Demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

vamos a tomarnos dos vectores no nulos me voy a tomar el vector x me voy a tomar el vector y en imax el vectores que existan en rn es decir que tengan n componentes y recuerda que lo que estoy piden nuestros dos vectores es que no sean cero que no sean el vector cero y bueno yo lo que quiero construir con estos dos vectores es la siguiente desigualdad fíjate bien me voy a tomar el valor absoluto de x punto y el valor absoluto de x puntos y si te das cuenta cuando calculamos el producto punto de dos vectores nos da un número real por lo tanto puedo calcular el valor absoluto de un número real y esto va a ser menor o igual que la longitud de x multiplicada por la longitud de 10 y de hecho esta igualdad se cumple es decir quitamos la desigualdad en la siguiente ocasión solamente cuando ocurre lo siguiente así que vamos a escribirlo el valor absoluto de x punto g es igual a la longitud de x por la longitud de james es decir que lo que vamos a buscar es cuando se cumple esta igualdad cuando la desigualdad entonces el valor absoluto de x punto james es igual a la longitud de x por la longitud de james si pasa lo siguiente y es sí y solución si pasa que uno de estos dos vectores es un múltiplo escalar del otro y si recuerdas eso significaba que uno de los dos vectores era con lineal al otro o dicho de otra manera que podemos ver a uno de los vectores como c veces el otro sin pérdida de generalidad voy a decir que x es igual a c veces el vector 10 y bueno a todo esto que tenemos aquí se le conoce como la desigualdad de corsi swartz la famosa desigualdad de coches wards y es que justo lo que quiero en este vídeo es probar esta desigualdad nosotros no podemos darlo por sentado sería muy bueno que con todas las herramientas que hemos construido hasta ahorita podamos demostrar esta desigualdad y para esto me voy a tomar una función que tal vez parezca un poco artificial pero es una función que me va a ser muy útil para poder demostrar la desigualdad de corsi swartz y la función que me voy a tomar es la siguiente pd t es igual a la longitud del siguiente vector voy a tomarme tevez es el vector james y te das cuenta si multiplico al vector por un número real me da un vector ya esto le voy a quitar el vector x lo cual me sigue dando un vector y a todo esto le voy a calcular su longitud y elevarla al cuadrado y bueno seguramente te estás preguntando por qué me voy a tomar esta función pero antes de explicarte esto quiero que recordemos lo siguiente te acuerdas de la definición de la longitud de un vector la longitud de un vector b la veíamos como la raíz cuadrada de su primera componente elevada al cuadrado más su segunda componente elevada al cuadrado y así cada uno de sus componentes y ya esto definimos como la longitud de un vector ahora lo que quiero que veas es que la longitud de un vector siempre es mayor o igual a 0 porque si nosotros tomamos cualquier número y lo elevamos al cuadrado me da mayor o igual a 0 y si tomamos puras sumas de cosas mayores iguales a cero me da algo mayor o igual a cero y si sacamos la raíz cuadrada de algo mayor igual a cero es mayor o igual a cero y por lo tanto esta longitud que yo tengo aquí va a ser mayor o igual a cero es decir pdte es mayor o igual a cero y lo segundo que quiero que recordemos es algo que vimos hace un par de vídeos que me va a ser muy útil para demostrar esta desigualdad fíjate bien la longitud de un vector al cuadrado eran lo mismo que el vector punto el vector esto lo vimos hace dos vídeos y bueno justo esto es lo que voy a utilizar ahorita para escribir la forma en la que definí pdte es decir como esta longitud elevada al cuadrado como un producto punto de dos vectores es decir tevez es el vector menos el vector x punto tevez es el vector ye menos el vector x estoy utilizando solamente lo que acabo de escribir de verde a la derecha y bueno en el vídeo pasado habíamos demostrado algunas propiedades como asociatividad como conmuta tividad y como distributiva y that que voy a utilizar justo ahorita de hecho lo primero que voy a hacer es distribuir este producto punto que tenemos aquí recuerda que el producto punto es una forma de multiplicación de vectores que cumplía la distributiva y that por lo tanto lo único que tengo aquí es como si tuviera dos binomios multiplicándose solamente que están multiplicando por el producto punto entonces esto me va a quedar de veces el vector punto a veces el vector james estoy multiplicando el primer vector de esta diferencia de vectores por el primer vector de la segunda diferencia de vectores y me queda de veces punto tves y después no voy a tomar a menos x el vector menos xy voy a calcular su producto punto con tbs y que me queda como es producto punto me va a quedar menos x punto de veces el vector y ahora voy a hacer lo mismo con tvc y punto el vector menos x es decir este de aquí y este de aquí y entonces me queda menos de veces y menos tves punto x y bueno por último me queda el vector menos x que a su vez hay que tener el producto punto con menos x y entonces esto quiere decir que es menos 1 x lo puedo poner así con menos 1 x punto el vector menos 1 x date cuenta que aquí es como si tuviéramos un menos uno es decir como si tuviéramos una constante multiplicando un vector 10 que al final menos x es lo mismo que menos 1 por el vector x así es mucho más fácil pensarlo para no meternos en complicaciones y bueno ya que tengo esto esto que va a ser igual si te das cuenta tengo t veces y tves james aquí puedo sacar a ambas test y multiplicar las por lo tanto me va a quedar y punto y que multiplica a t cuadrada recuerda que la multiplicación por escalar y el producto punto cumplen asociatividad y después de aquí y de aquí voy a realizar la resta de estos dos vectores si te das cuenta como el producto punto y la multiplicación por escalar a su vez son asociativas entonces me estoy tomando la diferencia de dos números reales iguales por lo tanto me quedan menos dos veces el producto punto de x punto y esto multiplicado por t y bueno para finalizar a quien tengo tengo menos 1 por menos 1 las constantes se van porque menos x menos me da más uno por uno me da uno y al final solamente me queda ekis ekis ekis punto x todo esto utilizando las propiedades del producto punto y bueno vamos a ponerlo de colores para que veas de dónde salió cada cosa aquí los rosas sale de los rosa y los naranjas sale de la naranja y estar aquí es mayor o igual a 0 porque habíamos dicho que [ __ ] es mayor o igual que 0 entonces que me ponerlo esto es mayor o igual que 0 y por otra parte pues esto es lo que habíamos definido como p dt con una función de un escalar ahora seguramente te sigues preguntando por qué me tomé esta función y no me tomé cualquier otra expresión o porque a partir de esta expresión de aquí porque a continuación lo que voy a hacer es nombrar las cosas de una manera mucho más sencilla para que te des cuenta de la importancia de tener a pd te voy a decir que a ese punto yo voy a decir que es menos 2 veces x puntos james recuerda que al final estos son números reales y si también va a ser x punto x también es un número real y ya tengo unas nuevas definiciones a b y c entonces esto lo puedo escribir de la siguiente manera lo puedo escribir como arte cuadrada menos b t esto nos va a ayudar a verlo de una manera mucho más sencilla y a esto le voy a sumar c y si te das cuenta a b y c son números reales y por lo tanto una función que depende solamente de temp está expedito que no vais olvidar que es mayor o igual a 0 y es mayor o igual a 0 para cualquier t por lo tanto no voy a tomar una t específica la cual me va a ayudar a obtener la desigualdad que yo tengo aquí arriba voy a calcular quienes p debe entre 2 y voy a evaluar esta función en el tiempo igual a b entre 12 y lo primero que quiero que veas es que este tiempo si está definido es decir lo que voy a buscar es que 2a no sea cero porque si fuera cero esto no estaría definido pero a no es cero porque a es el producto punto de punto y lo más importante habíamos dicho que ya no es un vector nulo no es el vector cero y por lo tanto a que ese punto no lo podemos ver como la longitud de elevada al cuadrado no es cero porque al menos uno de sus componentes es distinta de cero y dos veces no es cero y por lo tanto b entre dos así está definido y bueno ya que me di cuenta que esto sí está definido entonces voy a sustituir por entre 2 ahí me va a quedar a que multiplica a t cuadrada pero te cuadradas de cuadrada entre 4 am ya esto le voy a quitar bbc este pero te es b entre 2 a entonces de que multiplica ave entre 2 a ya esto le voy a sumar c ya esto le voy a sumarse y esto es mayor o igual que 0 porque recuerda que esto es mayor o igual que 0 para cualquier tema y bueno ya que llegamos a esto vamos a simplificar de un poco por ejemplo aquí tengo una idea que una dividiendo se van y aquí tengo b por ver pues esto es be cuadrada entonces dejemos escribirlos be cuadrada entre 4 am - de por bv cuadrada de cuadrada entre 2 a más se manchen y esto es mayor o igual a 0 y fíjate bien aquí tengo 4 hay aquí tengo 2 am qué pasa si multiplicó a esta expresión de aquí por 2 tanto arriba como abajo 2 entre 2 es 1 y entonces no estoy haciendo nada pero lo que realmente hice fue encontrar un denominador común y entonces ahora sí puedo restar estos dos me queda de cuadrada entre 4 a menos dos veces de cuadrada entre cuatro a pues esto lo puede simplificar como menos b cuadrada entre 4 déjame escribirlo aquí abajo esto es menos de cuadrada entre 4 am más cm esto es mayor o igual a 0 ya continuación lo que voy a hacer es sumar be cuadrada entre 4 a de los dos lados de la ecuación o dicho otra manera lo que voy a hacer es pasar del otro lado b cuadrada entre 4 am y nos va a quedar que se es mayor o igual que b cuadrada entre 4 y lo único que dice es pasar a este que tiene signo negativo del otro lado con signo positivo y a continuación lo que voy a hacer es multiplicar todo por cuatro veces a pero ojo estoy multiplicando todo por cuatro veces recordando quién era a ese punto y como dijimos qué punto es siempre mayor que cero recuerda que como ya no es un vector nulo entonces de punto y es lo mismo que la longitud del vector y elevada al cuadrado lo cual es mayor que cero entonces yo puedo multiplicar ambos lados de esta desigualdad por 4 y te estoy contando todo esto por una razón específica porque si yo estoy multiplicando todo esto por 4a y 4a es mayor que 0 entonces esta desigualdad se conserva me va a quedar 4 hace mayor o igual que b cuadrada recuerda que si a fuera negativo lo que pasaría es que esta desigualdad se voltearía y bueno ya que tengo yo esto lo que voy a hacer a continuación es sustituir quien es a b y c para ver qué es lo que me queda recuerda que a era el punto y entonces me va a quedar cuatro veces amp a ese punto james pero oye punto y si nos acordamos en lo que vimos en el vídeo pasado era la longitud de ye elevada al cuadrado es cuatro veces la longitud de james aquí lo voy a escribir me queda la longitud de ella que se ponía así elevada al cuadrado del vector y elevado al cuadrado esto es lo mismo que a porque recuerda que a este punto punto es lo mismo que la longitud del elevado al cuadrado y después hay que multiplicarlo por cm pero se es x punto x y de igual manera recuerda que lo que vimos en el vídeo pasado era que x punto x es lo mismo que la longitud de x elevada al cuadrado entonces me va a quedar del lado izquierdo de esta desigualdad me queda cuatro veces a por c que es lo mismo que cuatro veces la longitud de y elevada al cuadrado multitud de x elevada al cuadrado y esto es mayor o igual que de cuadrada pero que es esto que tenemos aquí por lo tanto me va a quedar 2 veces x punto james x punto y esto elevado al cuadrado espera espera aquí es todo esto elevado al cuadrado todo esto es b por lo tanto tengo be cuadrada y es que ahora sí me va a servir bastante porque voy a simplificar un poco todo esto me queda cuatro veces la longitud de y elevada al cuadrado por la longitud de x elevada al cuadrado y esto es mayor o igual que el cuadrado de 2 que es 44 veces x punto g por x gent x gent que multiplica a x punto o mejor lo puedo poner como x punto y elevado al cuadrado si déjame quitar todo esto porque si no nos vamos a confundir en un futuro a estos x punto de x punto pero mejor lo voy a poner como 4 veces x punto y elevado al cuadrado y bueno 4 y 4 se van 4 que multiplica y 4 que multiplica el otro lado si dividido toda esta desigualdad entre 4 se van estos 24 y me queda que la longitud de y elevada al cuadrado por la longitud de x cuadrado es mayor o igual que x punto elevado al cuadrado a continuación lo que voy a hacer es acá raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación y siempre esencialmente me va a quedar que la longitud de i por la longitud de x ya sea que la raíz cuadrada que por cierto se cancela con los cuadrados que tenemos aquí porque estoy utilizando las propiedades de los exponentes y del otro lado me queda x punto elevado al cuadrado raíz cuadrada pero me estoy tomando en la raíz positiva la raíz positiva de algo que está elevado al cuadrado es simple y sencillamente el valor absoluto de lo que se está elevando al cuadrado es decir x punto g y ojo es muy importante que te des cuenta que me estoy tomando la raíz positiva y por eso estoy poniendo el valor absoluto 10 que al final date cuenta de algo x punto que podría ser negativo pero cuando la llevamos al cuadrado se vuelve algo positivo y cuando le sacamos raíz cuadrada algo positivo me va a dar algo positivo si tomamos la raíz cuadrada principal es decir la raíz principal o la ra dispositiva y por eso pongo el valor absoluto de estos dos y adivina que ya llegamos a lo que queríamos justo esto era la famosa desigualdad de cosas wards es lo que nos habíamos propuesto demostrar y llegamos a ello después de varios pasos pero acabamos de probar que si se cumple la desigualdad de coches watts bueno al menos la primera parte de esta desigualdad porque habíamos dicho que la igualdad se cumplía cuando los vectores cumplían lo siguiente uno de ellos era múltiplo escalar del otro o si lo decimos otra manera eran vectores con lineales así que vamos a tomarnos a x igual hace veces y vamos a probar solamente esa última parte a ver si se cumple la igualdad quien sería x punto en valor absoluto pues esto es lo mismo que utilizando que x es igual a 0 que es lo mismo que el valor absoluto de ese punto james pero esto es lo mismo que el valor absoluto de c por una propiedad del valor absoluto que multiplica el valor absoluto de puntos al valor absoluto de punto bien y bueno tiene radio punto jeff ya lo hemos visto varias veces y el punto es ni más ni menos que la longitud del elevado al cuadrado por lo tanto aquí tenemos el valor absoluto de c que multiplica a la longitud de l al cuadrado y bueno esto es lo mismo lo podemos ver como el valor absoluto de s que multiplica a la longitud de ye por la longitud de la longitud de ella elevada al cuadrado es lo mismo que la longitud de ye por la longitud de james y bueno sería muy buen ejercicio que tú probarás que lo siguiente que voy a hacer es cierto es muy fácil probarlo utilizando la definición de longitud fíjate bien si nosotros tomamos la longitud de una constante multiplicada por un vector esto es exactamente lo mismo que el valor absoluto de la constante que multiplica a la longitud del vector es decir las constantes salen de la longitud de un vector en valor absoluto es decir que esto que estoy tomando aquí es lo mismo que la longitud de cpc e insisto sería muy bueno que tú probarás esta afirmación y bueno a su vez esto multiplica a la longitud de iu y que eres ya te diste cuenta quién tenemos aquí cbc si es x es el vector x por lo tanto tengo la longitud de x que multiplica a la longitud de james y hasta ahorita sigues tiene una igualdad y por lo tanto estamos comprobando que cuando es igual hace veces el vector james es decir x es un múltiplo escalar de james entonces obtengo la igualdad de todos modos espero que hayan encontrado esto muy útil la desigualdad de corcheas swartz la usaremos mucho cuando probemos otros resultados en álgebra lineal y en un vídeo futuro les voy a dar un poco más de intuición acerca de por qué esto tiene mucho sentido en relación con el producto punto