puede escribirse puede escribirse como x igual a 100 más n 0 donde ya dijimos que erre 0 se encuentra en el espacio fila o el espacio renglón y n 0 se encuentra en el espacio nulo o que en el espacio nulo de nuestra matriz vamos a ver qué pasa con la magnitud de este vector es decir vamos a considerar la magnitud o la norma o la longitud del vector al cuadrado quién es esto pues esto simplemente es x x verdad hacemos el producto punto de x consigo mismo y es lo que nos da la norma al cuadrado o la longitud ok al cuadrado pero esto x se puede descomponer de esta forma correcto entonces esto será r 0 más n 0 y déjenme ponerle sus flechas de vectores punto r 0 más n 0 ok y como sabemos que el producto punto este puede distribuir bastante bien esto no es otra cosa más que r 0.00 0.00 y ahora más r 0.00 0.00 más ahora vamos n 0 por r 0 que es lo mismo que r 0 punto n 0 nuevamente y al final tenemos n0 punto n 0 en el 0 punto n 0 ok pero observemos muy bien r 0 se encuentra en el espacio fila y n 0 se encuentra en el espacio nulo pero sabemos que esos dos espacios son ortogonales entre sí entonces estos dos son ortogonales y por lo tanto su producto punto es 0 ok entonces esto simplemente nos quedó como r 0.30 que es la norma o la magnitud de r 0 al cuadrado y aquí también tenemos la magnitud la magnitud de n 0 al cuadrado ok pero fíjense muy bien este n 0 a final de cuentas es tiene una norma mayor o igual que 0 entonces en realidad este numerito forzosamente tiene que ser mayor o igual que la norma de ere 0 al cuadrado y eso es porque algo positivo le estoy sumando algo positivo si no se lo sumo pues sería mucho menor verdad podría ser igual si si este n 0 es el vector 0 y entonces éste no contribuye en realidad en nada podría ser igual pero en términos más generales este es mucho más grande que éste verdad a cualquier número si le sumas otro número pues va a ser mayor o igual muy bien entonces fíjense muy bien en que es lo que estamos concluyendo que si yo partir de una solución cualquiera su norma al cuadrado de cualquier solución siempre va a ser mayor o igual que la norma de ere cero al cuadrado o que si sacamos raíz cuadrada de ambos lados tenemos que la magnitud de x es mayor o igual que la magnitud de r cero y esto nos está diciendo algo muy importante porque r cero no solo es una solución sino que cualquier otra solución tiene un tamaño mayor es decir r 0 es la solución más pequeña que podemos encontrar ok entonces vamos a escribir ya todo este enunciado nuevamente empezamos con un vector en el espacio columna de nuestra matriz a y decimos que entonces existe existe un r un único de hecho es un único r 0 r 0 en el espacio fila de nuestra matriz tal que qué tal qué tal que r 0 es solución si es solución de nuestra ecuación a x igual a b es decir a apure 0 es igual a b pero no sólo eso que también sabemos que cualquier otra solución tiene un tamaño mayor es decir ninguna otra y ninguna ninguna otra solución ninguna otra solución tiene un tamaño menor tiene tamaño menor tamaño menor es decir si tú me das cualquier vector b que se encuentra en el espacio columna en el espacio columna de la matriz entonces yo te puede encontrar un único elemento r 0 de nuestro espacio filia fila que es esencialmente la solución más pequeña entendiéndolo como que tiene la longitud más chica lo cual le parece un resultado muy bonito y que exploraremos visualmente en el próximo vídeo