Mostrar que las Inversas son lineales

digamos que tengo una transformación y que esta transformación t pues es lineal entonces eso quiere decir que al aplicarlo algún vector x esto lo puedo escribir como una matriz a que es bueno alguna matriz a aplicado a este vector x muy bien entonces además de detener esta transformación vamos a suponer algo muy fuerte muy muy fuerte y eso es que la forma reducida y escalonada por renglones de nuestra matriz a es decir al hacer todas esas operaciones que que lo llevan a su forma escalonada por renglón es ésta la matriz que queda es la matriz identidad de tamaño n entonces esto inmediatamente me está diciendo que esta matriz no tiene cualquier tamaño arbitrario sino que tiene que ser cuadrada verdad porque el tamaño de ésta debe ser exactamente igual al tamaño de ésta entonces si ésta es de n por n por definición de la matriz identidad entonces esta matriz de aquí también tiene que ser de tamaño n por n entonces esto me está diciendo que mi transformación del espacio rn a rn muy bien entonces vamos muy bien hasta ahí nada más esta condición de aquí de que la forma reducida y escalonada sea la identidad esto solito me está diciendo mucho como mencionamos aquí me está diciendo que la matriz es de tama es cuadrada es de n por n y que por lo tanto el espacio en digamos los espacios desde el cual estoy mapeando es decir el dominio es exactamente el mismo que el contra dominio verdad y la otra cosa que me dice y que lo vimos en el último vídeo es que la matriz y la que de hecho perdón que la transformación es invertible eso es algo muy fuerte que me está diciendo entonces de aquí podemos concluir que t es invertible es invertible muy bien entonces vamos a recordar qué es lo que significa que una matriz que una transformación perdón sea invertible ok entonces que que te sea invertible significa que existe ok que existe que era lo que existía puede ser existía una transformación que existe una transformación y que de hecho la denota vamos como sea la menos 1 t inversa y está esta transformación es tal que si la componemos digamos que sea la menos 1 y la componemos con t esto me da exactamente la identidad en el contra dominio verdad es el perdón en el dominio bueno el punto es que como va de rn a rn es la identidad en rn y ahora que si invertimos el orden de t seguida de té a la menos uno esto es lo mismo que la identidad también en rn y nos estamos tomando r él es la identidad en en el mismo porque va de rn a rn entonces no hay no hay ningún problema como como se ve esto como como lo veríamos en un dibujo digamos que aquí tengo mi espacio r n y aquí vuelvo a tener ese mismo espacio rn lo que me está diciendo es fíjate si tú te tomas primero te ok si nos tomamos t te va de rn a este rn ok entonces al tomarnos cualquier elemento aquí y le aplicamos t llegamos a algún punto en el contra dominio verdad entonces si después le aplicamos la inversa esto me está diciendo que es exactamente la identidad es decir que tenemos que regresar al mismo punto de a la menos 1 entonces esta composición al final resultó ser ir a este rn y regresar al mismo punto pues fue exactamente lo mismo que no haber hecho nada es decir tener la identidad verdad la identidad en ere n muy bien y por supuesto entonces esta es la identidad en el dominio ahora qué hubiera pasado si por ejemplo me voy primero con de este punto conté a la menos 1 ok me voy primero por aquí y después aplicó t después aplicó t y regreso a este punto pues al haber ocurrido eso no cambiamos nada llegamos al mismo punto eso quiere decir que esta composición no es otra cosa más que la identidad rn pero esté pensado de la identidad en el co dominio muy bien muy bien entonces ya sabemos que t es una transformación lineal que satisface estas propiedades con su transformación inversa pero además por ser lineal pues tiene tiene una matriz por la cual está definida y demás la siguiente pregunta que es muy inmediata es que una vez que sabemos que t es lineal nos podemos preguntar si su inversa es una transformación lineal es decir será cierto no me agradó será cierto que te a la menos uno es una transformación transformación ok si es una transformación pero será cierto que es lineal será cierto que es una transformación lineal y lo que sabemos es que para hacer una transformación lineal se debe cumplir dos cosas verdad que si nosotros aplicamos una transformación a una suma verdad nosotros sabemos que t es lineal porque está definida por esta matriz entonces te satisface que al aplicarlo a una suma de vectores esto será igual a la suma de las transformaciones verdad esto es te de x + tdi y no sólo eso la otra condición para que sea lineal es que si nosotros aplicamos la transformación a un escalamiento digamos de este vector que no es otra cosa más que multiplicarlo por un por un escalar por un número real esto va a ser igual a que si el real lo sacamos es decir re escalar la transformación del vector ok entonces estas dos condiciones son son las que me permiten ver si una transformación es lineal y son las dos condiciones que tenemos que ver que se cumplan para la transformación inversa entonces vamos a vamos a ir explorando vamos a experimentar un poquito por ejemplo qué pasaría si yo aplico té seguida de té a la menos uno ok si yo se lo aplicó a una suma ok vamos a vamos a ver qué pasa en principio está compuesta con té a la menos uno pues es la transformación identidad entonces como esto es la transformación identidad la transformación identidad sabemos que no le hace nada verdad a lo que le estemos aplicando esta identidad no le hace nada además ve entonces esto de aquí pues simplemente va a ser más ve y eso es porque esta es la transformación identidad en la que no le hacen nada a este a este sujeto que estamos aplicándole la transformación pero también podemos pensar que es aplicarle la identidad a verdad pues si la identidad pues esa pero podemos reescribir la identidad de esta forma es decir podemos pensar que esto este seguida de té a la menos 1 que esto es la identidad aplicado a muy bien esto es la identidad aplicada y también podemos pensarlo para b verdad te ve este seguida de té a la menos uno aplicado a ver e insisto esto es cierto porque pues esto es la identidad y la identidad aplicado ave es ve muy bien lo mismo pasa con este de a carrillo entonces esta suma de hecho de hecho la podemos escribir así es igual a esta suma muy bien entonces déjenme déjenme ir reescribiendo todo esto la lo que llegamos es que y de hecho voy a cambiar un poquito la anotación porque quizás y bueno yo no sé cuál es la la forma en que el proceso mejor tu cerebro esto para mí me funciona más escribirlo de la siguiente forma esto este aplicado ate a la menos uno de a más b muy bien también esta es otra forma de escribir las composiciones entonces esto aquí va a ser igual a t aplicado a quien sea la menos uno de nuestro vector más t aplicado a la menos uno de nuestro vector b eso es lo que obtuvimos justo en esta línea no estoy haciendo nada nuevo sin embargo ahora lo que yo puedo hacer es lo siguiente vamos a utilizar que te cumple esta propiedad por ser lineal t es lineal eso quiere decir que te aplicado a una suma es igual a la suma de que si aplicamos t a cada uno de los elementos nosotros podemos ir ahora de esto a la izquierda porque tenemos t aplicado a dos vectores digamos este sería el que juega el papel de x y este sería el que juegue el papel debe entonces por esta propiedad de aquí lo que vamos a tener es que esto es igual a t aplicado a la suma de estos dos es decir ate a la menos 1 más que a la menos uno aplicado a b muy bien entonces déjenme dejen a reescribir todo esto solo para que no carguemos con cosas innecesarias a lo que llegamos es que te aplicado de este lado te aplicado a tela - uno de hamás ve al menos uno más debe ser igual a lo que tenemos de este lado t aplicado a tela menos uno en a más de al menos 16 y recuerdo que que esto salió por esta propiedad de la linealidad de t verdad aquí teníamos una suma de dos cosas a las cuales le estamos aplicando t pues eso es aplicar t a la suma de esas dos cosas verdad es lo que está diciendo aquí muy bien entonces si ya tenemos esta expresión si ya tenemos esta expresión podemos sacar la inversa de estas dos podemos decir bueno qué pasa si le aplicamos la inversa si aplicamos la inversa de este elemento como es el mismo es lo mismo que aplicarle la inversa a este de la derecha lo que estoy diciendo es que si aplicamos la inversa a esto que está aquí del lado izquierdo es lo mismo que aplicar la inversa a esto que está del lado derecho muy bien simplemente lo que hice fue aplicar la inversa de ambos lados sin embargo qué es lo que pasa aquí ya lo que tenemos es que tenemos de ala -1 compuesta con té aplicado en este elemento verdad si yo me tomo esto de aquí esto de aquí lo podemos expresar como sea la menos 1 compuesto con té y a quien se lo estamos aplicando a este a este otro de aquí este otro de aquí entonces esto lo estamos aplicando ate a la menos 1 de además ve muy bien y esto a quien va a ser igual nuevamente esto esto lo podemos escribir como una composición esto este a la menos 1 compuesto con té muy bien al menos uno compuesto con té de hecho déjenme seguir usando los mismos colores de esta forma vamos a ponerlo así esto esté a la menos 1 seguida de té ok es esta composición y a quien se lo aplicamos pues se lo aplicamos justamente a esto que está aquí adentro se lo aplicamos hacia la menos 1 de a más de a la menos uno debe muy bien y ya estamos muy muy cerca de demostrar lo que queremos llegar porque esta composición no es otra cosa más que la transformación identidad en otro color esto es la identidad en rn y esto también es de identidad en rn entonces si esas dos son la identidad es como hacerle nada verdad la identidad a esto pues es simplemente esto así que lo que tenemos del lado izquierdo es la transformación inversa aplicada a amas ve ok es igual y esto es la identidad simplemente es lo que me queda aquí del lado de este lado que es de ala menos uno aplicado a más de a la menos uno aplicado a ver y ya tenemos la primera condición ya tenemos la primera condición para que sea lineal sería es exactamente esta pero para la función inversa así que ya tenemos la primera condición para que sea lineal vamos a experimentar ahora con la otra condición vamos a ver si podemos llegar a algo vamos a usar digamos la misma técnica vamos a ver qué pasa con t compuesta contra la menos 1 al aplicarlo a nuestro a un múltiplo del vector a que la idea de llegar a que está a la condición digamos de t esta condición que tenemos aquí pero párate a la menos 1 no hay que perder de vista es entonces esto como es la identidad simplemente es lo que tenemos aquí esto es la identidad aplicado a algo pues es algo entonces esto es de veces muy bien pero a nuevamente lo podemos reescribir como la identidad por a no sea esto es seis veces la identidad que por ejemplo lo podemos escribir como t compuesta con té a la menos uno porque esto es la identidad y eso lo sabemos de de acá arriba verdad esto eso sí lo sabemos aplicado a entonces esto fue como no haberle hecho nada sólo escribirlo como la identidad por muy bien y en realidad eso eso está de hecho por qué porque si es claro que te que sea la menos uno pero más bien que a es igual a ti compuesta contra la menos uno de a verdad porque esto es la identidad y la identidad no le hace nada a los vectores muy bien entonces qué es lo que tenemos vamos a reescribir mejor los reescribimos de esta forma esto este aplicado ate a la menos uno aplicado hace por a verdad y esto es igual a quien del lado derecho que me queda que me queda esto s que multiplica te aplicado acteal a menos uno vea muy bien entonces lo que podemos hacer aquí es usar que t es lineal y como es lineal las constantes que están afuera las meten muy bien entonces esta constante entra esta constante entra vamos a ponerlo con este color y esto sería t y la constante entrada multiplicándose por t a la menos uno de a muy bien entonces déjenme déjenme reescribir esto simplemente quitando este paso intermedio entonces lo que tenemos es aplicado ate a la menos uno de sepor a es igual a t por bueno aplicado hace corte a la menos uno de a y supongo que ya estás viendo muy bien cuál es el siguiente paso porque esto es muy similar a lo que obtuvimos en el en el caso anterior lo que podemos hacer es de ambos lados aplicar la transformación inversa aplicamos la transformación inversa de ambos lados y que es lo que me queda qué es lo que me queda de este lado me queda tela -1 compuesta con te verdad es justo esto de aquí aplicado a lo que tenga aquí que esté a la menos uno aplicado hace por a muy bien y del lado de perdón derecho que es lo que me queda me queda de al menos 1 compuesto con té aplicado a lo que me queda que es se porte a la menos uno aplicado a ok ahí está entonces justo todo el detalle de por qué hice esto es porque esto es la identidad es la identidad en rn y esto también es la identidad en rn entonces la identidad no le hace nada a los vectores a los cuales le está aplicando entonces si no les hace nada solo me quedan estos dos de aquí bien entonces lo que me queda es que te ala menos uno aplicado a c por a es igual a c veces de a la menos 1 por a y justo de esta era la segunda condición de las transformaciones para hacer lineales ok entonces en este caso usamos que que t era lineal para demostrar que si las las constantes digamos las acá las transformaciones inversas y también usamos que t lineal para demostrar esta propiedad de que la transformación inversa aplica una suma es la suma de las transformadas inversas muy bien entonces en efecto usamos la linealidad de t para demostrar a ambos casos y concluimos entonces que la inversa en línea ahora sabemos que la transformación si es lineal si es lineal t invertible entonces la inversa también es lineal vamos a escribir eso si te es una transformación lineal transformación lineal pero pues además queremos que sea invertible verdad es invertible en invertible entonces qué es lo que ocurre entonces la inversa sabemos que existe porque es invertible también resultó ser línea también es una transformación lineal transformación lineal muy bien entonces parece algo muy sencillo digo uno a lo mejor podría intuir que si tienes una transformación lineal la inversa debería ser lineal parece algo muy sencillo pero en realidad es algo muy muy grande y use un resultado muy fuerte porque que quiere decir que sea lineal esto implica que te ala -1 aplicado un vector pues como todas las transformaciones lineales y que ya hemos visto es aplicarle o más bien multiplicar al vector por una matriz que déjenme poner aquí algo así como la inversa de a ok no hemos definido que es la inversa de una matriz pero sabemos que existe una matriz que define a esta transformación que es la inversa da más por cosas que ya veremos le pongo a la menos 1 la inversa de a ok entonces qué es lo que sabemos sabemos que t seguida de la menos 1 seguida de t es la identidad en rn muy bien la identidad en rn pero además también sabemos que te de x te aplicado a equis pues es una matriz a por nuestro vector x entonces si nosotros lo aplicamos esto algún vector particular es decir si tenemos t a la menos 1 compuesta con t y que multiplica a x esto primero se ha aplicado a x por lo que tenemos aquí es la matriz a que multiplica x y luego aplicamos t a la menos 1 de x que es aplicarle que es multiplicar por la matriz a la menos 1 y justamente por aquí es de donde sale la necesidad de multiplicar matrices entonces además sabemos si sabemos que esto es la identidad entonces esto es lo mismo esto es lo mismo y ponerlo así esto es la identidad en rn aplicado a nuestro vector x pero la identidad en rn por ser lineal también sabemos que la matriz que la define la matriz identidad de tamaño n verdad aunque ya que no van no van los paréntesis aquí simplemente es la matriz que multiplica este vector entonces ya para concluir me dice que esta matriz esta multiplicación de dos matrices debe ser esta matriz de acá es decir que a la menos uno que multiplica debe ser la matriz identidad de tamaño n muy bien y por otro lado que es lo que sabemos también que está compuesta contra la menos 1 también es la identidad en rn entonces de la misma forma como procedemos podemos vemos podemos ver que si aplicamos que si aplicamos la inversa de a ok y después le aplicamos a a nuestro vector x esto va a ser lo mismo que la matriz identidad de tamaño n del vector x entonces nos dice algo muy fuerte que a multiplicada por al menos 1 también es la matriz identidad y eso es muy bonito porque sabemos que el producto de matrices no siempre conmuta no siempre podemos intercambiar el orden y aquí me está diciendo qué si podemos intercambiar el orden con sus matrices inversas y más aún que la que el producto en ambos casos me debe dar la matriz identidad ok entonces ahora que ya hemos llegado tan lejos el siguiente paso es ver cómo construyen la matriz inversa digo sabemos que sabemos que estas cosas existen las transformaciones inversas sabemos que la inversa es una transformación lineal y que por lo tanto la define una matriz es decir esta matriz existe la matriz que le llamamos ingenuamente a la menos uno y vimos esta propiedad de que al multiplicar estas matrices obtienes la matriz identidad así que el siguiente paso es descubrir la forma de obtener quién es este sujeto