Una comprensión más formal de las funciones

me imagino que en algún momento has estado expuesto un poco a la idea de lo que es una función o en algún momento de tu experiencia en cuanto a las matemáticas pero lo que quiero hacer en este vídeo es explicarlo un poco más formal de lo que normalmente lo hago y luego relacionarlo un poco con conceptos de vectores y un tanto de álgebra lineal que hemos visto hasta ahora así que una función en realidad es enrollar es la relación entre los elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto así que digamos que tenemos un conjunto de xy que por cada elemento de dicho conjunto lo vamos a relacionar o asociar con un elemento de otro conjunto nos asociaremos con un elemento del conjunto jr así que imagina que este es mi conjunto x este que está por aquí sería el conjunto x y luego por acá tendríamos el conjunto en el que no necesariamente debe ser más pequeño simplemente lo dibujé así y la función es simplemente tomar ciertos elementos de mi conjunto x así que tomemos o visualicemos que este punto de aquí corresponde este conjunto y la función dirás ok me dije me diste un elemento de xy ahora lo que vamos a hacer es darte un elemento de asociado con dado término de x entonces se verá de esta forma usted vamos a asociar nuestro elemento de x con el elemento de y por lo cual vamos a decir que lo estamos mapeando y lo que realmente significa es que estamos relacionando lo o asociándolo con un miembro de iu y luego si me das otro punto por aquí lo voy a relacionar con otro punto del conjunto y podríamos incluso relacionarlo con el mismo punto que utilizamos primero en el conjunto jet y esta es la anotación solamente nos está diciendo que estamos mapeando de un conjunto x y es de lo que estamos hablando en términos generales a lo del conjunto y probablemente podría decir mg y esto está haciendo demasiado abstracto para poder interpretar funciones vistas anteriormente entonces bien déjame solo escribo debajo una función que probablemente has visto mucho en ocasiones anteriores vamos a decir que tenemos f x x cuadrada entonces como podríamos escribirla en esta anotación bien pues ésta es una función asumiendo que ésta es un tanto relacionado con ella entonces vamos a escribirlo como que f va a ir si te das cuenta en nuestra función f x igual a equis cuadrada puede tomar valores en todos los reales o también podríamos definirla como para los números enteros pero en esta ocasión vamos a decidir que esta función f va a ir de los reales y va a mapear por así decirlo o va a ir hacia los números reales también simplemente lo que estamos diciendo es que podemos poner cualquier número real aquí y vamos a caer en los reales otra vez entonces en este caso si x es un número real va a ir al mismo conjunto pero va a ser un número legítimo pues lo que está haciendo nuestra función es esto así que si estamos en los números reales obviamente caeremos en los reales pero siempre y cuando tomamos un punto en r lo maté amos en otro punto en r entonces es lo que estamos haciendo tomamos un punto y lo asociamos con la función x cuadrada y ahora lo que quiero hacer es una sub notación o al menos no dejarlo como solamente en la mente pues es la primera vez que estoy tratando de exponer acerca de funciones con este tipo de notación entonces estaba pensando que dieras tu número pienses en un número real equis y lo lees al cuadrado entonces simplemente lo que pasa es que estamos cambiando este número al elevarlo al cuadrado y entonces vuelve a caer en los reales vamos de equis a equis cuadrada y de hecho esta es otra forma de notación pero estamos escribiendo la misma cosa estos dos enunciados de por aquí este primero y este segundo son idénticos solamente que creo que no es muy común ver esta segunda anotación sin embargo a mí me gusta porque siento que nos muestra de mejor manera el mapeo o la asociación que estamos teniendo de un conjunto con otro entonces es una especie de poner x en una pequeña máquina y tornarla o transformarla en x cuadrado y eso es lo que está realizando nuestra función entonces para mí esa notación implica una mejor forma de representar el mapeo entonces me das unas x las voy a asociar con otro número real llamado x cuadrada por lo que este va a ser otro punto y esto es simplemente la terminología que estoy utilizando y creo que este tipo de cosas lo has visto anteriormente pero de diferente forma y el conjunto del cual estás mapeando se les llama dominio del cual estamos partiendo se le llama dominio que es justo lo que había escrito en color rosa por aquí abajo y bien ahora a la parte que estamos mapeando estamos asociando de un conjunto a otro es conocido como el co dominio así es su dominio y puede ser normal que surja una pregunta en tu cabeza y me digas oye pero cuando yo tomé mi curso de álgebra o donde sea que tú hayas aprendido funciones es muy probable que te hayan dicho que es aislado se llamaba rango sin embargo te voy a explicar la diferencia entre estos de hecho creo que yo lo aprendí cuando tomé mi curso de álgebra 2 sin embargo yo también lo conocía como el rango pero bueno qué es lo que relaciona al condominio con el rango pues es una sub notación el co dominio es el conjunto al que llegamos o estamos mapeando por así decirlo por ejemplo aquí este es el condominio y en nuestro ejemplo tenemos los reales que son el dominio y el condominio también son los reales entonces la pregunta es como el condominio se relaciona con esto y bien el condominio es el conjunto que puede ser al que posiblemente se llegue no necesariamente todos los elementos o puntos de condominio van a estar relacionados con otros del dominio más bien quiero decir que generalmente cada elemento del conjunto x está asignado a un único elemento del segundo conjunto ahora el rango es un subconjunto del condominio de hecho pueden ser el mismo para cuando él el elemento que parte de nuestro dominio cae tanto en el condominio y respeta a la parte del rango más adelante les daré un ejemplo de esto para que quede más claro pero entonces la definición de rango sería el subconjunto del condominio donde la función está asociando un elemento pero bueno pasemos al ejemplo para entender mejor entonces digamos que vamos a definir la siguiente función g la cual va ir de los reales va a ir de mejor va a ir de r2 a ver a los reales entonces esencialmente estoy tomando elementos de r2 que van a ir así que vamos a ver de qué forma diferente podemos ver esto y ahora voy a tomar a los valores que corresponden ser de r2 que podrían ser como coordenadas así que tenemos que g de dichos valores que sería x1 coma x2 y vamos a decir que es igual a 2 entonces está asociando asignando de r2 a r pero esto siempre van a ser igual a 2 siempre los elementos de r2 dijimos que van a valer 2 entonces ahora déjame escribir la otra anotación que probablemente no la hayas visto antes pero a mí me gusta porque hace la asociación la asignación un poco más clara entonces g que va de x coma x 1 x 2 a 2 entonces esta esta parte de aquí la podríamos llamar como regla de correspondencia que es lo que parte de nuestra función a otra entonces ahora la pregunta va a ser cuál sería el dominio en esta función pero aquí no la está dando por definición sabemos que la parte de arriba de r2 parte de r2 entonces ya está dada nuestra definición y también nuestro codo mío ya está dado por la definición pues sabemos que vamos de r2 a r entonces dicho condominio va a ser igual a r que estoy subrayando por aquí entonces hasta el momento estos dos plus en un tanto sencillos de ver pero ahora viene lo interesante cuál es el rango de mi función el rango sería el conjunto de valores que la función de hecho está asociando que en nuestro ejemplo siempre llegamos o estamos asociando el valor 2 entonces el rango es el número o el valor 2 y si queremos visualizar esto pues bien podemos dibujarlo y sería de la siguiente forma dentro de mi dibujo tendríamos que r2 vendría haciendo este espacio de por aquí solo por por lograr visualizar y r lo podemos representar por una simple línea que nos marque los reales entonces ésta representaría r que sería la línea de puros números reales y lo que nuestra función nos está diciendo es lo siguiente es que tomamos un valor de r 2 una coordenada de r 2 y siempre caeremos en este punto de aquí en los reales que es igual a 2 entonces se vería de la siguiente forma digamos que tenemos una coordenada aquí en nuestro espacio de r2 digamos que esta sea la coordenada 3 menos 5 y que dicha coordenada va a ir a caer al valor 2 en nuestros reales y esto es lo que nuestra función g siempre hace así que mi función g su co dominio es todos los reales pero el rango es sólo el valor 2 ahora si escribo otro ejemplo digamos que tenemos lo siguiente para que se pueda ver un poquito más explicado que no siempre va a ser simplemente un valor que nosotros denominamos entonces que tenemos la siguiente función h que va a ir de rdr 2 que verde r2 y r3 aquí debemos de ser muy cuidadosos porque estamos yendo de una dimensión más pequeña a una dimensión más grande vamos de r2 y r3 entonces ahora escribir lo siguiente digamos que h de r2 bueno de nuestros valores x1 y x2 son iguales van a ser iguales a las siguientes entradas de mi coordenadas o de mi componente que forma parte de r3 que vendría siendo x1 + x2 así yo lo estoy denominando x2 menos x1 y nuestra tercera entrada de r3 sería igual al producto de x2 con x hola ahora las preguntas son cuál es mi dominio cuál es mi dominio y cuál es mi rango y bueno pues mi dominio por definición de mi función sería r 2 único dominio también por la definición de nuestra función sería r t y de hecho voy de un espacio de dos dimensiones a un espacio de tres dimensiones entonces podemos siempre asociar algún punto x1 y x2 a un punto que esté en r3 y bueno de hecho no son puntos son elementos de diferentes dimensiones y bueno ahora una truculenta pregunta interesante va a ser cuál es el rango pues podemos siempre asociar todos los puntos aunque quizás ese no sea el ejemplo más sencillo pero nos va a servir para comprender bastante bien entonces donde es mikko dominio sr3 y mi dominio es r 2 entonces siempre vamos a tener que encontrar los puntos mediante h que vayan de r2 r3 entonces mi rango como puedes ver no es como cada coordenada pero la podemos expresar de la siguiente forma entonces déjame te doy un ejemplo numérico para que veamos cómo hay elementos que sí pertenecen al rango que sí pertenecen más bien alto dominio pero no pertenecen al rango entonces digamos que tenemos h bueno voy a utilizar mi notación y ahora que estoy acostumbrada para hacértelo ver un poquito más sencillo entonces tomamos un elemento de r2 que es una coordenada en este caso sea 23 h que va de 23 a que es la regla de correspondencia que tenemos abajo como lo nombramos acá entonces sería 2 + 3 sería la primera entrada 5 luego la diferencia nos va a dar uno que sea tres menos dos es uno y nuestra última entrada es el producto de los dos números entonces tendríamos seis y aquí ya vemos que este elemento pertenece a nuestro rango nos pertenece a nuestro rango y también por ende está en el condominio sin embargo veamos que tenemos aquí la coordenada 2,3 que va a caer en un punto que digamos que estaba por acá en r3 lo voy a pintar de otro color y 516 y es un elemento de r3 pero ahora qué pasaría con lo siguiente es una pregunta que yo te quiero hacer qué pasaría si tengo un punto en r3 lo voy a representar con diferente color digamos que tenemos este punto y que sea el punto 5 1,5 punto 10 finalmente es un elemento de r3 entonces aquí mi pregunta es este punto es un elemento del rango definitivamente queda claro que es un elemento del condominio pues está en r3 entonces definitivamente estará ahí pero lo interesante es que pasa con el rango bueno pues si tomamos esta primera entrada como la suma de dos números pues es un tanto razonable que es 5 si tomáramos el 2 3 otra vez 2 a 5 la diferencia nos vuelve a dar sin embargo el producto de esos números no nos dan 0 por lo tanto no pertenece a nuestro rango no es un elemento del entonces creo que aquí se queda muy claro que podemos ver que el rango va a ser un subconjunto de todos estos puntos en r3 que cumplan con nuestras condiciones de nuestra regla de correspondencia ahora quiero introducirte a una pieza más de todas estas terminologías con respecto a las funciones viene esta función de aquí vemos que va de r2 a ere y otra función más común y yo creo que las más usadas en nuestra experiencia matemática es esta que tenemos por acá que va de los reales a los reales vemos que es como ir de un espacio unidimensional al espacio unidimensional y ella es muy conocida o es llamada como una función de valores escalares o valores reales valores y escalares o valores reales como tú quieras pensarla y hasta ahora cuáles de las funciones como la más accesible o la más entendible que hemos visto hasta ahorita bueno alrededor de tu experiencia en matemática si alguna vez has llevado algo de cálculo y podemos identificar la siguiente función de esta forma vemos que esta función va de r2 y r3 entonces esta es una función con valores con valores vectoriales aquí ya podríamos decir que es como si tuviéramos una función que va de rn donde n es mayor que 1 osea estará siendo de r2 r3 y r4 o hasta de resident entonces tú estarás tratando con una función vectorial de valores vectoriales por lo que esta función que definir por aquí h es una función de valores vectoriales bueno de cualquier forma espero que todo lo que hemos aprendido aquí de terminologías y notación de funciones te sea realmente útil