dim(v) + dim(complemento ortogonal de v) = n

vamos a comenzar por ejemplo tomando be que sea un sub espacio un sub espacio de nuestro espacio de rn ok entonces tenemos un sub espacio de rn y vamos a suponer que conocemos su base es decir tenemos el conjunto de vectores b1 b2 etcétera todos estos digamos que tenemos acá vectores y este conjunto de los ves es una base de nuestro sub espacio b ok entonces tenemos una base de v que significa que sea una base recordemos esto significa que todos estos vectores generan a los elementos de nuestro sub espacio y además que son linealmente independientes eso quiere decir que es un conjunto minimal que genera a este su espacio es decir no puede haber un conjunto con menos elementos que genere a nuestro sub espacio b entonces esto inmediatamente nos dice por definición que la dimensión que la dimensión de nuestro sub espacio al número de elementos que hay en la base que son acá exactamente acá entonces lo que vamos a tratar de hacer en este vídeo es calcular cuál es la dimensión o cómo se relaciona la dimensión del complemento ortogonal de nuestro sub espacio b y para hacerlo voy a comenzar tomándome una matriz digamos una matriz ok esta matriz va a tener a los vectores de la base como columnas es decir aquí vamos a tener a b1 y esta es una columna vamos a tener aquí a b 2 que también es una columna y así sucesivamente hasta beca ok que lo importante es que son vectores que generan a nuestro espacio a nuestro psuv espacio b ok entonces ve nosotros lo podemos ver a nuestro psuv espacio b lo podemos ver como el espacio generado por los vectores b1 b2 hasta beca aunque entonces este es el espacio vectorial generado por el b1 b2 y así sucesivamente hasta nuestro vector de acá muy bien ahora esto definitivamente por definición sabemos que es el espacio columna de nuestra matriz a esto es el espacio columna de la matriz a muy bien y de hecho vimos en algún en el vídeo anterior me parece que el complemento ortogonal de nuestro espacio columna era exactamente igual que el espacio nulo de la matriz transpuesta o que es el espacio nulo izquierdo de la matriz a pero bueno vamos a mencionarlo como el espacio nulo de la matriz a transpuesta y esto definitivamente es sí sí sí tenemos que ver es el espacio columna de nuestra matriz a entonces esto va a ser el complemento ortogonal debe muy bien entonces ya con esto dicho podemos empezar a ver que sí que sí queremos calcular la dimensión del ortogonal del complemento ortogonal de b esto va a ser lo mismo que calcular la dimensión del espacio nulo de nuestra matriz a transpuesta pero eso ya sabemos lo vimos en algún vídeo que esto no es otra cosa más que la nulidad la nulidad de transpuesta de a transpuesta verdad la dimensión del espacio nulo o del núcleo depende de ahí hay gente que le llama mejor núcleo hay gente que le dice espacio nulo pero la dimensión del espacio nulo de una matriz a eso es a lo que se le conoce como nulidad verdad y para ir calculando todo esto voy a seguir construyendo otra matriz de hecho voy a ver qué pasa con la trans presta es decir si tengo a transpuesta bueno notemos antes que la matriz a tenía k columnas verdad cada columnas y de cuantos cuanto cuántos renglones tiene pues como cada vector se encuentra en rn tendrá n n en el renglón es verdad por supuesto que la matriz transpuesta pues será de k por n y lo que vamos a hacer es que cada uno de los vectores en vez de ser columnas van a ser renglones verdad y entonces nuestra matriz a transpuesta es aquella que tiene al d no trans puesto como renglón digamos a b2 trans puesto como otro renglón y así sucesivamente hasta beca trans puesto como renglón verdad ahí tenemos a nuestra matriz a transpuesta ok entonces qué es lo que también sabemos que el rango de a el rango o más bien voy a tomar de a transpuesta el rango de a transpuesta más la nulidad más la nulidad de transpuesta esto lo vimos en nada ya hace algunos vídeos cité si sumamos el rango de a transpuesta y la nulidad de la trans pues está lo que nos da es el número de columnas el número de columnas y en este caso pues son en verdad porque esto es transpuesta y tenemos n columnas muy bien entonces ya con esto dicho vamos a de hecho quiero recordarles porque esto era cierto vamos a tomar por ejemplo cualquier matriz b si tomamos una matriz b digamos esta matriz b y que éste tenga no sé cómo vectores columna b1 b2 etcétera hasta ver no sé m ok tenemos esta matriz b si nosotros tomamos su forma reducida escalonada digamos si ésta la llevamos a su forma reducida y escalonada pues vamos a tener algunos vectores pivote verdad algunos vectores que son más o menos así digamos 1 0 etcétera vamos a tener otro que sea 0 1 etcétera no sé a lo mejor acá hay otro que tenga 0001 etcétera y digamos que el resto pues puede tener lo que sea así cosas cosas raras no sé si sale entonces esta es nuestra matriz reducida y escalonada entonces qué es lo que sabemos si estos son pivotes estos primeros y los otros pues pueden ser digamos que no sean pivotes que sean libres entonces sabemos que lava una base para el espacio columna es el número de columnas pivote ok entonces si yo me tomo aquí estos que son los vectores pivote tenemos estos los correspondientes a quien ve van a ser una base para el espacio columna ok entonces ahí tenemos ahí tenemos esa parte y sabemos además que la nulidad también va a ser luego que va a ser la nulidad son todos aquellos vectores que no los vectores columna que no fueron pivots de verdad esto ya lo habíamos hecho en varios vídeos digamos a lo mejor podríamos tener varios o de hecho podríamos no tener vectores que no sean pivote pero bueno eso nos diría otras cosas entonces en resumen que es lo que hemos obtenido que si nosotros tenemos esto lo hicimos aparte verdad si nosotros tenemos esta matriz los vectores columnas que resultan ser pivote eso me da una base para el rango de la matriz y por otro lado la nulidad está dado por el por los vectores que no son pivots entonces ya que tenemos esto dicho vámonos de regreso al problema original porque entonces si sabemos que el rango de a transpuesta es lo mismo que el rango de a verdad no importa para para fines del rango no importa si es agua transpuesta entonces qué es lo que tenemos esto lo podemos reescribir como el rango de a rango d más la nulidad nulidad de a transpuesta va a ser igual a n muy bien pero quien es el rango de a el rango de a pues simplemente es la dimensión del espacio columna verdad esto va a ser déjame ponerlo con otro color esto será la dimensión la dimensión del espacio columna de nuestra matriz y por otro lado esto por definición es la dimensión del espacio nulo de a transpuesta muy bien y esto debe ser igual a n y finalmente quien era el espacio columna pues dijimos que era nuestro espacio vectorial así que esta es la dimensión de nuestro espacio vectorial b y quién es la dimensión del espacio nulo de a transpuesta el espacio nulo de a transpuesta dijimos que su dimensión era igual a la dimensión del complemento ortogonal entonces aquí vamos a tener que esto es igual a la dimensión del complemento ortogonal y que eso por supuesto debe ser igual a n entonces esto último que obtuvimos esto último es lo que nos está demostrando que la suma de las dimensiones de un sub espacio y de su complemento ortogonal es igual a la dimensión del espacio completo es decir si tomamos b sub espacio sub espacio de rn de rn la suma de su dimensión con la del con la dimensión del complemento ortogonal nos da exactamente esta n que es la dimensión del espacio total