Ejemplo del criterio de la segunda derivada parcial (parte 2)

en el vídeo anterior nos dieron una función de varias variables efe y nos pedían que encontráramos y clasificamos todos los puntos críticos de esta función verdad entonces recordemos que un punto crítico es justamente donde el gradiente de nuestra función se anula es decir es el vector cero verdad y nosotros en realidad hallamos cuatro puntos críticos y aquí están los cuatro puntos críticos el 0 0 0 - 2 raíz de 3 1 y menos raíz de 3,1 ahora el siguiente paso es clasificarlos y para eso requerimos el criterio de la segunda derivada así que voy a copiar y pegar las derivadas las primeras derivadas que son estas a copiar y pegar las abajo para poder tener espacio y trabajar muy bien entonces vamos a copiar estás derivadas muy bien entonces de hecho no necesitamos esta simplificación solo vamos a dejarlo así para que tengamos un buen espacio para trabajar muy bien entonces lo que necesitamos para aplicar el criterio de la segunda derivada es justamente calcular todas las derivadas de segundo orden entonces empecemos primero con la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces entonces tenemos que derivar esta expresión con respecto de x y aquí ya es una constante verdad entonces tendremos 6 porque por la derivada de x respecto de x que es 1 - la derivada de 6x que es 6 bien ahí tenemos nuestra primera derivada ahora derivamos dos veces a efe con respecto a y verdad ambas veces entonces sería derivar esta expresión con respecto de esto es una constante entonces al derivar es cero verdad es una constante para fines de derivar con respecto de y si derivamos esto con respecto de james nos da menos seis por ye verdad y luego al derivar esto de aquí es menos 6 menos 6 y finalmente tenemos que calcular la derivada parcial mixta verdad primero respecto de x y luego respecto de g y por supuesto que en realidad puede ser primero respecto de yale luego respecto de x aquí en realidad tenemos puros polinomios es algo que se puede hacer pero vamos a derivar ahora esta expresión con respecto de y muy bien entonces aquí es la variable 6x es una constante entonces al derivar esto simplemente nos da x y esto es una constante para fines de derivar respecto de iu y al derivar lo nos da 0 entonces estas tres son las derivadas parciales de segundo orden así que vamos ahora a borrar esto y pongamos la expresión necesaria que tenemos que analizar para utilizar el criterio de la segunda derivada verdad recordemos que necesitamos calcular la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces multiplicarlo por la segunda derivada de f con respecto de ambas veces y luego restarle el cuadrado de la segunda derivada de f pero la la derivada mixta cierto esta es la expresión que necesitamos así que vamos a ver cuánto vale esto en cada uno de nuestros puntos críticos entonces digamos para el punto cero cero necesitamos evaluar esto cuando es igual a cero verdad entonces tendremos 6 por 0 es 0 menos 6 es menos 6 ahora esto evaluado en 0 sería menos 6 por 0 0 menos 6 es otra vez menos 6 y luego restamos esto evaluado en x igual a 0 al cuadrado pero por supuesto que esto es 0 al cuadrado entonces esto es menos 6 x menos 6 que son 36 que de hecho es un valor positivo pero bueno luego hacemos el análisis de cada uno de los puntos críticos que hay entonces ahora vamos a hacerlo en cero coma menos 2 entonces aquí sería 6 x menos dos menos 6 6 por menos 2 es menos 12 menos 6 nos da menos 18 menos 18 muy bien ahora aquí sería menos 6 x menos 2 verdad aquí serían menos serían más 12 menos 6 serían menos sería 12 menos 6 es 6 verdad y luego restamos 0 al cuadrado otra vez porque x es cero entonces tenemos menos 18 por 6 es menos 6 por 8 son 48 llevamos 46 por 1 son 6 y 4 son 10 son menos 108 en realidad el valor no importa porque lo que importa es que es negativo muy bien ahora hagamos con este siguiente punto crítico que es raíz de 3,1 muy bien entonces vamos a borrar esta parte y ahora vamos a analizarlo con raíz de 3 31 y entonces tendríamos 6 por el valor de que sería uno menos 6 entonces tendríamos 6 x menos 6 es 0 verdad ahora bien si lo hacemos aquí abajo vamos a borrar esta parte para no confundirnos verdad entonces si nosotros ahora evaluamos con ye igual aún no tendríamos menos 6 por 1 menos 6 y esto nos da menos 12 verdad esto es 0 x menos 2 en realidad no importa que era esto vamos a multiplicar por 0 y nos dará 0 entonces lo único que nos falta es restar las derivadas parciales mixtas verdad entonces aquí sería 6 x raíz de 3 porque x es raíz de 3 entonces esto sería 6 x raíz de 3 elevado al cuadrado verdad entonces esto sería 0 y tendríamos que restar 36 por 3 verdad 36 por 3 son 108 108 en realidad no importa verdad otra vez lo que va a importar es que sea negativo y ahora qué pasaría si tenemos menos raíz de 3 con 1 verdad entonces otra vez aquí tendríamos 6 por 16 que sería 0 verdad aquí tendríamos menos 6 por 1 menos 6 que en realidad sería menos 12 otra vez y tendríamos menos 6 más bien sería menos raíz bueno tendremos que sustituir con x igual a menos raíz de 3 verdad entonces aquí sería menos 6 raíz de 3 y no importa en realidad porque vamos a elevar al cuadrado y esto será exactamente igual a menos 108 verdad que son 36 por 3 ok entonces si nos damos cuenta ahora lo que tenemos que hacer es analizar qué es lo que nos dice el criterio de la segunda derivada verdad nos dice que si esta expresión es mayor que 0 entonces vamos a tener un máximo vamos a tener un mínimo y si esto es menor que cero entonces vamos a tener un punto silla puntos y allá entonces de esto podemos observar que sólo este este punto crítico es un punto máximo o mínimo verdad y de hecho podríamos saber si es un máximo mínimo porque la segunda derivada de f con respecto de x cuando evaluamos en el punto crítico que 0 0 verdad en realidad es menos 6 eres traer a este es el valor de la segunda derivada respecto de x y eso es negativo quiere decir que la concavidad es hacia abajo verdad y entonces tendríamos un punto máximo verdad entonces la concavidad se ve más o menos así y entonces aquí tendríamos un máximo ahora bien en todos estos en estos tres restantes tendremos valores negativos lo cual nos dice que tenemos puntos si la verdad es decir ni son máximos ni son mínimos hay una dirección en donde se pueden ver como máximos otra donde se ven como mínimos así que la respuesta a la pregunta original verdad en donde nos pedían que encontráramos y clasificáramos todos los puntos críticos de esta función pues nosotros sabemos que hay cuatro puntos críticos son estos cuatro y sólo uno de ellos es un máximo local verdad es un máximo local el punto cero cero y eso es lo que podemos decir incluso sin tener la gráfica de la función como referencia bueno nos vemos en el próximo vídeo