Determinar si una transformación es suprayectiva

vamos a tomarnos una transformación regresamos al punto de las transformaciones que van en general de un rn a un r m ok va del espacio r n de n dimensiones al espacio r m muy bien y vamos a bueno sabemos que toda transformación que va de rn a rm se puede expresar digamos si aplicamos t a un vector x que se encuentra en rn esto lo podemos expresar como la multiplicación de una matriz a por el vector x y esta matriz por supuesto tiene que tener dimensiones m por m y esto es porque se toma vectores en rn así que el número de columnas que debe tener es n y cada una de esas columnas debe de ser vectores nrm verdad entonces debe tener m m filas eso es lo que estamos diciendo así que podemos volver a lo que hemos estado hablando en los últimos vídeos hemos estado hablando de invertibilidad de funciones y podemos fácilmente aplicarlo transformación y realmente podemos hacerlo pues porque cuando hablábamos de de transformaciones o de funciones y de si eran invertibles o no en los últimos en el último par de vídeos en realidad hablábamos de que iban funciones de cualquier conjunto x a cualquier conjunto y en particular podríamos pensar que esos conjuntos xy son este rn y este ere m así que vamos a pensar un poquito en ello digamos que ahora aquí nuestros dibujitos pues en realidad este conjunto va a ser r n ok y también tengo mi conjunto crm este va a ser rm esta transformación es es una función específicamente que mapea cada punto x de rn lo mapea o lo manda algún punto acá nrm que de hecho ese punto está dado perdón a por la matriz la matriz a perdón por el vector xy esto es nuestra transformación t muy bien entonces la pregunta inmediata que que se nos puede ocurrir después de haber visto los vídeos anteriores es ver si esta transformación es invertible será cierto que más que será cierto bajo qué condiciones nuestra transformación t es invertible ok y vimos de hecho en en el vídeo anterior que para que una función sea invertible debe cumplir dos cosas la primera de ellas es que ésta te debe ser debe ser sobre o que también el nombre rimbombante y extravagante para decir que te sea una función a una transformación sobre es decirle su proyectiva verdad debe ser su proyectiva y otra condición para que te sea la transformación sea invertible es que te debe ser debe ser 1 a 1 verdad 1 a 1 y también tenemos un nombre estilizado y elegante para decir que una transformación sea 1 a 1 y esto es que sea inyectaba verdad entonces en este vídeo solo me voy a centrar en esta primera parte sólo me voy a centrar en las condiciones para que esta función sea su project y va ya después veremos qué pasa o qué debe pasar para que sea inyectaba o 1 a 1 ok entonces repasemos qué significa que sea su proyectiva y y que una función sea su proyectiva quiere decir que si yo me tomo cualquier punto en la imagen o más que en la imagen en el contra dominio ok en rm digamos yo tengo aquí este vector de entonces para decir que esta función es su proyectiva o que sobre yo debo poder encontrar un elemento un puntito aquí en rn que al aplicarle la transformación vaya a caer en este ve ahora éste no tiene que ser único podría haber otro punto que también vaya a dar ave pero al menos debemos garantizar que exista uno puede haber varios puede haber 5 10 20 los que sean pero para cada punto en rm debe existir otro que vaya a dar a este punto ve bajo la transformación t por supuesto entonces vamos a ver bajo qué condiciones nuestra transformación aplicada x que la pensamos como una matriz a de m por n que multiplica el vector x bajo qué condiciones esta transformación es sobre aunque yo su proyectiva entonces la definición de que sea sobre sobre implica que para cualquier punto ve cómo como lo pusimos acá arriba para cualquier ve cualquier ve que se encuentre en nuestro codominio rm debe existir al menos al menos una solución una solución solución a esta ecuación que ha x es igual a b verdad eso significa la transformación que exista al menos un punto x tal que la transformación aplicado asx sea de verdad y la transformación es a por x ok donde donde x por supuesto tiene que estar en nuestro dominio eso es r ok entonces pensemos realmente qué implica esta expresión ok porque la matriz a la matriz a la podemos escribir como si viéramos a sus columnas verdad sus columnas puede ser el vector a1 el vector a 2 y así sucesivamente hasta el vector n dijimos que tiene n columnas verdad entonces esta matriz a la podemos ver como la matriz cuyas columnas son a1 a2 y así sucesivamente hasta a n entonces quién es quién es o cómo podemos expresar a por x buenos y además x lo lo ponemos en sus coordenadas es decir el vector x es x 1 x 2 y así sucesivamente hasta x en verdad x m entonces esta multiplicación de la matriz a que tiene estas columnas por el vector ya lo hemos visto simplemente es la combinación lineal x 1 a 1 + x 2 a 2 y así sumamos hasta x n por a m ok entonces esta multiplicación de matriz por este vector x simplemente me da una combinación lineal donde los coeficientes que anteceden alude a las digamos a los vectores columna de nuestra matriz a son justamente las coordenadas de nuestro vector x ok entonces qué condiciones necesitamos para que esto sea igual a nuestro vector b cuando donde b puede ser cualquier vector en rm ok entonces para que esto sea cierto para que esto sea cierto necesitamos que t que que el espacio vectorial generado por los dos vectores columna sea todo el espacio r m es decir yo quiero expresar cualquier elemento de rm como combinación lineal de los de los vectores columna de mi matriz entonces necesito que el espacio generado por estos vectores sea o sea perdón todo rm ok entonces vamos a escribir eso para que nuestra transformación te sea sobre sea sobre o que sea su proyectiva ok sobre qué el espacio vectorial generado por los vectores a 1 a 2 y así sucesivamente hasta a n debe ser todo el espacio rm es decir que no importa cualquier vector en que que me tome en r m yo lo puede expresar como combinación lineal de estos vectores verdad donde además rm es justo mi dominio de la transformación verdad entonces estamos pensando que podríamos asignarle ciertos pesos que serían como estos coeficientes a los vectores de a1 a2 y hasta n para que podamos expresar cualquier vector en rm como como esta combinación lineal correcto entonces en realidad estamos pensando que el espacio vectorial generado por todos estos vectores tiene un nombre verdad y de hecho ese espacio vectorial es el que se le conoce como el espacio columna de nuestra matriz ok entonces necesitamos que el espacio columna de nuestra o sea justamente todo el espacio r m y nuevamente nuestra pregunta se sigue convirtiendo en otras preguntas cuando esto es cierto que el espacio columna de nuestra matriz sea rm eso sería una solución para decir cuando la transformación es sobre ok entonces regresemos a la ecuación a x igual a b digamos que tengo la ecuación a x igual a b ok y cómo es que resolvemos siempre este problema este problema lo resolvemos poniendo la matriz aumentada verdad ponemos una matriz una matriz que tenga aquí justo a la matriz a y aquí como columna al vector b correcto entonces como como resolvíamos este este problema de determinar si tenía soluciones o no esta ecuación entonces regresábamos o más bien reescribimos esto en su forma reducida y escalonada verdad digamos que si eres la forma forma reducida y escalonada por renglones eso es lo que quiere decir esto de aquí de nuestra matriz a entonces de esta forma pasa vamos a esta otra pasamos a la matriz oa la forma reducida y escalonada por renglones de nuestra matriz a y del otro lado pues tendremos algún otro vector verdad algún otro vector que se obtiene de seguir este procedimiento de hacer operaciones sobre esta esta matriz aumentada para llegar hasta esta otra forma entonces la pregunta es cuando esto tiene o no solución digamos en realidad podemos tener muchísimas o casi ninguna solución recordemos un poquito verdad perdón lo que quise decir fue que podemos tener muchísimas soluciones una o no tener soluciones recordemos que este proceso de hacer la forma reducida y escalonada simplemente es llevar a llegar a ésta a esta forma es mediante las operaciones que ya sabemos pues expresar lo a lo mejor de alguna forma donde tenemos renglones perdón columnas pivote verdad donde pivote quiere decir que tenemos un 1 y puro 0 después verdad a lo mejor está este no es pivote este puede ser un 2 con otros ceros qué sé yo a lo mejor aquí si tenemos un pivote en fin no podemos tener otro otro por aquí es pero recuerden muy bien la idea de de sacar las formas reducidas y escalonadas de las formas reducidas y escalonadas por renglones por por renglones de una matriz es exactamente esta idea verdad entonces además hay que recordar que los pivotes son esas son esas columnas esos vectores columna donde tenemos una única entrada que sea distinta de cero verdad y que que esté que puede ser en particular bueno vamos a decir que que sea una verdad entonces esos son nuestros pivotes y nos preguntamos entonces cuando esto de aquí no tiene solución entonces si queremos ver cuando tiene solución bueno es también me equivalente a ver cuando no tiene solución verdad cuando cuando esto cuando esto no tiene solución y por qué digo que nos preguntamos cuando no tiene solución porque recordemos como les había comentado hace unos momentos que podemos tener tres casos que tenemos muchas soluciones muchas soluciones a nuestra ecuación todo esto que estoy haciendo es es un repaso verdades ya muchísimos vídeos que hemos hecho y entonces podemos tener muchas soluciones podemos tener una única solución una solución y sólo una o bien podríamos pensar que no hay solución verdad son las tres únicas posibilidades que tenemos entonces si nos damos cuenta bajo qué condiciones no hay solución lo contrario nos da al menos una solución qué es lo que estamos buscando entonces cuando será cierto que esto no tiene solución y eso es muy eso sólo es cosa de recordar la verdad tenemos nuestra matriz digamos que ya la llevamos a su forma reducida y escalonada no sé a lo mejor aquí tengo un pivote qué sé yo por eso aquí tenemos un pivote acá puedo tener muchas cosas a lo mejor hasta aquí tengo otro pivote en fin no tenemos está esta forma ya reducida de la matriz aumentada y cuando no teníamos solución es cuando aquí teníamos un renglón con puros ceros verdad puros ceros y aquí en esta en esta en esta entrada teníamos justo una entrada que no es cero verdad es la única posibilidad para no tener soluciones y todo esto ya es un repaso verdad y de hecho si recordamos solo para ir aclarando todas nuestras ideas queremos ver bajo qué condiciones es nuestra transformación en su proyectiva y eso nos lleva a demostrar o ver condiciones bajo las cuales el espacio columna de la matriz coincide con todo el codo minio verdad que pues es esencialmente saber cuándo podemos resolver esta ecuación y eso lo podemos hacer si al llegar a nuestra forma reducida y escalonada no ocurre esto que tengamos todo un renglón con puros ceros y esta y esta entrada no es cero cuando esto ocurre no hay solución ok entonces como es que vamos a proceder en general y ves lo tenemos que poner como una variable verdad entonces uno en la práctica lo que hace es tomar este nuestra matriz tomamos esta matriz aumentada y con el vector b que esencialmente es b1 b2 así sucesivamente hasta b m y esta es nuestra matriz aumentada y lo llevamos a su forma reducida y escalonada por renglones bajar un poco más lo llevamos a su forma reducida y escalonada y esta será lo mejor algo así a lo mejor aquí tenemos un pivote que se yo sale y aquí es cero aquí tenemos a lo mejor otro pivote y así si nos seguimos aquí y bueno como nosotros tenemos variables no no tenemos una ve arbitraria entonces lo escribimos como b1 b2 bm y así entonces qué tal si tenemos puros ceros en un renglón tenemos aquí a lo mejor puros ceros entonces del otro lado pues vamos a tener algo que depende sólo de las veces sí o sea a la hora de hacer todas las operaciones correspondientes para para reducirla y escalonar esta matriz pues vamos a tener también operaciones con los b2 b1 b2 hasta bm por ejemplo a lo mejor nos queda no sé estoy escribiendo un caso particular puede no quedar así pero puede quedar como 2 b 1 + 3 b 2 - b 3 y así no tenemos en general una expresión o una función déjenme decirlo así tenemos una expresión f que depende pues de v1 v2 y de todos estos veces no hasta b entonces si esta expresión debe ser 0 entonces va a haber algunos puntos por ejemplo déjenme déjenme hacer un dibujo aquí si tenemos rm rm a lo mejor habrá algunos puntos donde si se cumple esta relación que 2 b 13 bueno esta función en general si nos da 0 para estos puntos verdad entonces esos sí van a ser imagen al aplicar la transformación t y van a estar en la imagen de nuestro rm ok al aplicarle t a algunos vectores en rn entonces pero pero si si esto pasa para estos para algunos no necesariamente pasa verdad entonces la única forma es que esto sea completamente cero pero es una expresión muy arbitraria entonces si no tiene solución si vamos a escribirlo si no tienes solución solución a esta a este renglón de aquí para algunos casos para algunos casos basta con que haya al menos uno de hecho vamos a tener varios pero bueno para algunos casos de nuestro vector b entonces qué es lo que concluimos entonces no generamos no generamos r m ok y por lo tanto nuestra transformación no sería su proyectiva verdad entonces solo para dejar un poquito más claro esto no es propio solo de este de este renglón de este renglón verdad que vamos a tener una expresión acá vamos a tener otra expresión de uno más de dos menos tres b b b 3 en fin no eso ocurre en todos los renglones pero en particular va a ocurrir para este renglón en donde tenemos puros ceros muy bien entonces esto va a ocurrir solo para ir redondeando te va a ser su proyectiva o te es sobre t es sobre sí solos y louis lo escribimos como si el espacio columna es todo el condominio que es rm pero el espacio columna es todo rm si y sólo si verdad también lo podemos expresar de esta forma la forma reducida y escalonada por renglones de nuestra matriz a tiene una entrada tiene una entrada pivote tiene una entrada pivote entrada pivote en cada cada renglón verdad eso es lo que estamos diciendo es esencialmente aquí necesitamos que en cada renglón haya una entrada pivote para que no sean todos ceros verdad entonces si eso ocurre para cada renglón y tenemos m renglones entonces debe haber m entradas pivote m entradas pivot es verdad eso es recordemos que aquí tenemos m m m renglones y tenemos n columnas verdad entonces vamos a ir redondeando un poquito todo esto vamos a ir redondeando todo esto recordando cuando pasa que tener como como trabajamos con estas entradas pivot todo esto es un repaso de lo que ya hemos visto en otros vídeos y todo esto te resulta lo mejor un poco extraño te recomiendo que siga revisando los vídeos anteriores entonces recordemos cómo encontrar una base una base para nuestro espacio columna de la matriz para el espacio columna de nuestra matriz que entonces tenemos nuestra matriz ahí voy a hacer justo lo que habíamos hecho hace ya muchísimos vídeos atrás y nos fijamos en qué columnas tienen una entrada pivote verdad entonces lo llevamos a su forma reducida forma reducida y escalonada por renglones que digamos que es r y realmente lo que tenemos que fijarnos es cuántas columnas tienen entradas pivote en esta forma reducida los vectores correspondientes en la matriz a esos van a ser una base para nuestro espacio columna ok entonces necesitamos y déjenme hacerlo por ejemplo un digamos como en un ejemplo muy sencillito digamos que tenemos la matriz a con sus vectores a1 a2 y así sucesivamente hasta a n ok y después de llegar a su forma reducida y escalonada pues tendremos no sé a lo mejor que aquí hay un pivote que que hay un pivote a lo mejor aquí no aquí tampoco que se yo pero a lo mejor aquí sólo hasta el final tenemos un pivote verdad entonces qué es lo que ocurre me considero aquellos aquellas columnas que tienen una entrada pivote por ejemplo este y este entonces sus vectores correspondientes en la matriz original que en este caso sería a uno ya n esos dos o bueno en este caso son dos pero todos los correspondientes van a ser una base de nuestro espacio columna ok entonces recordemos que el rango el rango de una matriz es justamente la dimensión del espacio columna ok y la dimensión del espacio columna es el número de vectores el número de vectores de de cualquier base de cualquier base o una base de nuestro espacio columna entonces si repasamos muy bien este enunciado y tenemos queremos tener m entradas pivote quiere decir que si tenemos m entradas pivote vamos a tener m columnas que que sea que formen una base es decir que queremos una que la base del espacio columna sea justamente r m verdad entonces necesitamos m entradas columna perdón en m entradas pivote lo cual implica ahora sí que tengamos m columnas pivote m columnas pivote por supuesto en su forma reducida y escalonada o en otras palabras que el rango de nuestra matriz sea justamente m entonces ya para ir redondeando todas estas observaciones que tenemos podemos garantizar que t es sobre o su proyectiva sobre sí sólo si y podemos ir repasando qué fue lo que hicimos queríamos ver bajo qué condiciones éste era sobre dijimos que esto es cierto si el espacio columna de la matriz era todo el condominio rm para lo cual utilizamos estas formas reducidas y escalonadas veíamos que cuando no hay solución de la ecuación a x igual a b es justo cuando tenemos esto verdad que que haya puros ceros y una expresión de b1 b2 bm entonces no puede pasar que haya puro ceros necesitamos que en cada renglón que en cada renglón hay al menos una entrada pivot de verdad que de hecho haya una entrada pivote entonces quiere decir que necesitamos m porque son n renglón es verdad teniendo esto se me concluimos que el rango de la matriz debe ser justamente m por lo tanto test sobre si sólo si el rango de nuestra matriz a es justamente m ok entonces de esta forma decimos que si tenemos nuestra transformación que va de rn a rm r m al menos este va a ser su proyectiva es decir que no importa cualquier punto que me tome yo en rm debe existir al menos uno que bajo la transformación llegue a dar a este punto pueden haber varios verdad pueden haber dos eso se vale pero al menos debe haber uno ok entonces como siempre es más sencillo y más agradable hacerlo con un ejemplo vamos a tomarnos una función particular por ejemplo una función que vaya de r2 r3 y digamos que esta función aplicada al vector x sea esta matriz la 1 2 3 4 5 6 multiplicando a nuestros vectores entonces nos preguntamos si está si esta matriz es sobre y pues hay que irnos con esto de las formas reducidas verdad entonces tenemos esta matriz 1 2 3 4 5 6 ok y entonces empezamos a escalonar la por ejemplo vamos a tomar este 1 si multiplicamos este renglón por 3 por menos 3 y se lo sumamos a esto esto se queda como 12 esto por menos 3 es menos tres más 13 02 por menos 3 es menos 6 esto sería -6 entonces aquí sería si multiplicamos este por menos 3 sería 2 por menos 3 son menos 6 4 es menos 2 y ahora si el primero el primero lo multiplicamos por menos 5 y se lo sumamos al tercero tenemos 1 x menos 5 es menos cinco más cinco son 0 2 x menos 5 son menos 10 más 6 son menos 4 ok y si no seguimos por ejemplo aquí en el segundo renglón podemos dividir entre -2 y tenemos 120 uno verdad y aquí lo dejamos como 0 4 muy bien y entonces a que pasamos ahora que por ejemplo si el segundo renglón lo multiplicamos por menos 2 y se lo sumamos al primero tenemos 0 x menos 12 0 1 es 11 x menos 2 es menos dos más dos es cero y aquí tenemos 0 y 1 y ahora si lo multiplicamos por menos 4 y se lo sumamos a éste pues vamos a tener cero cero entonces ahora si nos fijamos en las entradas pivote que son justo este y este y los vectores columna que tienen a estos como pivote entonces justamente tenemos aquí dos entradas pivote dos entradas pivote y eso quiere decir por supuesto que el rango el rango de nuestra matriz está 1 2 3 4 5 6 de esta matriz es justamente 2 pero nosotros necesitamos que sea igual a 3 verdad a 3 porque estamos ese es nuestro nuestro nuestro dominio así que ese como nos fue igual a la dimensión del condominio entonces ese no es sobre ese no es sobre y por lo tanto ese no puede ser invertible verdad es una de las condiciones para que una transformación sea invertible entonces espero que esto te sea útil ahora en el próximo vídeo lo que vamos a vamos a enfocarnos es en la segunda condición para que una transformación sea invertible y eso es ser uno a uno