Transformaciones vectoriales

en el vídeo pasado vimos de un modo quizás más formal al que estaban acostumbrados que una función entre dos conjuntos xy es sencillamente una asociación entre los miembros del primer conjunto y los miembros del segundo conjunto así que sí por acá dibujo a nuestro conjunto x que se llama nuestro dominio y por acá dibujo al conjunto al que estoy mandando las cosas que sería nuestro co dominio en este caso el conjunto y entonces una función simplemente toma un elemento en x y lo envía lo manda a un elemento en que lo asocia con un elemento en y entonces podríamos pensar en estos dos conjuntos incluso en cosas muy abstractas por ejemplo podríamos pensar en que x es una canasta de manzanas y jason mccann astaire plátanos y entonces la función simplemente le asocia cada manzana de esta canasta un plátano de esta otra canasta y eso es una función entre la canasta de manzanas y la canal de plátanos y esto es interesante porque va un poco en contra de la noción preconcebida que tenemos de función en la que las funciones generalmente se ven algo así por ejemplo podemos decir pues f x es igual a x al cuadrado así que si ustedes me dan un número x yo le hago alguna operación o lo modificó de algún modo y les digo qué número me da pero esto es una noción muchísimo más general porque puede ir de cualquier conjunto en cualquier conjunto una función no está restringida al conjunto de números reales son números complejos o con números en general puede ser cualquier conjunto ahora esto es interesante porque podemos hablar de vectores ahora podemos hablar de los vectores nosotros sabemos que los vectores son miembros de conjuntos de hecho x pertenece a rn y así lo hemos estado viendo hasta ahora y les recuerdo brevemente les recuerdo brevemente que definimos a rn hace ya muchísimo tiempo al principio quizás de la lista de álgebra lineal como el conjunto de n hadas reales reales y que eso ni nada pues es una cosa de la forma es un especialista x 1 x 2 y así hasta x n n es simplemente una etiqueta podría ser m o s o cualquier cosa y lo que significa es que puede tomar cualquier valor que sea un número natural puede ser ese 1 entre 27 r 15 no importa lo único que pedimos es que tanto x1 como x2 como x 3 así hasta x n miembros de los números reales eso es lo que definimos por rn y al decir al decir que un vector x pertenece a rn lo único que estoy diciendo es que es alguna forma de escribir una lista de este estilo hasta ahora hemos estado considerando vectores columna que son de la forma x es igual a algo de el estilo x 1 x 2 y así hasta x n donde donde cada x1 y x2 y así hasta x m pertenecen a los números reales y ahora es interesante porque podemos tener funciones cuyo dominio sea rn y cuyo condominio sea algún rm déjenme tratar de hacer un dibujo por acá así que esto vamos a decir que es r n ese es mi dominio y vamos a tener la función que va a algún algún ere m n puede ser igual a m puede ser distinto no me importa simplemente son dos espacios vectoriales rn ok entonces a un vector x aquí en rn lo puedo asociar lo puedo asociar con algún vector digamos d d rm y esto es interesante porque ahora lo que acaba de hacer es construir una función una función cuyo dominio es rn y cuyo dominio es r m es una función entre rn y rm déjenme una nota aclaratoria acerca de la anotación cuando escribo dos conjuntos y esta flecha cuando escribo las cosas de esta forma estoy simplemente diciendo que la función va del conjunto rn al conjunto r m lo digo porque en el vídeo anterior o hace algunos vídeos introducen la anotación en la que escribí a esta función como decir f efe toma el vector o al número equis y lo envía a x al cuadrado y entonces ponía esta especie de línea vertical aquí lo único que significa cuando escribo las cosas de este modo es que lo que estoy dando es lo que se llama las reglas de correspondencia les estoy diciendo que hacerle exactamente esta equis y adónde va a dar a dónde va a dar esta x de este lado lo único que estoy diciendo es es una función entre estos dos conjuntos pero bueno regresando al punto bien entonces vimos que los vectores son miembros de conjuntos y que las funciones son simplemente asociaciones entre elementos de conjuntos así que tiene sentido que las funciones puedan operar en vectores y de hecho ya había hablado un poco de esto en alguno de los vídeos anteriores decimos que si el dow el co dominio el co dominio es un subconjunto o rm con el mayor que uno estrictamente mayor que uno entonces nuestra función es una función vectorial o vector evaluada esto es interesante porque ahora no simplemente le está asociando a alguien un valor real sino le está asociando toda una lista de valores reales una añada más bien una meada bien pues vamos a hacer un ejemplo concreto vamos a considerar la función x 1 x 2 y x 3 le asocia le asocia la pareja x 1 + 2 veces x 2 y como segunda coordenada como segunda entrada me habla de coordenadas pero supongo que entienden le vamos a asociar 3 veces x 3 esa es nuestra función como una función esto va del conjunto de r3 porque esta es una terna ordenada es una tres era la eterna ordenada en el plano esto es una pareja ordenada un par ordenado entonces esto está en r2 esto es una 12 hada normalmente decimos terna y par en vez de troceada o 12 hada pero bueno esto por supuesto también lo podría escribir en notación vectorial y en notación vectorial lo escribía así efe del vector la función aplicada al vector x 1 x 2 x 3 sería esto es un vector en r3 y sería el vector en r2 cuya primera entrada es x1 más dos veces x2 y cuya segunda entrada es 3 veces x 3 y bien vamos a ver cómo se ve esto qué pasa si le aplicó la función le aplicó f por ejemplo el vector 1 1 1 a este vector esto es tan sencillo cuanto me da la función pues es uno más dos por uno así que uno más dos por uno es tres y luego tres por equis 3 3 por 1 estrés así que me da el vector 3 3 y qué hay de por ejemplo por ejemplo el vector 24 12 41 en este caso la función me da el valor 2 más 2 por 4 2 más 2 por 4 es 2 + 8 que es 10 y 3 veces x 3 sería 3 por 1 estrés así que esto me da el vector en r 2 10 3 muy bien y como se ve eso como podemos visualizar esto en el espacio y en el plano bien déjenme tratar de hacer un dibujo de r 3 es un poco complicado y quizás me va a quedar muy feo pero el punto es usar nuestra imaginación y tratar de ver cómo se ven los vectores entonces el primer vector es el 1 1 1 si esta es mi dirección x 1 y esta es mi dirección x2 y esta es mi dirección x 3 entonces entonces el vector 111 sería uno para k 1 para acá y 1 para acá así que estaría digamos que ese punto está flotando en el espacio y entonces el vector en posición estándar se vería algo así ok ahora el segundo vector es el 24 1 así que 2 en esta dirección luego 1 2 4 así que estaría en este punto y luego subo 1 como que me salgo de ese plano y acabo por ahí entonces más o menos sería un vector que se vería así les digo no soy muy bueno dibujando pero estos dos vectores no están en este plano están como asaltados bien ahora como se ve r2 pues r2 sencillamente es algo así vamos a poner estos son mis ejes y esos son mis ejes y entonces este vector el 111 se transforma en el vector 33 digamos 123 y a 23 así que ese vector se transforma en un vector más o menos así este vector de aquí se transforma en este vector de acá o se aplica podemos decir que se aplica en este vector o que el vector asociado a este vector es el vector de aquí bien y qué pasa con el otro vector pues el otro vector se va al 10 3 así que 3 4 5 6 7 8 10 desde alto así que el otro vector el vector naranja de acá se transforma en este vector de acá este vector se convierte o se asocia con este otro vector bajo la función f viene aquí introduje una palabra interesante dije muchas veces que este vector se transformaba en este otro vector y de hecho de hecho decimos que una transformación formación y esto es palabra clave una transformación es sencillamente es un función una función que ópera se opera en vectores esa es una transformación es simplemente por ejemplo efe es una transformación solo que así como las funciones que realmente se notan por la letra f de función las transformaciones generalmente se notan con la letra t mayúscula y esto solo lo digo para que si se encuentra en esa notación en algún libro de texto no se vayan a confundir y crean que es algo raro una transformación es sencillamente una función son conceptos idénticos aquí podría cambiar todas estas veces por test y sería lo mismo de hecho podría decir que tengo una transformación t que va de r3 en r2 donde te está definida por 'the x 1 x 2 x 3 es sencillamente x 1 x 1 + 2 veces x 2 y segunda entrada 3 veces x 3 y esto sería la misma transformación estas dos funciones está efe estas son exactamente la misma incluso podría decir que por ejemplo t del vector 11 quien es pues es lo mismo que esto así que es 33 el vector 33 en r2 y quizás el origen de la palabra transformación viene de esto de que este vector se está cambiando y se está transformando en este otro vector pero bueno lo importante este vídeo lo que más me interesa que entiendan es que los vectores como son miembros de conjuntos pueden ser cosas en las que operen funciones puedo tener funciones de vectores y a esas funciones se les dice transformaciones y se anotan por la letra t espero que este ejemplo les haya ilustrado un poco el concepto en el próximo vídeo hablaré un poco de lo que son las transformaciones lineales que son realmente las transformaciones las funciones que nos interesan en el álgebra lineal así que nos vemos en el próximo vídeo