Máximos y mínimos multivariables

cuando tenemos una función de varias variables digamos una f que depende de equis y quizás muchas otras cosas verdad en realidad esta función toma varias variables de entrada y digamos que esta función tiene un solo un número de salida en verdad de algo algo muy común que solemos hacer con este tipo de bichos verdad es tratar de buscar un valor máximo para esta función es decir estaríamos tratando de maximizar nuestra función vamos a tratar de maximizar nuestra función verdad qué significa esto bueno significa hallar digamos los valores de xy quizás las otras variables de entrada para hallar todas estas de tal suerte que nuestra función f o la salida bajo f es tan grande como sea posible y esto aparece digamos en la práctica todo el tiempo verdad porque por lo general no no sólo jugamos con estas funciones de varias de varias variables solo por por hacer trucos y derivadas y demás verdad en realidad estas funciones pueden significar varias cosas por ejemplo opción que puede significar es que la función f tiene la interpretación de que sean ganancias de una empresa verdad donde las variables pues podrían ser distintas podría ser los salarios de cada trabajador quizás el número de trabajadores los costos digamos de la materia prima si estás haciendo algún producto quizás la deuda que vas a adquirir para invertir en fin puede tener muchas muchísimas interpretaciones verdad y esencialmente tenemos técnicas para encontrar es los valores máximos que puede alcanzar esta función y los veremos enlaces en los próximos vídeos verdad otra otra digamos interpretación que podemos darle a esta función y que de hecho tiene gran relevancia en los estudios de inteligencia artificial verdad es cuando asignamos una función de costo a alguna tarea que realiza la computadora la computadora entonces vamos a asignar una función de costo verdad donde por ejemplo a lo mejor le estamos queriendo enseñar a una ahora vamos a entender un audio o quizás a leer un texto entonces lo que tratamos de hacer es hallar una función que diga qué tan mal lo está haciendo cuando hace un intento entonces si diseñamos bien esta función verdad entonces lo que necesitaríamos es minimizar la función de costo verdad es decir minimizar la función de costo es decir hallar una forma de tal suerte que la computadora sepa que no lo haga tan mal verdad o que lo haga lo mejor posible así que muchas cosas en inteligencia artificial se reducen a hallar digamos una función de costo que quizás no es una tarea fácil y después tratar de aplicar técnicas que que veremos en los siguientes vídeos y dejar que la computadora trate de minimizar esa función de costo pero no sólo que que lo haga de esta forma en realidad mucha investigación se ha enfocado en lograr que estas técnicas se realicen de forma rápida y eficiente y antes que nada primero vamos a tratar de pensar que significa hallar el máximo de una de varias variables y aquí del lado izquierdo tengo una gráfica de una función de dos variables es decir tenemos una entrada en un espacio de dos dimensiones y la salida esencialmente es la altura en la gráfica de la función verdad es un número y si queremos maximizar entonces tendríamos que hallar el pico más alto en la gráfica de esta función ya que hemos hallado el pico ahora buscamos la entrada en el plano xy verdad debajo del pico es decir esto sería la entrada que maximiza la función verdad entonces como podríamos hallar esta entrada bueno la observación fundamental aquí es pensar que si tomamos un plano tangente en el pico verdad aquí aquí podemos ver el plano este plano será paralelo al plano xy y si lo hiciéramos digamos no sé quizás en otro punto digamos en algún otro lado cercano donde no hay un máximo si el plano está inclinado que es lo que nos dice esto bueno pues nos dice que si nos movemos ligeramente en la dirección de la inclinación del plano podríamos aumentar el valor de la función y si no hay digamos si no hay pendiente de este plano es una señal de que si nos movemos en alguna dirección en realidad no va a aumentar considerablemente su valor su altura verdad ahora la pregunta natural es bueno y esto qué significa en en términos de fórmulas verdad entonces aquí tendríamos que recordar cómo hallar los planos tangentes para eso te recomiendo que chequen los vídeos que ya hemos desarrollado en khan academy sobre este tema así que si pensamos en la pendiente digamos en la dirección x aquí podemos ver esa pendiente y pensamos también en la pendiente en la dirección y pues entonces ambas deben ser cero verdad ambas se tienen que anular así que lo que requerimos es que la derivada parcial de f con respecto a la variable x verdad por supuesto en el lugar en donde alcanzamos el pico más alto verdad digamos en el punto x 0 0 necesitamos que esta derivada parcial se anule verdad y lo mismo debe ocurrir para la derivada parcial de la función con respecto de i exactamente en el mismo punto x 0 y 0 esta derivada parcial también debe anularse verdad y ambas deben anularse porque si vemos de este lado verdad si imaginamos digamos que estamos caminando en la dirección de ye sobre el plano en realidad no estamos aumentando nuestro valor verdad la pendiente en este caso sería 0 es decir la derivada parcial respecto de 10 sería 0 pero si nos movemos en la dirección de x verdad entonces vemos que nuestra pendiente es negativa porque porque si disminuimos al aumentar el valor de x esto no implica que pequeños pasos sobre la gráfica hará que la altura disminuya verdad en esa dirección así que si vemos estas dos ecuaciones en realidad tenemos un sistema de ecuaciones donde buscamos hallar los valores de x cero ig-0 que satisfagan a ambas ecuaciones que cumplan ambas ecuaciones ahora solo porque se cumplen estas dos ecuaciones no implica que ya hayamos el máximo solo es un requisito pero si buscamos digamos por ejemplo en los pequeños picos que tenemos alrededor de este gran pico verdad en realidad en todos ellos su plano tangente también sería paralelo al plano xy verdad de hecho es por esto que a todos estos picos se les conoce de una forma muy particular y se les llama máximos máximos locales locales y esto qué significa bueno esencialmente son máximos pero en realidad lo estamos pensando respecto a los vecinos de este pico verdad no no lo estamos pensando con respecto al resto de la función porque respecto al toda la función en realidad sólo tenemos un máximo digamos que podríamos llamar global podríamos también tener otra circunstancia qué pasa con los puntos mínimos por ejemplo de este lado vemos un mínimo global y aquí tenemos alrededor algunos mínimos locales verdad que serían justamente como los picos pero invertidos cierto entonces lo que significa o digamos lo que implica es que si tratamos de minimizar la función esto nos dice que necesitamos cumplir este mismo requisito de las dos ecuaciones de que las dos derivadas se anulen para encontrar mínimos así que el trabajo en realidad no acaba simplemente hallando los puntos en donde las derivadas parciales se anulen sino que necesitamos considerar más criterios para poder verificar si son máximos o si son mínimos locales verdad entonces esto que tenemos aquí de forma simplificada se puede expresar de la siguiente forma nosotros sabemos que el gradiente de la función el gradiente de la función es un vector que recopila toda la información de las derivadas parciales verdad por ejemplo tenemos la derivada parcial respecto de x la derivada parcial la derivada parcial de f con respecto de ye y quizás así tenemos más variables pues tenemos más derivadas parciales cierto entonces este es el vector gradiente y nosotros podríamos decir que esto de acá arriba es igual al vector cero verdad es igual al vector que tiene puras componentes cero muy bien es es la misma forma de decir esto verdad pero con una anotación en vectores y de hecho una forma más compacta es considerar a este vector de digamos donde todos sus componentes son 0 como el vector 0 ya algunas personas lo denotan como un un cero en negrita cierto entonces esencialmente de forma de digamos de forma compacta buscamos x 0 y 0 de tal suerte que el gradiente de la función en ese punto igual a 0 muy bien al vector 0 y en realidad hacemos esto para ocupar menos espacio en la práctica pues de todos modos tenemos que calcular las derivadas parciales igualar las a 0 y tratar de resolver el sistema de ecuaciones pero la idea detrás de todo esto es que el plano tangente es paralelo al plano xy y ya vimos que en realidad no basta con esto para determinar si el máximo mínimo verdad puede que sea cualquiera de los dos pero además en cálculo tenemos otra posibilidad es digamos puede ser un lugar en donde el plano sea paralelo al plano x pero que en realidad no se vea ni como un máximo ni tampoco como un mínimo local ya ese tipo de puntos los conocemos como punto silla pero bueno de estos puntos ya hablaremos en el próximo vídeo