Criterio de la segunda derivada parcial

en el último vídeo nos fijamos en esta función que es la función f x igual a x elevado a la cuarta menos 4x cuadrada más cuadrada y que tiene como gráfica a la que tenemos justamente del lado izquierdo y buscamos los puntos en donde el gradiente de la función se anulara es decir fuera igual al vector 0 y hallamos que había en realidad tres puntos distintos verdad aquí estaban estos tres puntos distintos y que es el 0 0 el raíz de 20 y menos raíz de 20 que corresponde por supuesto al punto silla y estos dos a unos mínimos locales y parecía que teníamos una explicación muy simple de esta verdad porque tomábamos las segundas derivadas parciales aquí está la segunda derivada parcial con respecto a x ambas veces verdad y esto resulta va a ser negativo cuando x será igual a 0 verdad que era justo cuando estábamos en el origen y entonces decíamos que se ve como un máximo y también tomábamos la segunda derivada parcial respecto de ambas veces también evaluando en 0 aquí en realidad no importa da verdad siempre era positivo y bueno concluyamos al menos de forma intuitiva que podía ser un punto silla e hicimos un análisis similar con los otros puntos y vimos que eran que eran mínimos verdad pero al final del vídeo anterior dije que en realidad no bastaba con hacer este tipo de análisis sino que faltaba analizar qué era lo que ocurría con la segunda derivada parcial de la función con respecto de xy con respecto de ella es decir las derivadas cruzadas y para ver esto vamos a tomar otro ejemplo que aquí tenemos otro ejemplo entonces podemos ver fácilmente que en este nuevo ejemplo hay un punto sigue en el origen muy bien entonces vamos a escribir primero la función que representa a esta gráfica vamos a quitar esto por ahora entonces vamos a escribir a esta función esta función es f de x y esto será x cuadrada más que cuadrada más 4x y muy bien esta será la función que vamos a estar trabajando por ahora verdad y vamos a verificar que tiene en efecto un punto silla en el origen y primero vamos a verificar que el plano tangente a la gráfica de la función en el origen verdad evaluando en x igual a cero es justamente paralelo al plano xy así que vamos a tomar la derivada parcial de f con respecto de x esto por supuesto es derivando esto con respecto de x nos da 2x esta derivada de cuadra de 0 y luego tenemos que derivar esto con respecto de xy nos da más 4 y ahora derivamos la función con respecto de iu y ahora tendremos 2 + 4 x cierto entonces estas son las derivadas parciales y nosotros queremos evaluar todo esto en el punto x igual a 0 0 para ver que en efecto tenemos un plano que tangente al 0 0 verdad pero que es paralelo al plano x entonces si nosotros sustituimos con x igual a 0 igual a 0 podemos ver que esta expresión se anula si evaluamos en x igual a 0 aquí también se anula verdad entonces concluimos que el plano tangente a la gráfica en el origen verdad es paralela es paralelo perdón al plano muy bien entonces si nosotros hiciéramos un argumento como en el vídeo anterior podríamos tratar de calcular la segunda derivada de nuestra función con respecto de x ambas veces y podemos ver que aquí lo único que hay que derivar es esto verdad entonces derivando esto con respecto de x nos da justamente 2 y la segunda derivada de nuestra función con respecto de g ambas veces también es simplemente 2 verdad derivando este término entonces si nosotros sólo nos quedáramos con este análisis esto sugeriría que al tener una concavidad hacia arriba digamos en la dirección x y también en la dirección y entonces más o menos en ambas direcciones se vería algo de este estilo verdad es decir tendríamos una especie de mínimo local pero al ver la gráfica de la función podemos concluir que no en realidad éste no puede ser un mínimo y en realidad es un punto si la verdad y todo todo esto sale justamente de este término que tiene un producto cruzado muy bien entonces para este vídeo vamos a empezar a hacer un análisis un poquito más extenso verdad vamos a quitar este número cuatro a quitar el número 4 y ahora vamos a poner una p una p que en principio puede ser una constante pero que además digamos vamos a correr la en valores distintos para 0 1 2 3 hasta 4 muy bien p puede tomar cualquier valor entre 0 y 4 pero es una especie de constante y vamos a poner su valor digamos en p igual a 0 por ahora así que en este caso del lado izquierdo podemos ver que tenemos algo que era como como lo esperado verdad era justamente un mínimo incluso por ejemplo si podemos seguir aumentando el valor de t podemos llevarlo hasta aproximadamente algo como 1.5 y vemos que tenemos todavía un mínimo local verdad pero lo que algo muy interesante es que tenemos un valor crítico que al pasar por ese valor verdad ahora se va a tener un punto silla y en realidad a partir de este valor siempre será un punto silla y ese valor crítico en donde tenemos el cambio de la geometría de nuestra gráfica ocurre justamente cuando el valor de p es igual a 2 y ya lo veremos más adelante de por qué tiene que ser igual a 2 así que por ahora te mostraré cuál es el criterio para determinar esto y ya en otro vídeo haremos el análisis de por qué funciona así que vamos arriba vamos hacia arriba y ahora vamos a empezar a trabajar con lo que conocemos como el criterio de la segunda derivada la segunda segunda derivada derivada muy bien y en qué consiste este criterio bueno esencialmente siempre buscamos un punto digamos x0 y es 0 tal que el gradiente evaluado en ese punto se anule verdad es justamente como empezamos el vídeo anterior y vamos a considerar la siguiente expresión vamos a considerar la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces evaluada en ese punto x la segunda derivada del df perdón con respecto a de y ambas veces también evaluada en ese punto verdad y ahora vamos a restar otro término que va a ser la derivada cruzada de bueno la segunda derivada cruzada verdad de f con respecto de xy luego respecto de iu o en realidad da lo mismo si primero derivamos respecto de yale luego de x verdad típicamente pero este término lo vamos a considerar al cuadrado muy bien entonces y digamos es el número que vamos a evaluar y es el que nos va a dar la información necesaria para hacer el análisis de los puntos verdad entonces vamos a decir que este número se llama h muy bien y vamos a tener varios casos tenemos el caso en que h sea un número positivo en este caso cuando la h es un número positivo podemos decir que el punto va a ser un máximo o puede ser un mínimo y en esencia la forma de determinar si va a ser un máximo o un mínimo es fijándonos en el tipo de concavidad que exhibe por ejemplo si tuviéramos algo así una concavidad hacia arriba es decir que la no sé por ejemplo en este caso podríamos pensar que la segunda derivada parcial de f con respecto de x ambas veces fuera positivo verdad entonces en este caso tendríamos un mínimo verdad entonces bastaría analizar con alguno de los de las segundas derivadas para entender si va a ser un máximo y tenemos otro caso en el digamos que es cuando el valor de h es negativo y en este caso no se da ni mi máximo ni mínimo sino será un punto silla verdad y como siempre pues tenemos un caso posible en donde h pueda valer 0 verdad y desafortunadamente en este caso el criterio de la segunda derivada no nos dice absolutamente nada sobre sobre el tipo de punto del que estamos hablando muy bien entonces veamos qué pasa con la función con la que empezamos verdad digamos nosotros tomamos esta función efe x cuadrada massieu cuadrada + px o bueno p por equis porque más bien entonces vamos a considerar esta nueva función tomando p como si fuera una constante cualquiera verdad entonces nosotros ya hemos calculado la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces por supuesto aquí modificando el 4 verdad en vez de 4 vamos a tener 1 pasar acá así que de una vez vamos a ponerlo en vez de tener cuatro vamos a poner un p verdad y al derivar esto respecto de x otra vez obtendremos el mismo resultado y lo mismo si derivamos respecto de y muy bien entonces en este caso tenemos que la segunda derivada de f respecto de x y también respecto de ambas veces es 2 verdad entonces este número h que es el que queremos calcular aquí sería 2 x otro 2 pero necesitamos calcular la segunda derivada cruzada verdad que en este caso quien tendría que ser por ejemplo si derivamos ahora esta expresión con respecto de y vemos que simplemente nos quedaría de verdad y que sería lo mismo si está de acá abajo derivamos con respecto de x entonces esta parte de aquí esta parte de aquí vale p pero está elevado al cuadrado verdad entonces esta es nuestra expresión h para este caso entonces pensemos por ejemplo qué pasaría si p fuera igual a cero si pe fuera igual a cero entonces cuánto vale h bueno pues sería 2 por 2 que es 4 entonces h sería igual a 4 que de hecho es un número positivo verdad entonces podríamos tener un máximo un mínimo sin embargo recordemos que la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces es 2 tenemos una concavidad hacia arriba es decir se ve más o menos como de esta forma parabólica verdad quiere decir que este punto tendría que ser un mínimo muy bien ahora qué pasaría si tomamos el valor de p igual a 4 bueno en este caso tendríamos 2 por 2 que es 4 menos 4 al cuadrado que es 16 y 4 menos 16 2 - 2 entonces tendríamos aquí igual a menos 2 en este caso entonces tendríamos que el valor de h es negativo y tenemos un punto silla ahora podríamos pensar ese valor en donde está el cambio entre tomar un valor h positivo y un valor de h negativo entonces pensamos cuando 2 x 2 - p al cuadrado nos da 0 que es el valor de h y podemos ver que para p igual a 2 justo tenemos que h es igual a 0 verdad entonces cuando p es igual a 2 el criterio de la segunda derivada no basta para decirnos qué tipo de punto es de hecho en este caso podemos observar verdad aquí tenemos la gráfica de esta función para el caso en el que p es igual a 2 verdad y podemos ver que es completamente plana en una dirección así que por ahora sólo digamos quise enfatizar cómo es el criterio verdad tomamos un un punto tal que el gradiente de la función se anule verdad este sería como el equivalente a que la primera derivada de la función de una variable se anule y luego consideramos este valor h verdad que es la segunda derivada de f respecto de x ambas veces por la segunda derivada de f con respecto de i ambas veces menos la derivada cruzada la segunda derivada cruzada elevado al cuadrado y todo esto va evaluado en el punto que nos interesa si s es positivo tendremos un máximo un mínimo que podrá determinarse a partir de la concavidad dada por la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces h será negativo cuando tengamos un punto silla verdad y en el próximo vídeo trataré de obtener una mejor intuición de dónde salió toda esta fórmula y por qué ver el signo de este número h es razonable para determinar el tipo de punto que tenemos en el próximo vídeo