Derivación de la fórmula para la frecuencia de pulso

saludos en este vídeo vamos a deducir esta fórmula que es la fórmula de la frecuencia de pulsación recordemos que la forma de encontrar los pulsos o la frecuencia de pulsación es superponer dos ondas que tienen frecuencias diferentes con esto encontramos los pulsos y no me refiero a los pulsos cardiacos estos son un poco menos emocionantes sino que es una onda de sonido que pasa de escucharse fuerte es decir cuando tiene interferencia constructiva a escucharse suave cuando tiene interferencia destructiva y de nuevo pasa a escucharse fuerte cuando la interferencia vuelve a ser constructiva el número de veces por segundo que ocurre esto es la frecuencia de pulsación el número de oscilaciones por segundo es la frecuencia de pulsación y la forma de calcular esto es encontrar la diferencia de las frecuencias individuales de las ondas de sonido que se superponen pero porque es ésta la fórmula porque no es más complicada esto es justamente lo que responderemos en este vídeo la forma en que lo haremos es encontrar primero el periodo de pulsación de esta onda si la frecuencia de pulsación es el número de oscilaciones por segundo entonces el periodo de pulsación es el número de segundos por oscilación en otras palabras que tanto tiempo le toma a este proceso pasar de ser constructivo a volver a ser constructivo porque si encontramos esto el periodo de pulsación encontraremos la frecuencia pues sabemos que la frecuencia es el inverso del periodo si encontramos el periodo dividimos uno entre este valor y tendremos la frecuencia de pulsación como encontramos el periodo de pulsación lo encontramos al observar que este período de pulsación es el tiempo que le toma a estas ondas desplazarse de tal forma que sus picos o crestas se superpongan en un momento y luego se vuelvan a superponer en un momento posterior vamos a quitar esto y a ver las ondas individualmente suponiendo que ambas ondas comienzan en fase y con interferencia constructiva queremos saber cuánto tiempo pasa hasta que su interferencia vuelva a ser constructiva nos interesa este tiempo vamos a encontrar esto detectando cuando estas ondas están en fase y cada vez que la onda roja un periodo estar a esta distancia adelante de la onda azul con esto me refiero a que la cresta roja ocurre esta fracción de tiempo después de que ocurre la cresta azul estas crestas están fuera de fase esta cantidad y cuál es esta cantidad pues es la diferencia entre los periodos de estas dos ondas es la diferencia del periodo de la onda roja que llamaremos la onda 1 y la onda azul que llamaremos onda 2 de esta forma no tendremos números negativos porque el periodo de la onda 1 es más largo que el periodo de la onda 2 esta diferencia es que tan fuera de fase en el tiempo se encuentran las crestas de estas dos ondas si esperamos un ciclo estarán desfasadas exactamente esta cantidad de tiempo si esperamos dos ciclos el desfase de tiempo será el doble de esta cantidad si esperamos tres ciclos estarán desfasadas tres veces esta cantidad en que nos ayuda a esto pues si queremos saber qué tan separadas están estas crestas en cualquier momento del tiempo vamos a tomar esta diferencia del periodo y la multiplicamos por el número de ciclos que ha recorrido onda roja si la onda roja recorrió tres ciclos sustituyo tres acá y el triple de esta diferencia nos dará la separación en el tiempo que tienen estas crestas lo escribimos que están separadas en el tiempo están las crestas las crestas inician estando juntas después del primer ciclo están separadas esta cantidad después de dos ciclos están separadas esta otra cantidad y después de tres ciclos están separadas esta cantidad después de cuatro ciclos es esta cantidad y después de cinco ciclos es esta cantidad ahora las crestas están separándose en fase tanto que la siguiente que está roja se superpone con la siguiente cresta azul es decir que la onda azul ha avanzado lo suficiente en el tiempo durante estos ciclos como para que su siguiente cresta se superponga con esta cresta roja es en este momento cuando vuelve a ocurrir una interferencia constructiva esta es la condición para volver a tener una interferencia constructiva que la onda roja esté tan desfasada como para completar todo un periodo de la onda azul de manera que se vuelve a superponer con la cresta de la onda azul si queremos conocer el tiempo que pasa entre una interferencia constructiva y la siguiente interferencia constructiva será cuando haya pasado el tiempo necesario para recorrer la distancia que separa estas dos crestas es decir cuando sea igual a todo un período de la segunda onda cuando esto se cumple entonces sabemos que ha pasado el tiempo suficiente para que ambas ondas tengan de nuevo interferencia constructiva ya que la onda azul ha adelantado lo suficiente como para coincidir de nuevo con la cresta de la onda roja pero quizá a ustedes les llame la atención que en esta expresión no está la variable tiempo como pueden encontrar el tiempo cuando aquí no hay ninguna referencia al tiempo aquí solamente hay esta constante estate azul o t2 es una constante determinada por el periodo de la onda azul lo mismo ocurre con té roja como podemos encontrar el tiempo aquí el número de ciclos que ha recorrido la onda roja no es necesariamente un número entero en este ejemplo la onda roja recorre exactamente dos tres cuatro cinco y seis ciclos de la onda azul antes de volver a estar en fase con esta onda pero esto no siempre sucede esto lo hice a propósito para que se apreciará con claridad cuando las ondas se vuelven a alinear pero quizá esto no es un número entero quizá esto ocurre después de 4.2 ciclos o 3.1 ciclos sería bueno tener una forma general de escribir la cantidad de ciclos recorridos por la onda roja y si la hay el número de ciclos recorridos por la onda roja es igual al tiempo que esperamos dividido entre el periodo de la onda roja que llamamos periodo 1 esto tiene sentido porque si esperamos un ciclo completo 1 entonces 1 entre un periodo es igual a un ciclo completo de la onda roja si pasaron dos periodos aquí tendremos dos por t 1 entre t 1 las t 1 se cancelan y nos quedan dos ciclos con esto podemos escribir el número de ciclos que ha recorrido la onda roja como una función del tiempo que haya sido necesario para que esto ocurra ahora podemos poner el tiempo cuando no tenga un número entero de ciclos podemos poner cuántos ciclos ha recorrido la onda roja a los 4.3 segundos los 4.3 segundos los dividimos entre el periodo de la onda roja que es el tiempo que tarda en recorrer un ciclo completo y nos da como resultado el número de ciclos recorridos por la onda roja vamos a reemplazar esta n r con esta otra expresión la copiamos la pegamos y reescribimos n r como el tiempo de espera entre el periodo de la onda roja ahora solo tenemos que despejar la t minúscula para saber el tiempo que le tomó a estas dos ondas desfasarse durante un periodo completo de la segunda onda lo que es la condición para que ambas ondas pasen de una interferencia constructiva a otra interferencia constructiva que es lo que estamos buscando el periodo de pulsación si despejamos de minúscula el tiempo necesario para que los picos de estas dos ondas vuelvan a estar en fase va a ser igual multiplicamos ambos lados por t 1 y nos queda t minúscula igual a tf1 por t 2 / este término en paréntesis de 1 menos de 2 este es el período de pulsación porque cumple con la condición de que estarán separadas un periodo completo de la onda 2 y si comenzaron en fase terminarán en fase después de este tiempo que es el tiempo entre puntos de interferencia constructiva este es el período de pulsación lo copiamos aquí es el periodo de pulsación entre ambas ondas pero recordemos que no buscamos el periodo de pulsación sino la frecuencia de pulsación es decir deducir esta fórmula vamos a hacer un poco de espacio para encontrar la frecuencia dividimos uno entre el periodo uno entre el periodo de pulsación es igual a uno entre el lado derecho lo que da la diferencia entre los periodos dividida entre el producto de los periodos simplemente invertimos el lado derecho y ahora desarrollamos este término de uno entre t 1 por t 2 menos de 2 entre t 1 por t 2 y ahora ocurre algo mágico se cancelan las t 1 de aquí y se cancelan las t 2 de acá por lo que nos queda que el inverso del periodo de pulsación al inverso del periodo de la onda 2 - el inverso del periodo de la onda 1 a que es igual el inverso del periodo de pulsación pues es la frecuencia de pulsación ya que es igual el inverso del periodo de la onda 2 adivinaron es la frecuencia de la onda 2a que es igual el universo del periodo de la onda 1 pues a la frecuencia de la onda 1 y ya tenemos la fórmula de la frecuencia de pulsación que es la fórmula que queríamos encontrar por lo que ya dijimos lo que queríamos la razón es porque tuvimos que esperar exactamente este tiempo del periodo de pulsación para que las crestas de las ondas estuvieran de nuevo en fase tenemos que esperar que las ondas se desfasen un periodo completo de la segunda onda para volver a estar en fase y ustedes me pueden decir que hace falta el valor absoluto aquí aunque el inicio del vídeo tuvimos el cuidado de poner la onda con el periodo más largo y restarle la onda con el periodo más pequeño para así asegurarnos de que el resultado fuera un número positivo pero ponemos los valores absolutos en caso de que no sepamos cuál onda tiene el periodo más largo y cuál es el periodo más pequeño de esta manera determinamos la frecuencia pulsación y ahora ya sabemos por qué esta fórmula es así nos vemos en el siguiente vídeo