Definir un plano en R3 con un punto y un vector normal

vamos a tomarnos un tiempo un pequeño descanso de toda esta matemática rigurosa que hemos construido acerca de cómo definir un vector y cómo definir un ángulo etcétera y a continuación quiero pensar en algo que nosotros vamos a utilizar bastante y es la idea de un plano en r3 como encontramos una ecuación que describa un plano en r3 una ecuación de un plano en r3 y bueno nosotros vivimos en un mundo tridimensional entonces r3 es una cosa muy cotidiana para nosotros y nosotros queremos agarrar un plano en r3 pues podemos pensar por ejemplo en el suelo o en tu pantalla del monitor o en una fotografía hay un buen de planos en este mundo tridimensional así que déjame dibujar t1 aquí tengo el eje de las x aquí tengo el eje de las 10 voy a ponerlo por acá este es mi eje de ayer este es mi eje de las zetas y bueno ya tengo mis tres ejes y voy a dibujar un plano aquí en r3 voy a tomarme este plano de aquí y este plano crece para todos lados es un plano infinito en r3 ahora mi pregunta es cómo puedo yo definir la ecuación de un plano en r3 y seguramente tu día te debes de acordar que nosotros teníamos que la ecuación a x más bella cz igual a d esto nos dibuja un plano si nosotros tomamos las ideas de la geometría analítica esto me va a dibujar un plano y eso quiere decir que para cualquier punto x jay-z que me tome aquí en este plano entonces debe de satisfacer esta ecuación pero a continuación quiero definir un plano de una manera un poco más formal quiero pensar en un plan o utilizando álgebra lineal todo lo que hemos construido con las herramientas de álgebra lineal así que vamos a tomar otro pregunto en este plano voy a tomar este punto que va a ser el punto x 0 10 070 y no forzosamente tiene que ser el mismo punto que tome aquí a la izquierda pueden ser puntos distintos o puede ser el mismo punto es más vamos a pensar que es otro punto distinto este punto que tenemos aquí ya continuación que voy a hacer es tomarme un vector que tenga con un punto inicial un punto en este plano es más que tenga como punto inicial el punto x 0 10/0 z 0 pero que sea perpendicular por lo tanto vamos a dibujarlo va a ser este vector de aquí este vector de aquí le voy a llamar el vector n porque a este vector se le conoce como el vector normal n es el vector normal y eso significa que es un vector que es perpendicular al plano el vector normal es aquel vector que es perpendicular al plano perpendicular al plano que tenemos aquí entonces tenemos escribirlo perpendicular al plano o perpendicular mejor vamos a ponerlo así a todo punto perpendicular a todo punto a todo lo que esté en este plano que me estoy tomando sé que suena un poco informal pero a cualquier cosa que esté en el plano este vector es perpendicular por lo tanto si yo me tomo un vector en este plano entonces el vector n o el vector normal va a ser perpendicular a este efector voy a decirle a que me voy a tomar adentro del plano y bueno recordando lo que vimos en vídeos pasados yo sé que si tomo el producto punto de un vector aquí de este vector al punto del vector n es decir mi vector normal me va a dar 0 vamos a escribirlo en el punto am ser igual a 0 porque son vectores perpendiculares de hecho esto lo vimos en el último vídeo cuando hablábamos de ángulos nosotros decíamos que cuando dos vectores sean perpendiculares su producto punto entre ellos era igual a cero por lo tanto lo que voy a hacer a continuación es tratar de buscar una forma en la que yo tome este vector normal y le sume no se lo escribe aquí a este vector normal le voy a sumar el punto x 0 0 0 0 ya esto voy a intentar que sea mi definición acerca de esta ecuación que yo tenía que arriba lo que quiero es que esto me defina la ecuación a x más bella más zeta igual a 0 es decir la ecuación de un plano así que vamos a ver si lo podemos generar quiero que esto me dé a x más bella más 60 igual a cero entonces qué es lo que podemos construir lo primero que quiero que nos fijemos es en estos dos puntos que tenemos aquí si yo hablo del vector el vector cuyas componentes son el x 0 0 z 0 me estoy refiriendo a un vector en posición estándar es decir fíjate bien a definir el vector x0 como el vector cuyas componentes son x 0 y 0 0 y ojo no es esto un punto es un vector cuyo punto inicial está en el origen y cuyo punto final está en el punto x 0,070 entonces es este vector que tenemos aquí y si te das cuenta no es un vector que está en nuestro plano es un vector que está afuera de nuestro plano y que llega a tocar en un punto a nuestro plan no solamente en el punto x 0 10/0 z 0 y de igual manera voy a definir a otro vector voy a definir al vector x que va a ser el vector en posiciones estándar cuyas componentes son x y z es decir es el vector cuyo punto inicial está en el origen y su punto final está en el x10 z este va a ser un nuevo vector el vector x que es el vector cuyas componentes son x y z que es este vector de clima y de igual manera ojo este no es un vector que está en el plano es un vector que está fuera del plano podríamos decir de hecho que está abajo del plano y que solamente toca el plano en un punto en el punto x y recuerda que estábamos diciendo que el punto equis y zeda no era el mismo punto que el punto x 00 cet a 0 así que fíjate bien vamos a intentar dibujarla para que me entiendas bien este es el plano que yo tengo aquí y este va a ser un vector x0 tenemos como su punto inicial el origen y solamente tocamos al plano aquí en este puntito en este puntito que es el punto equis 0,0 z 0 y de igual manera aquí tengo mi vector x mi vector x y mi vector x0 comparten el punto inicial que es el origen porque ambos están en posiciones estándar y mi vector x solamente toca un puntito en el plano que es el punto cuyas coordenadas son x y z no te confundas entre puntos vectores y planos y porque me voy a tomar estos dos vectores porque yo quiero construir un vector que esté encima del plano fíjate bien qué pasa si yo me tomo la diferencia de estos dos vectores la diferencia del vector x menos el vector x0 x menos el vector y 0 nos dibujaba este vector de aquí recuerdas esto lo vimos en los primeros vídeos acerca de vectores este vector que estoy tomando aquí es el vector x menos x 0 porque que era que el vector tal que si nosotros le sumamos x0 nos daba equis y fíjate como si empezamos en x0 llegamos después de x0 más x menos x0 al vector equis y bueno ahora sí ya tengo un vector sobre el plano este vector si está sobre el plano dejame dibujar de aquí este vector si existe en el plano y como existe en el plano entonces el vector x menos x0 va a cumplir que es perpendicular al vector normal esto es perpendicular al vector normal entonces déjame escribirlo aquí como estos dos existen en el plano entonces este vector el x menos x0 es un vector perpendicular al vector normal porque recuerda que todo lo que estuviera en el plano era perpendicular al vector normal por construcción al vector n y bueno cómo se vería el vector n así que déjame escribirlo aquí si estos dos son perpendiculares entonces van a cumplir que en el que era el vector normal déjenme ponerlo aquí este es el vector cuyas entradas es el n1 n2 y y bueno ya tengo x menos x 0 voy a intentar llegar a esta ecuación con estos dos datos que ya conozco utilizando siente sencillamente el producto punto y que además la diferencia de estos dos vectores existe en el plano voy a intentar llegar a la ecuación cartesiana que nosotros tenemos aquí a x más bella en macetas e igual a 0 entonces que sé que el vector n punto producto punto por el vector x menos x 0 espero que todo vaya bien hasta aquí es más déjame hacerlo de una manera más visible déjame dibujar lo que arriba este vector n es este vector que estoy dibujando aquí es un vector que es perpendicular al plano por lo tanto está así este es mi vector en recuerdas director normal entonces mi vector normal es perpendicular al vector x menos x0 porque el vector x menos x0 es un vector que está sobre el plano entonces n punto el vector x menos x0 esto es igual a 0 por definición de ángulo entre dos vectores por la definición de perpendicularidad así que bueno ya que tenemos esto que es esto tenemos aquí vamos a ir sustituyendo esto me queda n1 n2 n3 punto x x 0 pero x menos x 0 es el vector x quitarle el vector x 0 y esto me va a quedar pues x menos x 0 y después de menos de 0 en segunda componente y por último me quedaría zeta ceta 0 estoy restando componente a componente con la definición de diferencia y esto tiene que ser igual a 0 porque son perpendiculares y bueno si utilizamos la definición de producto punto que me va a quedar aquí pues me queda n 1 que va a multiplicar a la primer componente de este vector n 1 x x x 0 + n 2 que va a multiplicar a la segunda componente es decir n 2 x menos de 0 más n 3 que multiplica la tercer componente es decir n 3 que multiplica a z menos cero y esto igual a cero y aunque no aparezca esta es la ecuación de un plano esto que tenemos aquí es exactamente igual a tener a x más bella 60 igual a de o perdón perdón desigualdad de no sé porque puse 0 perdón aquí es d aquí es a x más bella más lenta se iguala de puede ser cualquier número real no forzosamente tiene que ser un plano que corte en el origen bueno ya que tenemos esto créanme esto es lo mismo que esta forma que tenemos aquí y además vamos a verlo con un ejemplo para que quede mucho más claro no voy a tomar a un vector que va a ser perpendicular a este plano al plano al que yo quiero encontrar en su ocasión y este vector perpendicular es el 13 menos 2 y a continuación también me voy a tomar un punto con un punto del plano ya la hice y el punto del plano que me van a dar va a ser el punto vamos a tomarnos uno sencillo va a ser el punto 1 2 3 y por lo tanto me voy a tomar como el vector x0 el vector 123 recuerda que era que el vector cuyas componentes eran cada una de las coordenadas de este punto que me daban y bueno ahora me voy a tomar otro punto en este plano él va a ser el punto x dz y con esto voy a construir un vector cuyo punto inicial sea el origen y cuyo punto final sea este punto cualquiera en el plano y bueno a continuación cómo construir la ecuación de mi plano pues voy a utilizar lo mismo que ya vimos a tomar la diferencia de x men x 0 quien es x - x 0 bueno déjenme escribirlo aquí x menos x 0 va a ser aquí el vector rojo es un vector tal que a cada componente de x le voy a quitar cada componente del vector x0 y me va a quedar x menos 1 en la primer componente y menos dos en la segunda componente y z menos 3 en la tercer componente y recuerda que este vector existe en el plano por lo que acabamos de ver este vector si está en nuestro plano por lo tanto si yo me tomo el vector normal punto el vector x - x 0 entonces me va a definir una ecuación y además va a cumplir que esto tiene que ser igual a 0 es decir el vector 13 menos 2 que es mi vector normal punto el vector x menos x0 que es el vector x -1 y -2 7 menos 3 tiene que ser igual a 0 porque son perpendiculares y entonces me va a quedar la suma de la multiplicación de componente a componente 1 por x menos 1 es x menos 13 porque menos 2 - 2 que multiplica a z menos 3 y esto es igual a 0 y de aquí pues vamos a ver que podemos reducir déjame cambiar de color a un color un poco más feliz porque estamos felices de que ya va a acabar el vídeo me va a quedar x menos 1 aquí lo voy a poner x 1 + 3 - 6 lo único que hice fue multiplicar por 3 y después menos 12 está más 6 y esto es igual a 0 y si te das cuenta que ya podemos reducir un poco menos 6 + 6 se van y este menos 1 que tengo aquí lo voy a pasar del otro lado entonces al final me va a quedar x + 3 y menos 12 está igual a 1 y qué creés esta ecuación de un plano las ecuaciones que habíamos visto de forma cartesiana esto está muy sencillo porque ya encontramos la ecuación de un plano con solamente un vector perpendicular y un punto en el plano y bueno realmente no teníamos que hacer todo esto que hicimos aquí pudimos también utilizar toda esta fórmula que habíamos construido aquí arriba que era ya el producto punto del vector normal por nuestro vector que estaba en el plano esto de aquí sería uno que multiplica a x menos x 0 pero x0 valía 1 recuerda que es la primera componente que teníamos en nuestro x 0 + n 2 que es 3 que multiplica al menos 2 que la segunda componente de nuestro vector x 0 - 2 que multiplica z menos 3 y esto tiene que ser igual a 0 y al final estamos llegando justo a lo mismo esto es lo mismo que teníamos aquí abajo y por lo tanto vamos a llegar a x + 3g menos 12 está igual a 1 que por cierto recuerda que es la forma cartesiana de ver a un plano hemos llegado a lo mismo y bueno esta información que vamos a construir es bastante útil cuando hablamos de tres dimensiones y de cosas de programación y también de las matemáticas que estamos viendo