Introducción a la inversa de una función

vamos a tomar una función digamos una función f que vaya de algún conjunto x a otro conjunto y ok así de sencillo y tan complicado puede ser porque x puede ser cualquier conjunto déjenme dibujar cualquier conjunto ahí tenemos un conjunto x y por acá vamos a tener un conjunto y digamos este es mi conjunto ye mayúscula lo pongo bien para que se vea que es mayúscula y nuestra función efe es digamos una regleta de correspondencia es un mapeo y cuando digo un mapeo me refiero a que si yo tomo un elemento aquí un elemento en x digamos que éste se llame a entonces la función f le va a asignar otro punto aquí en y ok este otro punto que digamos puede ser el punto b ok entonces estamos considerando un a en el conjunto x que después de aplicarle la función me arroja un punto b en nuestro conjunto y ok entonces de esta forma estaríamos diciendo que la función la función es es tal que a efe aplicado a nuestro elemento a nos da justamente el elemento b del conjunto y ok y por supuesto esto a lo mejor es muy abstracto y muy general pero vamos a tratar de entender después qué pasa con estas funciones que vayan de un espacio rn a rm verdad y eso lo vamos a pensar en términos de vectores hasta este momento esto es un pequeño y breve repaso de lo que son las funciones y a partir de este momento voy a definir un par de ellas voy a definir un par de funciones la primera de ellas va a ser la función identidad que déjenme anotarlo aquí es la función identidad y de hecho bueno no es que sean tan distintas las dos funciones que voy a definir simplemente actúan en distintos conjuntos pero déjenme va a empezar a decir qué es lo que quiero decir con la función identidad y que voy a denotar con y digamos para para simplificar pero también voy a decir en qué conjunto es en donde actúa ok entonces esta es una función que va del conjunto x en sí mismo ok es decir si nos tomamos elementos de x me arroja nuevamente elementos de x y qué es lo que hace esta función por ejemplo si yo me tomo un elemento en x entonces la función identidad la función identidad aplicado a nuestro elemento a es no es otra cosa más que a mismo es decir no le estamos haciendo exactamente nada absolutamente nada a este elemento a es decir si lo viéramos aquí en términos de flechitas y de dibujitos a mi elemento a al aplicarle la función identidad no hace otra cosa más que escupir le el mismo y eso pasa con cualquier elemento si nosotros tuviéramos por aquí otro punto y le aplicamos la identidad sólo nos da ese mismo punto entonces eso es el la función identidad en el conjunto x por supuesto también podríamos pensar en este diagrama en otra función que sea la función identidad por ejemplo si nos tomamos un elemento b tomemos un elemento b pero que se encuentra en que cualquiera puede ser cualquiera entonces la función identidad en nuestro conjunto y pues simplemente al aplicarle be nos asigna el mismo elemento b entonces estamos pensando que esto de aquí me toma b y le arroja el mismo después de aplicarle la función identidad verdad aquí estamos aplicando la función identidad en x y acá de este lado estamos aplicando la función identidad pero en g muy bien entonces tú a lo mejor podrás pensar oye pues éstas son como funciones tontas verdad no me están diciendo nada no están haciendo nada interesante pero vamos a utilizarlas mucho y en realidad es una agradable notación que vamos a tener para lo siguiente que quiero definir y de hecho voy a dar una siguiente definición que es ya realmente lo que quiero trabajar bien en este vídeo y es el concepto de que una función efe es invertible ok el concepto de que una función sea invertible y lo voy a dar en términos de una definición es decir fs invertible si y sólo si de hecho a veces en algunos libros lo denotan así como ese y muy bien entonces efe es invertible sí solo si y lo que él sí sólo si quiere decir es que lo que sea que vaya a decir aquí pasa cuando f es invertirle y f s invertible pasa cuando esto que vaya a decir ocurre entonces eres invertible si y sólo si vamos a poner que existe existe una función una función y que la boya de notar como efe a la -1 ok ahorita digo qué significa eso y que además esta función va hay que definir su dominio y su contra dominio verdad es decir esta función toma elementos de iu y nos arroja elementos de x es decir mientras que f va de ekiza y la f a la menos uno va a ir de y ax ahora qué ocurre con esta función por qué digo podemos pensar muchas funciones pero esta en particular satisface o es tal que tal qué ocurren dos cosas la primera de ellas es que efe ala -1 compuesta con efe es igual a la función identidad y aquí es en donde en donde cobra sentido tener la función identidad de nuestro lado verdad pero no sólo eso si nos damos cuenta efe a la mente perdón aplicamos primero efe entonces vamos de equis allí y luego aplicamos efe a la menos uno que va de iu a x entonces al final fuimos the xx verdad entonces esto es la función identidad en x y además debe cumplir la otra parte que si f está compuesta con s a la menos 1 esto debe ser la función identidad pero en el conjunto de mayúscula muy bien entonces esta es la definición de que f sea invertirle y de hecho a esta a esta función efe a la menos 1 le vamos a dar un nombre en especial que es la inversa de f y ahorita voy a detallar en por qué le decimos la inversa de f y no una inversa de f porque es muy distinto decir la que es hasta cierto punto algo que la distingue de forma única y decir una pues es porque podrían haber varias verdad pero bueno entonces vamos a redondear un poquito más en esto vamos a ver en este dibujo qué significa tener una inversa entonces si si si tomamos f esta esta función de aquí es la función f ok ahora vamos a pensar en que tenemos también una f a la menos 1 una función efe a la menos 1 que va a ir del conjunto y al conjunto x entonces si tenemos una función de esta forma además me está diciendo que si primero aplicamos f como tenemos aquí y después aplicamos f a la menos 1 tomemos a que nos va a dar ave ok eso es efe lo podemos denotar así verdad efe si después a efe a cualquiera que sea le aplicamos efe a la menos uno es lo que estamos diciendo en este punto de aquí si después le aplicamos efe la menos uno es porque estamos regresando exactamente a verdad porque porque f seguida de f a la menos uno es la identidad y la identidad es haber empezado en a y terminar en a ok esto es efe a la menos 1 lo mismo pasa lo mismo pasa cuando primero tomamos efe la menos uno por ejemplo no sé que nos tomemos un elemento aquí un elemento ye minúscula y le aplicamos primero ésta efe ala menos uno que digamos que ésta también es efe a la menos uno y esto pues me da algún punto que es ese ala menos uno del punto i y después si le aplicamos efe lo que nos está diciendo aquí es que si le aplicamos efe no pueden pasar muchísimas cosas sino que éste se regresa exactamente allí para que así podamos decir que la composición no hizo otra cosa más que arrojar me el mismo punto verdad que es la identidad muy bien entonces sólo para redondear muy bien estos estos diagramas si nos damos cuenta para este primer ejemplo efe va de x a nuestro conjunto y esto es f y después si aplicamos efe a la menos uno recordemos que cuando leemos las composiciones se ven más o menos como como al revés verdad esta es la primera que aplicamos y después este entonces primero va efe y después se fue a la menos uno entonces al final de inicio a fin es una función que va de x en x todo esto va de x en x por eso es que decimos que es la identidad en x al revés si vamos primero de x perdón si primero aplicamos escala menos uno que va de jett a x y luego aplicamos f aquí va efe y akivá efe al menos uno se va de que a perdón de x allí entonces todo esto fue de allí y por lo tanto si le corresponde la identidad en el conjunto y ok otra forma de decir esto que es que el término o la anotación de composición es decir efe a la menos 1 seguida de f aplicado a cualquier punto a aunque entonces estamos pensando a lo mejor en este punto a es igual a la función identidad en el conjunto x del punto a pero eso no es otra cosa más que a verdad la función identidad es aquella que a cada punto le asocia el mismo está esta anotación con digamos con esta bolita no es otra cosa más que efe a la menos uno aplicado a efe de verdad entonces esto me dice que debe ser igual a la otra parte la otra parte me está diciendo que f efe si nos damos cuenta primero es efe aplicado a efe a la menos uno de cualquier punto y digamos ok esto debe ser exactamente igual hay siempre que ya sea un elemento de nuestro ye mayúscula verdad y ya hemos visto esto en otras ocasiones pero hay que ser mucho más preciso porque hay que tomar ahora la idea de invertidas cuando estamos en conjuntos o transformaciones que requieren matrices ok vamos a estar trabajando en espacios de vectores espacios vectoriales y por ello vamos a trabajar con matrices entonces es bueno recordar este concepto de invertibilidad para cuando vayamos a utilizarlo en espacios vectoriales y ahora una pregunta que podrías ahorita estarte planteando es bueno nosotros podríamos tener una función invertible lo primero es que no sabemos en qué situar en qué situaciones efe es invertible pero bueno vamos a suponer que tenemos una función que es invertible que tenemos nuestra función invertible y la pregunta casi inmediata que siempre tenemos es bueno como éste es invertible tenemos una función efe a la menos uno pero cuántas funciones de éstas podemos tener es decir la pregunta es es la inversa de f única o pueden haber varias inversas ok entonces vamos a tratar de responder esta pregunta qué pasaría si nosotros nosotros nos tomamos dos inversas digamos supongamos que tenemos aquí una función g que vaya de nx es decir voy a suponer que es una inversa verdad entonces primero va de la equis y además sabemos que g kg seguida de efe ok que es esta parte es igual a la identidad en x y también sabríamos que f seguida de g efe seguida de g es igual a la identidad pero en g aunque esto es suponer que tenemos que una inversa aquí estamos diciendo que que es una inversa hasta ahorita podemos decir una verdad una inversa una inversa de f y vamos a suponer que tenemos otra es decir vamos a suponer que existe una h ok digamos h que vaya de nuestro espacio con nuestro conjunto y al espacio o al conjunto x que cumple esta misma propiedad que el h perdón seguida de f no es otra cosa más que la identidad de nx y que también h seguida de g de perdón al revés verdad ahora tenemos efe efe seguida de h es igual a la identidad pero en ok esto es pensar que h es otra inversa otra inversa si tenemos nosotros dos si tenemos nosotros dos inversas distintas digamos g y h lo que vamos a ver es que en realidad no pueden ser distintas que en realidad son las mismas y como ya el dibujo de arriba quedó muy encimado vamos a hacer otro digamos que aquí tengo mi conjunto x y de este otro lado tengo mi conjunto y así de grandes vamos a pintarlos entonces tenemos nuestra función f que a cada punto digamos este punto de aquí le asocia algún otro punto de acá que esta es nuestra función efe y de esa partimos suponiendo que es invertible entonces sabemos que al menos existe una función de hecho estamos suponiendo que hay dos digamos que a cada punto al aplicarle f y luego aplicarle una g ok esto es que esto es este punto de aquí arriba ok este punto de acá arriba me dice primero aplica f sale ya nos fuimos por efe luego aplica g entonces eso fue la identidad ok eso no es otra cosa más que pensar en la identidad la identidad en el conjunto x también tenemos una función h que si aplicamos f y luego aplicamos h regresamos a este punto original entonces aquí tenemos nuestra función h y bueno tenemos la otra propiedad que ya nada más voy a poner muy breve que si tenemos primero si aplicamos primero una g ok la función g y luego aplicamos la función f entonces regresamos al mismo punto a través de las identidades verdad simple si primero aplicamos g y luego aplicamos efe en espéreme lage va en este en esta dirección si no va acá verdad por kg que dijimos que va de la equis entonces si tenemos una g que va de iu a x y luego aplicamos efe que la f va de ekiza y entonces si vamos después por efe hasta este punto entonces regresamos esencialmente a la identidad pero en ok lo mismo pasa con la h pero con esto con esto me voy a quedar entonces recordemos quienes g o más bien una forma de expresar de expresar que es como la identidad en x seguida de g verdad porque si tenemos una g por ejemplo aquí tenemos aplicando g y después le aplicamos la identidad pues en realidad no cambie el resultado verdad simplemente llegué a este punto rojito y al aplicarle la identidad llegue al mismo punto rojito entonces no hay mayor complicación de hecho si quien podemos hacerlo en un dibujo más grande aquí tenemos x aquí tenemos y entonces se aplicó primero que como dice y luego la identidad llegue a este punto y luego la identidad sigo en ese mismo punto entonces no hay ninguna complicación con escribir ag de esa forma pero la identidad podemos expresar lo que de otra manera verdad porque la identidad puede ser aplicar h nos más bien sería aplicar efe primero aplicamos efe y luego aplicamos h verdad empezamos en este punto llegamos aquí y luego h que fue exactamente lo mismo que aplicar la identidad entonces esto lo podemos reescribir como h seguida de f verdad es primero aplicar f y luego h es la identidad y luego aplicar g pero ya he demostrado hace en algún otro vídeo no recuerdo exactamente cuál que la composición de funciones es asociativa entonces podemos cambiar estos paréntesis como h seguida de fcc vida de g verdad de esta forma podemos asociar y esto quien es esto es seguida de quién es efe aplicado después de que entonces aplicamos que es justo este dibujito que hice aquí pero lo podemos hacer nuevamente esto es x esto es ya y entonces primero aplicamos g que va de la x esto es que muy bien y luego aplicamos efe entonces si aplicamos efe después estamos regresando a este punto verdad que no es otra cosa más que la identidad en ok entonces esto es la identidad en ye y que si tenemos esto pues no es otra cosa más que h verdad esto es h porque ahora sí tenemos una una función de la identidad por ejemplo aquí aquí tenemos la identidad y después aplicamos h pues no cambia el resultado de verdad porque parto de este punto regreso a este punto y después me voy por h entonces sí es cierto que esto es h aquí y a qué conclusión llegue kg sí suponíamos la existencia de dos pues en realidad son las mismas verdad así que toda función invertible tiene una única inversa si supones dos entonces no pueden ser dos en realidad son las mismas verdad aún no sabemos qué es lo que causa que una función sea invertible pero lo que sí sabemos ya es que su inversa debe ser única