Complementos ortogonales

vamos a empezar tomando ave digamos que sea un sub espacio sub espacio de rn es decir de nuestro espacio de n dimensiones y vamos a considerar ahora vamos a realmente definir algo que vamos a llamar el complemento ortogonal el complemento ortogonal de nuestro espacio be ok el complemento ortogonal del espacio be ok y vamos a definirlo de la siguiente forma vamos primero a decir como se escribe vamos a denotar lo como be y con este simbolito pequeño de que es perpendicular o que es ortogonal y que de hecho vamos a decir b perpendicular o be ortogonal y esto va a ser el conjunto de todos los vectores en en rn ok todos los vectores en rn tales que al hacer el producto punto de x con b va a ser igual a 0 pero para todos ve en nuestro espacio en nuestro sub espacio de mayúsculas es decir esto va a ocurrir para todo para todo sector en nuestro sub espacio ve y lo importante es que es para todos ok entonces éste sube espacio lo que me está habido oeste este conjunto lo que me está diciendo es que si yo tengo un sub espacio ve que tiene a lo mejor muchísimos vectores estamos encontrando un conjunto donde todos los vectores que se encuentren en este conjunto be ortogonal o el complemento ortogonal de b sea todos los lectores sean ortogonales a todos los de nuestro sub espacio de mayúscula ok entonces una vez que ya hemos definido este conjunto pues la primera pregunta y que es muy inmediata es bueno será be be ortogonal o el complemento ortogonal debe un sub espacio es decir el complemento ortogonal de be es su espacio y es una pregunta que siempre que definamos algunos conjuntos de este estilo pues vale la pena preguntarnos por qué de esta forma vamos a poder aplicar todo lo que ya sabemos de sus espacios a estos en particular ok y recordemos que significa que algo sea un sub espacio es decir si nos tomamos dos vectores cualesquiera digamos ahí ve en nuestro de ortogonal que es lo que tenemos que preguntarnos bueno primero será cierto que la suma de a más b se encuentre en be ortogonal y esto nos estaría diciendo que se ha cerrado bajo su más verdad será cierto esto esto es lo que nos estamos preguntando otra pregunta será cierto que la multiplicación de s de cualquier escalar de cualquier número real por nuestro vector a se encuentra también en en el complemento ortogonal esa es otra pregunta y bueno hay gente que dice bueno será cierto que el 0 está en el complemento ortogonal pero ese es redundante porque si tenemos que esto es válido para cualquier se constante pues en particular si multiplicamos por la constante 0 ok entonces vamos a vamos a considerar esto de aquí estamos tomando los dos vectores en el complemento ortogonal que significa esto esto significa que a punto b a punto b es igual a 0 para cualquier o para todo para todo b que se encuentre en nuestro psuv espacio b mayúscula ahora también como b b de esta vez este vector b que se encuentra en el complemento ortogonal quiere decir que si hacemos el producto interior o el producto punto con este v nos va a dar 0 para todo también para todo v en nuestro espacio en nuestro psuv espacio original ok entonces la pregunta que queremos responder es si la suma si la suma se encuentra en el sub espacio entonces más perdón en el complemento ortogonal entonces tenemos que tomar además de hacer el producto en punto con cualquier vector cualquiera que se encuentre en nuestro espacio v y esto como es distributivo tenemos que va a ser a punto b a punto de más de punto v y como ambos eran estos dos productos punto son 0 por esta propiedad que tenemos aquí esto pues simplemente va a ser 0 +0 que finalmente es 0 entonces nuestra primera pregunta es cierta esto fue válido sí es cierto que la suma se encuentra en el complemento ortogonal ahora la siguiente pregunta es si multiplicamos un vector por una constante c y luego lo multiplicamos por el vector v eso será cero y la respuesta vamos a ver por qué podemos sacar la costa que multiplique al producto a este producto punto y otra vez como a se encontraba en el complemento ortogonal esto vale 0 es decir esto es ce por 0 que es igual a 0 entonces nuestra segunda pregunta también es cierta también es cierto que al multiplicar por una constante se queda dentro de este complemento ortogonal y y queda claro que el 0 el vector 0 es parte de este espacio de este de este conjunto complemento ortogonal porque 0 por cualquier cosa por cualquier otro vector sigue siendo ser y de hecho eso nos está diciendo que cualquier sube espacio cualquier complemento ortogonal de cualquier sub espacio siempre tiene al menos un elemento y que es al cero muy bien entonces lo que acabamos de concluir aquí es que el espacio del complemento ortogonal desde el sub espacio v es un sub espacio un sub espacio y ya podemos utilizar todos los resultados que tenemos de sub espacios para en particular a los complementos ortogonales muy bien entonces vamos a platicar un poco de lo que teníamos en otros vídeos vamos a considerar a una matriz de m por n muy bien y recordemos que habíamos afirmado en alguno de los vídeos que el espacio nulo el espacio nulo de nuestra matriz a que es el complemento ortogonal es el complemento el complemento ortogonal ya habíamos dicho que era el complemento ortogonal del espacio fila del espacio fila oa veces se le dice espacio renglón depende del gusto quizás yo usé ambos de repente todo va a ser el complemento ortogonal del espacio fila de nuestra matriz a ok entonces el espacio fila no es otra cosa más que el espacio columna el espacio columna de nuestra matriz a pero transpuesta porque es decir intercambiando renglones por columnas en otra en otra forma de escribirlo podemos decir que el no en el núcleo o el vuelo o el espacio nulo de nuestra matriz a son también dos formas de llamarlo es tomar el complemento ortogonal del espacio fila o el espacio columna de la matriz transpuesta este es el complemento ortogonal y déjenme remarcar aquí esto vamos a ponerlo re marcado con rojo para que quede mucho más claro ok entonces el espacio nulo es el complemento ortogonal del espacio fila que el espacio fila es el espacio columna de nuestra matriz transpuesta ok entonces esto es una esta es una proposición y falta realmente demostrar esto entonces vamos a vamos a intentar hacerlo vamos a considerar vamos a considerar una matriz déjenme hacerlo con otro color vamos a considerar nuestra matriz como vamos a escribirlo de esta forma vamos a escribir quienes son sus renglones déjenme hacerlo con verde para que quede más colorido el asunto y entonces aquí vamos a tener como primer renglón a un vector r 1 transpuesto y le pongo transpuesto porque siempre hemos estado trabajando con vectores columna principalmente ok aquí vamos a tener otro vector r 2 transpuesto ok y vamos a ir así hasta nuestra m nuestra nuestro renglón m si quizás te puede estar confundiendo esto de que sea un vector transpuesto en realidad no te fijes mucho en eso solo considera que aquí estamos pensando que r 1 es el vector que forma esta fila r 2 es el vector que forma esta otra fila y así sucesivamente hasta el vector r m ok entonces esta es nuestra matriz a y vamos a multiplicarlo por un vector x y vamos a multiplicar esto por un vector x que digamos que va a ser igual a el vector es decir el vector que tiene cero en todas las entradas que estamos diciendo estamos suponiendo aquí si tomamos un vector x tal que al multiplicarlo por la matriz a nos da el vector 0 estamos pensando que este x está en el núcleo o en o en el espacio nulo de nuestra matriz y esa es la definición del espacio nulo ok entonces solo hay que recordar que es lo que ocurre cuando consideramos este este producto de una matriz por un vector por qué porque si nosotros consideramos esto en realidad estamos pensando que esta primera entrada el resultado del producto punto de este renglón con este vector x es decir que esto esté 0 va a ser igual a r 1 punto nuestro vector x y es y eso ocurre para cada uno de los de las entradas de este vector es decir para este segundo nos tomaremos a este vector r 2 ok vamos a tomarnos ere 2 r2 vamos a hacer el producto punto con el vector x y nos debe dar 0 y eso debe ocurrir de forma análoga con todas las entradas de este vector nulo aunque yo otra forma de escribirlo sería de la siguiente forma que r 1 r 1 punto x debe ser igual a 0 es otra forma de reescribir este esta ecuación que también r 2 punto x nos debe dar 0 y así sucesivamente esto debe pasar con todos los vectores r hasta el rm que hacemos el producto punto con x y nos debe dar también muy bien entonces fijémonos muy bien qué es lo que hemos estado escribiendo porque esencialmente podemos decir que nos tomamos un vector digamos de uno en el en el espacio nulo de nuestra matriz a ok nos tomamos este b1 que informa sería digamos el papel que juega en esta ecuación la equis y como nos lo tomamos en el espacio nulo al multiplicarlo por la matriz a nos debe dar el vector 0 esa es la definición del espacio nulo verdad es decir el espacio nulo de una matriz el espacio nulo de esta matriz es el conjunto de vectores x en este caso r n tal que al multiplicar la matriz por el vector nos debe dar el vector 0 es la definición del espacio nulo entonces sí ya nos hemos tomado un vector en el espacio nulo quiere decir que al multiplicarlo por la matriz nos da 0 pero esta multiplicación de la matriz de la matriz por el vector no es otra cosa más que el vector que tiene por entradas los productos punto d el renglón con el vector por ejemplo éste es r 1 punto x el segundo es r 2 punto equis y así sucesivamente pero si eso nos da 0 quiere decir que de 1 satisface estas ecuaciones y eso quiere decir que es ortogonal es ortogonal a todos los raíz es decir es ortogonal a r1 y r2 y así sucesivamente a todos hasta ere m ahora bien esto que nos está diciendo si es ortogonal a todos ellos lo que yo afirmo es que también va a ser ortogonal a cualquier combinación lineal de ellos es decir que de uno es ortogonal ortogonal toda combinación lineal la combinación combinación vamos a escribirlo completo lineal de estos ere is ok y de hecho es muy sencillo observar esto por ejemplo consideremos no sé un vector wv vamos a decir que w sea una combinación de estos ere y digamos que sea c 1 x r 1 más de 2 x r 2 más etcétera todos estos suman 2 hasta c m por r m ok este va a ser nuestro vector w ahora vamos a ver quién sería entonces déjenme dejarlo con morado quién sería entonces b punto w porque si hacemos el producto interior sabemos que esto distribuye la suma entonces si hacemos b punto w sacamos digamos todas las constantes y hacemos de punto cada uno de estos vectores y sumamos en pocas palabras estoy escribiendo c 1 por b punto r 1 todos estos sumandos hasta c m por b punto r m ok pero pero dijimos que era ortogonal a cada uno de ellos verdad esto quiere decir que estos términos se cancelan valen 0 y entonces este producto interior al final valió simplemente 0 por lo tanto b es ortogonal a cualquier combinación lineal de estos vectores muy bien eso quiere decir que doble que perdón que ve es ortogonal a cualquier elemento verdad a cualquier elemento del espacio fila de a el recordemos que el espacio fila de a es el espacio generado por estos renglones pero si esos el espacio generado por los renglones es el espacio de todas las combinaciones lineales de esos vectores por lo tanto si fue ortogonal a todos ellos será ortogonal a cualquier combinación lineal y por lo tanto vamos a escribirlo formalmente y vamos a tener que si tenemos un w si nos tomamos un w en el espacio fila de nuestra matriz a o lo que es lo mismo el espacio columna de la matriz transpuesta y nos tomamos un b un vector b en el espacio nulo de nuestra matriz entonces ocurre que de punto w es igual a 0 es decir son ortogonales esto lo que nos está diciendo es que todo elemento todo elemento que se encuentre en el espacio nulo de a ok es ortogonal es ortogonal es ortogonal a cada elemento como aquí estamos viendo a cada elemento del espacio fila del espacio fila el espacio fila o el espacio renglón de nuestra matriz a muy bien ok entonces qué es lo que estamos diciendo aquí si nos tomamos cualquier elemento del espacio nulo de a va a estar también en el complemento ortogonal del espacio fila de a eso nos está diciendo inmediatamente que nuestro espacio nulo nuestro espacio nulo de la matriz está completamente contenido en él en el complemento ortogonal de nuestro espacio fila ok eso nos está diciendo que todo este conjunto está metido en este otro ahora la afirmación que nosotros teníamos acá arriba es que eran iguales así que lo único que nos falta ver es que este otro conjunto está contenido en el espacio nulo de nuestra matriz ok entonces nos falta demostrar que el espacio el complemento ortogonal del espacio fila de la matriz está también contenido en el espacio nulo de a como vamos a demostrar eso bueno tomémonos un elemento en este conjunto cualquiera arbitrario y veamos que también está en el espacio nulo entonces tomemos digamos un o un vector y que se encuentre en el complemento ortogonal de el espacio fila ok nos tomamos este elemento y entonces esto lo que nos está diciendo es que 1.2 w es igual a 0 verdad esto es lo que nos está diciendo donde www se encuentra pues en el espacio en el espacio columna de la matriz transpuesta que es lo mismo que el espacio fila de a muy bien entonces si esto es cierto para cualquier w que se encuentra aquí en particular podemos considerar los renglones de nuestra matriz es decir que un punto rj es igual a cero siempre que donde jota es igual a 12 etcétera todos hasta m verdad entonces esto nos está diciendo que un punto r uno es cero que un punto r 2 déjenme poner bien las flechitas también es 0 todos van a ser 0 hasta un punto r m todos estos son 0 y si todos esos son 0 inmediatamente me está diciendo que si yo hiciera la multiplicación de la matriz con un a y esto me va a dar 0 verdad justamente por lo que habíamos dicho arriba justamente por lo que habíamos dicho arriba esto esta ecuación se cumple entonces vamos a dejarlo así y esto implicaría que uno se encuentra en el en el espacio nulo de nuestra matriz a muy bien entonces ya hemos demostrado también con esto que el complemento vamos a escribirlo así que el complemento ortogonal de nuestro verde bueno si es verde pero uno muy malo entonces tenemos que el complemento ortogonal del espacio fila está también contenido en el núcleo de nuestra matriz correcto ok en el núcleo o en el espacio nulo es lo mismo pero si tenemos que el espacio nulo está contenido en el complemento ortogonal del espacio fila y tenemos la otra contención no le queda otra cosa más que sean iguales verdad entonces podemos concluir ya con todo que el espacio nulo de la matriz es igual al complemento ortogonal del espacio fila del de la matriz ok complemento ortogonal ahora bien vamos a hacer una pequeña observación y déjenme hacerlo acá arriba con otro color qué pasaría si por ejemplo fuera una matriz transpuesta siempre puede ser la transporta de otra matriz verdad de hecho de aes la transpuesta sea transpuesta entonces quien sería el núcleo en el núcleo o el espacio nulo debe transpuesta pues esto según esta igualdad sería el complemento ortogonal de el espacio columna de la trans puesta desde transpuesta verdad y creo que ya me estoy saliendo un poco déjenme escribirlo bien déjenme moverme un poquito más a la izquierda por acá entonces estamos diciendo que si ya es una matriz transpuesta entonces lo que vamos a tener es que el espacio nulo desde transpuesta va a ser el complemento ortogonal de él transpuesto de ésta de transpuesta verdad complemento ortogonal pero quienes la transpuesta de b transpuesta pues esto simplemente es b quiere decir que el espacio nulo debe transpuesta va a ser igual al complemento ortogonal de b muy bien esto nos está diciendo que el espacio nulo el espacio nulo izquierdo es el complemento ortogonal del espacio columna de hecho bueno ya habíamos hecho un ejemplo particular hace algunos vídeos pero ahora hemos visto que todas estas afirmaciones son ciertas para cualquier matriz