Ejemplos de la preimagen y núcleo

supongamos que tengo una transformación que va de r2 en r2 y como siempre esta transformación lo voy a expresar como el producto de una matriz por un vector todas las transformaciones lineales se pueden expresar de este modo aunque realmente no hemos probado esa 1 así que te de equis va a ser igual a la matriz 1236 multiplicada por el vector x que puedo representar como x 1 x 2 bien esa es mi transformación y lo que hace es si aquí tengo mi dominio tengo mi dominio que es r 2 en sí podría dibujar esto como transformándose en sí mismo pero creo que sería más claro si también dibujo por acá otra copia de r docs bien entonces la transformación te lo único que hace es simplemente me asocia a un elemento de r2 me asocia otro elemento en r2 no necesariamente distinto bien entonces supongamos que me fijo en el conjunto en el subconjunto sdr 2 supongamos que me fijan en su conjunto ese que está formado por el vector 0 en el re 2 el vector 0 0 y el vector 12 también en r2 ok esto es un subconjunto de r2 que lo puedo pensar como único dominio así que déjenme los pongo aquí supongamos que este puntito de aquí representa el vector 0 0 y aguas no estoy graficando realmente no esto no es una gráfica simplemente es una ilustración así que voy a decir que este es el 0 0 y voy a suponer que este es el vector 1 2 y ahora me pregunto quiénes son todos los vectores de r2 que se transforman en estos elementos quiénes son los vectores que al aplicarles la transformación llego a elementos de s en el vídeo pasado definimos eso como la prima gen de s habíamos denotado esto como de al menos 1 de s y esto lo que era es la prima gen pre imagen d ese respecto respecto y es importante decir respecto a qué transformaciones estamos tomando la pre imagen porque de otro modo no tengo no tengo forma de saber quién es el que está enviando los vectores así que bien definimos eso y dijimos que como conjunto esto era lo mismo que las x en r2 en mi dominio de dominios r2 tales que al aplicarles la transformación de tve keys pertenece a s es decir a este conjunto aquí si él transformó el vector x quiero que me dé el vector 0 o el vector 12 así que esto en realidad esto en realidad no podría escribir así los x en r2 tales que al aplicarles la transformación llego a miembros de ese pero quién es la transformación es multiplicar por esta matriz vamos a llamar esta matriz la matriz a entonces este conjunto es el mismo que los x en r2 tales que a por x es igual a el vector 0 0 a por x es igual el vector 12 y eso eso es precisamente la pre imagen la pre imagen de el conjunto s y para encontrarla tengo que resolver este par de ecuaciones bien y que me dice esta primera actuación que me hice esa ecuación de ahí pues la matriz a es la matriz 1 2 3 6 y la voy a multiplicar por un vector x 1 x 2 y eso me tiene que dar el vector 000 y quizás ustedes en cuenta quizás reconozcan esto como el espacio nulo de la matriz a de la matriz 1236 así que eso es el espacio nulo y también además de esa ecuación tengo que resolver esta ecuación porque quiero llegar a ese sí que me puede dar 0 o me puede dar el vector 12 la segunda ecuación sería la matriz de nuevo 1 236 multiplicada por el vector x 1 x 2 y eso me tiene que dar el vector 12 perfecto y vamos a resolver esto el modo más fácil es usar una matriz aumentada cómo le hacemos siempre así que quién sería mi matriz aumentada mientras aumentada sería la matriz 1 2 3 6 aumentada con esta columna 0 0 y en este caso acá quien sería mi matriz aumentada pues de nuevo sería la matriz 12 36 aumentada con la columna ahora 1 2 bien así que tengo que llevar estas matrices a su forma escalonada reducida por renglones así que vamos a hacerlas simultáneamente vamos a hacerlas simultáneamente y que nos da pues si le cambio vamos a vamos a dejar el primer renglón como esta 130 y voy a cambiar el segundo renglón por el segundo renglón menos dos veces el primer renglón y eso que me da sería 2 - 2 x 1 que sería 2 - 2 sería cero y luego seis menos dos por 36 menos 6 que es otro 00 menos dos veces cero es cero y aquí hacemos exactamente lo mismo afortunadamente solo me interesa el lado izquierdo realmente ok entonces el primer renglón se queda igual 1 3 1 y el segundo renglón se convierte en el segundo menos dos veces el primero dos menos dos veces uno es 06 - dos veces tres es cero y dos menos dos veces uno es cero y ya acabamos aquí tenemos ya la solución a nuestro sistema ahora sí se dan cuenta esta columna aquí la primera columna es una columna pivote y corresponde a x1 así que eso me dice que x1 es una variable pivote también si se dan cuenta esta segunda columna esta segunda columna esta no es una columna pivote no tiene ningún uno así que está que corresponde a la variable x2 debe ser una variable libre esta columna también así que no lo noto x2 una variable variable libre libre perfecto ok entonces yo le puedo dar cualquier valor a x2 así que vamos a decir que x2 es igual a te conté un número real bien y si hago esto si hago esto cuánto vale x 1 pues no tengo que esta primera esta primera este primer renglón me dice que x 1 + 3 veces x 2 es igual a 0 y entonces esto es lo mismo que si le restó tres veces x2 de ambos lados esto se convierte en x1 es igual a menos 3 veces x 2 pero si x2 vale t esto es lo mismo que x1 es igual a menos 3 veces y que hay de este lado pues aquí tengo que x 1 + 3 veces x 2 es igual a 1 así que restando 3 veces x 2 de ambos lados tengo que x 1 es igual a 1 menos 3 veces x 2 de nuevo x 2 ballet es así que x 1 es igual a 1 - 3 t y esto esto ya me permite escribir los conjuntos solución de un buen modo vamos a primero escribir las soluciones a esta en esta ecuación las voy a escribir como sigue las soluciones a esta ecuación son a la primera actuación los vectores x 1 x 2 que tienen la forma que tienen la forma que es un parámetro libre te pertenece a los reales así que déjenlo factor hizo de gemelo factor hizo y entonces x2 es igual a t así que este por 1 por el otro lado x 1 para la primera ecuación vale menos tres veces t así que aquí sería menos 3 esas son las soluciones a esta primera ecuación conté en los reales y que desde la segunda ecuación qué hay de esta ecuación de aquí pues son los vectores x 1 x 2 tales que son de la forma este es un poco más engañoso de nuevo voy a factorizar aquí la t x2 de nuevo aquí sería por uno que esté esta es la convención que hicimos acá arriba x 1 vale 13 t así que lo que voy a hacer es tomar aquí este menos 3 pero me falta este uno así que voy a pensar en el vector 10 más tevez es el vector menos 31 donde el nuevo t está en los reales y en un segundo voy a graficar esto para que veamos cómo se ve muy bien así que la prima gen del conjunto es la pre imagen de ese que eran estos dos vectores y aquí está formada precisamente por los vectores de esta forma y los vectores de esta forma así que vamos a graficar eso para tener una mejor idea que está sucediendo déjenme activo una gráfica ya que estoy aquí también voy a copiar este resultado no es llevar abajo muy bien baja buenos amigos damos aquí está bien vamos a ponerlo por acá y vamos a activar mi gráfica perfecto entonces si gráfico el vector menos 31 estaría graficando un vector que apunta a este punto aquí y se vería algo así ese es el vector menos 3 1 y entonces este conjunto azul este conjunto de aquí sería esta línea recta porque son todos los múltiplos escalares de ese vector naranja así que es una línea que tiene precisamente la dirección del vector naranja y del mismo modo si quisiera graficar este vector digo perdón este conjunto entonces primero me mueva el punto 1010 que es ese punto de allí y después de nuevo son múltiplos escalares de este vector naranja así que este conjunto rosado sería este aquí sería una línea paralela una línea paralela a la línea azul desplazada un poco hacia la derecha perfecto y recuerden que todo esto todo esto surgió de querer encontrar la pre imagen de ese respecto a ti es decir de querer encontrar los puntos en r2 que se transformaban ya sea el vector 0 0 que sería el conjunto azul o al vector 12 que sería el conjunto rosado así que podemos aquí hacer lo siguiente aquí tengo el vector 0 0 es ese punto de ahí y el vector 12 es este punto acá entonces todos los vectores que apunten a punto sobre la línea azul todos los vectores en la línea azul se transforman en el vector 0 0 todos los estos van a dar al vector 0 0 bajo la transformación y todos todos los vectores sobre la línea rosada van a dar al vector 12 bajo la transformación t así que eso significa la pre imagen son los vectores que van a dar a este punto al 0 0 o a este punto al 12 y de hecho estos vectores que están sobre la línea azul los que pertenecen a este conjunto que vamos a llamar l él le va a hacer esta línea azul celeste que está aquí tienen una propiedad muy especial porque esos son los vectores x tales que su transformación nos da el vector 0 es decir todos los que están sobre la línea azul todos los que están sobre esta línea se transforman en el vector 0 en el 0 0 y de hecho esto ya más o menos lo habíamos mencionado cuando dije que esto de aquí era precisamente el espacio nulo de esta matriz ahora en este caso multiplicar por esta matriz equivale a realizar nuestra transformación t así que lo que estoy diciendo son todos los vectores que se transforman en el vector 0 y esto es un conjunto muy muy importante es tan importante que tiene su propio nombre a los vectores que cumplen esta condición que su transformación sea igual a cero se les llama el núcleo el núcleo núcleo de la transformación de el núcleo de t y a veces también le llaman el vino digamos esto es lo mismo que el kernel y kernel de la transformación t en cuanto a la anotación algunas personas usan nunca dt que sería la más común porque viene el núcleo y a veces verán escrito kernel que el dt pero bueno lo que es es sencillamente el conjunto de puntos los x en el dominio de la transformación los x en el dominio de t tales que te aplicada a el vector x nos da el vector 0 eso es el núcleo en este caso como es en r2 son los x n r 2 que al aplicarles la transformación nos dan el vector 0 y como vimos si puede representar una transformación lineal por una matriz que de hecho eso siempre se puede si la transformación aplicada x es lo mismo que una matriz a por el vector x entonces el núcleo de t es igual a el espacio nulo de la matriz a y bueno espero que esto les haya resultado al menos un poco interesante