Ondas estacionarias en cuerdas

si tienen un medio y lo perturban crean una onda en un medio que no tiene límites es decir el medio es tan grande que básicamente esta onda nunca llega a los límites cuando esto pasa nada nos puede detener para crear una onda de cualquier longitud de onda o frecuencia que se nos ocurra en otras palabras no hay una longitud de onda natural preferida todas las longitudes de onda son igual de buenas entre sí sin embargo si combinamos esta onda en un medio que tiene límites esta onda se va a reflejar cuando llegue al límite lo que quiere decir que se va a superponer oa traslapar en sí misma y cuando esto sucede creamos algo llamado ondas estacionarias y en un minuto explicaremos qué significan las ondas estacionarias nos interesan porque cuando ocurren eligen longitudes de onda preferidas y frecuencias solo longitudes de onda y frecuencias van a configurar estas ondas estacionarias lares y lo que ocurre con frecuencia es que éstas se vuelven dominantes y es por eso que es importante estudiar estas ondas estacionarias y para estudiarlas vamos a tomar un ejemplo en particular digamos que tienen una cuerda y van a clavar ambos extremos de esta cuerda de manera que no ocurra movimiento alguno en los extremos de esta cuerda esta cuerda se puede mover en el medio pero no se puede mover en los extremos y esto no es muy extraño las cuerdas de una guitarra están sujetas en los extremos lo mismo que las cuerdas en un piano así que la física detrás de las ondas estacionarias determinan el tipo de nota que vamos a obtener en estos instrumentos por cierto en estos extremos lo que estamos haciendo es evitar que haya movimiento aquí no hay movimiento es lo que sucede cuando lo clavamos en este extremo no va a haber movimiento alguno y tampoco habrá movimiento en este otro extremo en lugar de llamar a estos puntos puntos donde no hay movimiento a los físicos se les ocurrió un nombre en particular llaman a estos puntos nodos así que no do es una palabra sofisticada para indicar que en este punto no hay movimiento así que para esta cuerda tendremos nodos en cada extremo y veremos que cuando tenemos una onda estacionaria es posible tener nodos en el medio de la cuerda pero no tiene por qué ser así pero en esta cuerda nos vamos a asegurar de que no haya movimiento en los extremos es decir que haya un nodo en cada extremo de ella y por qué y cómo es que ocurre en las ondas estacionarias digamos que le damos un pequeño tirón a la cuerda en este extremo y debido a la perturbación ésta se va a estar moviendo a través de esta línea ya que es lo que hacen las perturbaciones va a llegar aquí y una vez que alcanza el límite se va a reflejar hacia la izquierda y resulta que cuando una perturbación llega a un límite que está fijo es decir cuando llega a un nodo se va a invertir quizá esto ya lo hayan visto en las mangueras mandan un pulso sobre la línea y quieren ver cómo se refleja se va a reflejar de cabeza no importa mucho para nuestros propósitos pero cada vez que se refleja un pulso cambiará su dirección y va a rebotar ahora digamos que en lugar de enviar un solo pulso enviamos varios pulsos consecutivos enviamos una onda de movimiento armónico simple y ahora cuando esto se refleje se va a reflejar sobre sí misma ya que este frente de onda se va a reflejar invertido hacia esta dirección y se va a encontrar con el resto de la onda que viene detrás suyo y se va a superponer en esta o atrás la pared está creando una onda total que estará compuesta por la onda que viaja hacia la derecha más onda que viaja hacia la izquierda y pueden usar interferencia y superposición para calcular cuál será la onda total y para la mayor parte de las longitudes de onda esto va a ser un desastre pueden enviar cualquier longitud de onda que quieran y cuando se refleje sobre sí misma la onda total que obtendremos podría no ser algo especial podemos tener algo raro aquí nada realmente interesante sin embargo habrá longitudes de onda particulares que provoquen ondas estacionarias y se las voy a mostrar en un momento como encontramos estas longitudes de onda particulares pues simplemente nos preguntamos cuáles longitudes de onda puedo dibujar en esta cuerda para que exista un nodo en cada extremo quien longitud de onda podría caber en esta región y que tenga un nodo en cada extremo así que en lugar de sumar complicadas podemos encontrar estas longitudes de onda especiales simplemente dibujando las y ver cuáles caben vamos a hacerlo quitemos todo esto en longitudes de onda caben aquí pues sabemos cómo luce una onda armónica simple se ve así y le pregunta que debemos hacernos es que si comenzamos en el punto cero ya que quiero asegurarme de tener un nodo en el extremo izquierdo como se verá la forma de esta gráfica de manera que tenga otro nodo a la derecha también una posibilidad es vean aquí inicio en un nodo cuál es el siguiente nodo que me encuentro pues me encuentro un nodo cuando tengo esta forma así que una posibilidad que será la posibilidad más larga y más grande será una onda que luzca así algo así como una cuerda para saltar la primera onda estacionaria que podemos configurar en esta cuerda es y es tan especial que le llamamos la longitud de onda fundamental esta es la principal ya que domina a todas las otras longitudes de onda que vamos a ver y aunque hay otras ondas estacionarias que podemos configurar aquí esta es la principal si dejamos que esta cuerda vibre como quiera esta va a elegir la longitud de onda fundamental y que veremos pues la onda no se va a mantener suspendida en el aire como aquí se va a estar moviendo y a estas les llamamos ondas estacionarias porque este pico no va a aparecer que se esté moviendo hacia la derecha o hacia la izquierda este pico se va a estar moviendo arriba y abajo por eso muchas veces cuando dibujamos estas ondas estacionarias dibujamos una línea punteada por abajo que es un reflejo de la línea completa ya que lo único que van a hacer estos picos es ir de arriba a abajo luego de abajo arriba y así sucesivamente y solo van a oscilar casi como una cuerda de saltar solo que no van a estar dando vueltas se van a mover de arriba a abajo y que ya no tengan esta forma quizás se vean más planetas como esta de aquí y luego llegue así y luego suban y así siga yendo de arriba hacia abajo y quizá más que estacionarias serían ondas bailarinas pero las llamamos ondas estacionarias porque estos picos no se mueven ni a la derecha ni a la izquierda así que esta es la longitud de onda fundamental cuál es la que sigue bueno sabemos que tenemos que ir de un nodo al siguiente así que aquí partimos de un nodo nos encontramos con el siguiente nodo continuamos y nos encontramos con otro nodo y esta es la siguiente onda estacionaria posible ya que tiene que caber aquí cómo se vería iría hacia arriba luego hacia abajo y de nuevo hacia arriba encontrándose con el nodo en el otro extremo esta es la segunda onda estacionaria a veces también llamada segunda armónica segunda porque es la segunda posibilidad y es armónica porque éstas son resonancias las cuáles se usan mucho cuando hablamos de instrumentos musicales cómo se verá la tercera armónica veamos comenzamos en un nodo llegamos a este y esta es la onda estacionaria fundamental después llegamos a la segunda armónica y la que sigue será la tercera armónica así que ésta va hacia arriba luego baja luego vuelve a subir y finalmente vuelve a bajar hasta el otro nodo esta es la tercera armónica y pueden continuar de esta manera aquí pueden encontrar una cantidad infinita de armónicas pero vamos a analizar qué es lo que sucede aquí arriba que es lo que pasa en estas ondas estacionarias vean que vamos a tener puntos como en esta tercera armónica en la que voy a dibujar su reflejo es así como se vería después de cierto tiempo de hecho se vería así a la mitad del periodo de la onda con la línea completa así que este pico se va a mover aquí abajo este valle se mueve hacia pico este pico se mueve aquí abajo y van a estar oscilando de arriba hacia abajo pero vean que este punto de aquí se queda quieto no se mueve para nada por lo que es un nodo lo mismo ocurre en este otro punto estos puntos ocurren porque cuando la onda rebota recuerden que esta onda está viajando en la cuerda hacia la derecha y va a rebotar hacia la izquierda y en estos dos puntos de aquí tendremos interferencia destructiva entre estas dos ondas de forma similar en estos puntos en donde tenemos el máximo desplazamiento las dos ondas se alinean de tal manera que tienen una interferencia constructiva por lo que los nodos es donde tenemos interferencia destructiva en donde estas ondas se cancelan lo cual tiene sentido porque nada está ocurriendo aquí un día que no hay movimiento y en estos puntos de máximo desplazamiento son los puntos constructivos a los cuales deberíamos darles un nombre como creen que se deben de llamar sí dijeron anti nodos están en lo correcto a estos se les llama anti nodos ya que es aquí en donde hay el mayor movimiento y muchas veces ustedes tienen que encontrar matemáticamente en términos de la longitud de la cuerda cuáles son las longitudes de onda que podemos tener aunque el dibujar las ondas nos ayuda como los podemos obtener matemáticamente bueno aquí tenemos un desastre vamos a limpiarlo quitamos esto y ponemos varias cuerdas y no vamos a hacerlo muy abstracto digamos que la longitud de esta cuerda es bastante grande digamos que es de unos 10 metros es una cuerda grande que está asegurada en ambos extremos la primera onda estacionaria luce así como una cuerda para saltar ahora si la cuerda tiene una longitud de 10 metros cuál será la longitud de onda esta onda quizás ustedes me podrían decir ah pues es de 10 metros pero no aquí no tenemos una longitud de onda completa vean este patrón de onda que tenemos aquí esto de aquí es una longitud de onda completa tiene que llegar hasta aquí esto de acá es sólo la mitad de la longitud de onda así que esta cuerda para saltar es sólo la mitad de la longitud de la onda para ver la longitud de onda completa tendríamos que extenderla todo esto hasta acá ésta sería una longitud de onda completa es decir serían 10 metros más otros 10 metros por lo que la longitud de onda de esto aún cuando no quepa en esta cuerda si pudiéramos ver una longitud de onda completa aquí esta longitud de onda sería de 20 metros cuál es la siguiente onda estacionaria recuerden que se veía así subía luego pasaba por el medio hacia abajo y volvía a subir y aunque esta onda fundamental no tenía ningún modo en el medio está segunda onda si tiene un nodo a la mitad y nuevamente si esta cuerda mide 10 metros cuál será esta longitud de onda es fácil esta es una longitud de onda completa por lo que medirá 10 metros esta longitud de onda es de 10 metros ya que la longitud de onda completa cabe aquí y la tercera armónica se ve así tiene dos nodos en el medio seguimos agregando un nodo en el medio tenemos nuestra onda fundamental sino dos en el medio la segunda armónica tiene un nodo en el medio la tercera armónica tiene dos la cuarta tendría tres y así sucesivamente así que cuanto mide esta longitud de onda este es un poquito más difícil de encontrar así que analicemos la tenemos una longitud de onda completa hasta aquí por lo que esto es una longitud de onda pero nuestra cuerda tiene esta longitud por lo que cuál fracción de esta cuerda equivale a esta longitud de onda de dos tercios de la longitud total por lo que podemos decir que esta longitud de onda es dos tercios de 10 metros que podemos escribirlo como 20 metros entre 3 y vamos a seguir encontrando las siguientes ondas estacionarias esta es la cuarta armónica cuál es la longitud de esta longitud de onda pues esta longitud de onda abarca la mitad de la cuerda de la mitad de 10 es 5 metros y podemos continuar podría dibujar la quinta armónica que se vería así y tienen que preguntarse qué tan larga es esta longitud de onda pues en este caso tenemos 1 2 3 4 5 5 de estas curvas por lo que esta longitud de onda va a medir dos quintas partes de la longitud de la cuerda por lo que esta lambda va a ser igual a 2 por 10 es 20 metros entre 52 quintos de 10 va a ser 20 metros entre 5 que podemos simplificar a 4 metros pero qué pasaría si nos preguntaran cuál es la longitud de onda de la armónica 43 chispas pues la verdad no me quiero poner a dibujar 43 ondas aquí para tratar de encontrar cuál fracción de la cuerda es una longitud de onda y no tenemos que hacerlo aquí hay un patrón y se los voy a mostrar esto se ve medio extraño pero voy a escribir esta onda fundamental como 2 por 10 metros entre 1 y la segunda armónica la voy a escribir como 2 por 10 metros entre 2 y la tercera armónica la voy a escribir como por 10 metros entre 3 la cuarta armónica la voy a escribir como dos por diez metros entre cuatro de la misma forma la quinta armónica se puede escribir como dos por diez metros entre cinco ya que es veinte quintos y ahora yo espero que puedan ver el patrón si yo quiero la longitud de onda de la enésima armónica la n puede ser la primera la segunda la tercera por lo que en él puede ser cualquier entero desde 123 etcétera y puedo encontrar la longitud de onda que va a tener simplemente calculando 2 por la longitud de la cuerda que voy a expresar como l mayúscula para que pueda aplicar a cualquier cuerda de cualquier longitud siempre y cuando tenga nodos en los extremos es 2 por l y lo dividimos entre m en otras palabras si yo quiero encontrar la longitud de onda de la armónica número 84 voy a multiplicar 2 por la longitud de ésta y lo voy a dividir entre 84 si quiero la longitud de la armónica número 33 voy a multiplicar 2 por la longitud de onda de la cuerda y lo voy a dividir entre 33 y esto me dará la longitud de onda de dicha armónica ahora recuerden que cuando deducimos esta ecuación dibujamos estas imágenes y supusimos que estos extremos no se mueven tenemos nodos a cada extremo de la cuerda lo que casi siempre es el caso porque la mayoría de los instrumentos tienen cuerdas que están sujetas en los extremos en resumen cuando cocinamos una onda en cierta región la onda se va a reflejar al llegar a un extremo y se va a trasladar consigo misma lo que va a ocasionar interferencia constructiva y destructiva para longitudes de onda particulares podemos tener ondas estacionarias lo que significa que la onda solo va a oscilar de arriba hacia abajo en lugar de moverse de izquierda a derecha en estas ondas estacionarias a los puntos en donde no hay movimiento les vamos a llamar nodos y a los puntos en donde tenemos el mayor desplazamiento nos vamos a llamar anti nodos podemos encontrar las longitudes de onda de las ondas estacionarias posibles en una cuerda que esté fija en ambos extremos al asegurarnos de que la onda estacionaria tome la forma de una onda armónica simple con nodos en ambos extremos que si lo tenemos así vamos a poder usar una fórmula para encontrar las longitudes de ondas posibles para una onda estacionaria de nodo a nodo que es de dos veces el largo de la cuerda dividida entre el número de la armónica que nos interesa