Distancia entre un punto y un plano

bien todo esto lo construimos en el vídeo pasado y ahora me voy a tomar un punto afuera de este plano para ver cuál es la distancia de este punto al plano así que déjenme tomar un punto por aquí y le voy a poner que tiene como coordenadas x 0 10 0 iceta 0 muy bien y ya que tengo este punto aquí entonces me voy a preguntar cuál es su vector posición así que déjenme dibujar un vector por aquí con líneas punteadas y ya tengo aquí a mi vector que por cierto tiene como ecuación asociada x 0 x image 0 x jota más 70 x cam perfecto y ahora mi pregunta es como encuentro la distancia de este punto a este plano y me vas a decir cuál distancia porque yo no puedo tomar la distancia de que acabo de que acá o de aquí para acá también o también 4 maestra distancia pero cuando me refiera la distancia de un punto a un plano me estoy refiriendo a la distancia mínima y como encuentro la distancia mínima de un punto un plano pues curiosamente es la distancia que es perpendicular al plano o dicho de otra manera la distancia normal al plano la distancia de un punto al plano la mínima es aquella que es perpendicular al plano y bueno como la encontramos para esto lo que voy a hacer es dibujar un vector que tenga como punto inicial este punto que tenía que dar plano el punto x pps tape y como punto final mi punto afuera del plano el punto x 0 10/0 z cero así que vamos a dibujarlo con color naranja y éste no círculo naranja vamos por otro color naranja y este va a ser mi vector en el que me voy a aplicar perfecto este es mi vector en el que me voy a fijar y si te das cuenta es una diferencia de vectores es la diferencia del vector que acabamos de definir de amarillo menos el vector que está de verde es decir este vector que le voy a poner a ver qué letra no hemos usado a efe el vector f quien va a ser bueno pues es lo mismo que el vector que acabamos de encontrar de amarillo menos el vector p 1 entonces que me va a quedar recuerda que es el mismo vector que al agregar la p 1 nos va a dar el vector de amarillo así que vamos a poner explícitamente quienes f eso es me sale x 0 - x p y esto multiplicado por el vector canónico y es esto que tenemos aquí después a esto hay que agregarle 1007 esto multiplicado por el vector canónico jota y después a esto hay que agregarle 70 zp esto multiplicado por el vector canónico acá muy bien ya tenemos el valor de f pero lo que nosotros queremos no es la longitud de f lo que nosotros queremos es la longitud que hay de este punto al plano de manera perpendicular es esta longitud que estoy pintando de amarillo y entonces la pregunta es cómo encontrar esta distancia y para esto lo que voy a hacer es formarme un triángulo rectángulo porque recuerda que esta distancia cumple una peculiaridad muy importante esta distancia es perpendicular al plano y por lo tanto si yo trazo ahora esta línea que estoy haciendo aquí se forma un triángulo rectángulo date cuenta que en este triángulo rectángulo yo tengo que f la longitud de f es la hipotenusa y además jon esto sabe la distancia que por cierto con pura trigonometría básica puedo encontrar la distancia de este punto del plano porque recuerda que esta distancia es perpendicular y bueno para esto lo primero que voy a hacer es cambiar de color y bueno es obvio que está la distancia que voy a pintar de azul mucho más pequeña que esta longitud de la hipotenusa entonces lo que voy a buscar es esta distancia y también tenemos lo que si podemos calcular es la longitud de f entonces déjame poner que aquí puedo calcular de longitud df que por cierto es el valor de la hipotenusa y yo lo que quiero encontrar es esta distancia de aquí y para esto me voy a fijar en este ángulo que tengo aquí que le voy a llamar theta por qué porque usando trigonometría básica yo sé que él coseno de teta quien es bueno pues me fijo ahora en la distancia y en la longitud de la hipotenusa podemos encontrar que el coche no detecta es igual al cateto adyacente a teta que es la distancia la distancia que nosotros estamos buscando entre l pues denuncia por la hipotenusa es la longitud de f entonces esto entre la longitud de el vector efe y bueno aquí despejó a la distancia entonces no queda que la longitud del vector efe por el coseno del ángulo teta es igual a la distancia vamos a escribirlo la longitud del vector efe coseno de teta es igual a la distancia de color azul a de ahora la gran pregunta de este vídeo es como encuentro este ángulo theta como se hace el ángulo theta porque es dios el ángulo teta pues entonces ya encuentro de la distancia y para esto lo que quiero que veas es que la distancia es perpendicular al plano tanto como lo es el vector normal y por lo tanto el ángulo que se forma entre el vector normal y el vector efe es igual a theta porque porque estos dos ángulos son alternos internos y por lo tanto son iguales el ángulo que se forma entre mi vector normal y el vector efe es el mismo porque tanto el vector normal como mi distancia son paralelas y es que esto me va a ayudar bastante yo puede construir una fórmula para encontrar esta distancia sin necesidad de saber este ángulo teta porque fíjate bien qué va a pasar si yo multiplico y divido por una misma cantidad pues no estoy haciendo nada pero ahora voy a multiplicar y dividir por una cantidad que me va a servir bastante por la cantidad que va a ser la longitud de n y bueno entonces también voy a dividir entre la longitud de n para que no esté haciendo nada pero esto me da pie a qué parte de arriba ya tenga una expresión que nosotros conocemos nosotros sabemos aquí es equivalente la longitud de n por la longitud de f por el consejo del ángulo que se forma entre ellos dos esto lo hemos visto bastantes veces como una fórmula esto es exactamente lo mismo que tomarme el producto punto entre ene efe es decir que la distancia ahora ya la puedo encontrar la siguiente manera calculo el producto punto entre ene efe que ojo esto es lo mismo que la longitud de n por la longitud de s por el co seno del ángulo que se forma entre ellos dos ya esto lo voy a dividir entre la longitud de n aquí está mi expresión equivalente y aquí está mi fórmula para encontrar la distancia de un punto a un plano y bueno todavía esto lo podemos trabajar bastante y encontrar una expresión que sea mucho más cómoda de trabajar aunque realmente lo que voy a hacer es sustituir lo que sé del vector n y lo que es el rector efe para poder encontrar todo en términos de abs y de por qué quienes ceden n es hay más de j más seca y quienes efe efe es este de aquí por lo tanto quienes n punto f bueno pues vamos a calcularlo va a quedar a que multiplica a x 0 menos xp pero esto lo puedo distribuir y me va a quedar a x 0 menos a xp entonces a x 0 menos a xp y después vamos a hacer lo mismo con la vez la b va a multiplicar a estos dos y me queda más bella 0 - b y vamos a hacer lo mismo con la c la se me va a quedar más zeta 0 - c zp ahora hay que agregarle la multiplicación de éste y esto y me queda cz 0 - c zp y bueno a todo esto hay que dividirlo entre la longitud de n date cuenta que esta es la expresión para la distancia entonces todo esto lo vamos a dividir entre la longitud del vector n pero tienes la longitud de este vector bueno pues si te acuerdas era la raíz cuadrada de cada una de sus componentes elevadas al cuadrado es decir la definición de distancia nos decía lo siguiente vamos a tener la raíz cuadrada de quien me va a quedar la raíz cuadrada de a cuadrada déjame poner una mejor raíz cuadrada me gusta más de cuadrada más ve cuadrada más se cuadrada esta es la longitud del vector n y fíjate que ya estamos encontrando una expresión equivalente a todo esto que tenemos aquí que tal vez te sea más cómoda para trabajar la distancia de un punto a un plano y bueno esta es la distancia de este punto que puede estar afuera o adentro del plano y nuestro plano y bueno ahora lo que voy a hacer es juntar todo lo que es positivo y todo lo que tiene que ver con z 0 y es cero y x cero me va a quedar a x0 más b 0 más c z 0 y después no voy a fijar en lo que tiene signo negativo y que tiene que ver con xp y me queda menos a xp menos 20 p menos zp pero lo que quiero que te des cuenta es que esto es exactamente lo mismo que tenemos aquí fíjate bien que teníamos la ecuación de un plano y decíamos que d era igual a xp más bp más esta etapa y aquí abajo tenemos lo mismo solamente que con signo negativo es decir a xp más 20 p zp recuerda que en este caso las as mayúsculas y las minúsculas lo mismo entonces me queda que menos de quien es pues menos a xp menos ve tp no olvides que la mayúscula y la minúscula valen lo mismo pasaba lo mismo con la b y pasaba lo mismo con la cem y entonces menos de me quedaría menos a xp menos 20 p zp que es justo lo que tenemos aquí esto es lo mismo que menos d es decir me va a quedar a x0 más 20 0 más de 70 y estos tres que tengo aquí es lo mismo que menos de éste y éste y éste me dan menos de entonces todo esto menos de que es el valor que está del otro lado de la igualdad del plano ya esto lo tengo que dividir entre quien a pues entre la raíz cuadrada de a cuadrada más b cuadrada más e cuadrada que es la longitud del vector n la raíz cuadrada de a cuadrada más b cuadrada más se cuadrada y aquí está lo hemos logrado esta es una expresión equivalente y mucho más rápida de encontrar para sacar la distancia de un punto a un plan porque si te das cuenta esta distancia solamente de que te den los valores del plano y de que tener el punto que esté o no esté en el plano fíjate bien vamos a hacer un ejemplo no voy a tomar el siguiente plano 1 x menos 2 + 13 está igual a 5 y me voy a tomar un punto un punto cualquiera en r3 me voy a tomar el punto éste que se me ocurre el 2 este 2 3 y no sé a ver que concuerdo un poquito nos va a ser 2 y 3 y bueno la última componente le voy a poner 1 2 3 y 1 para que esto al final se cancele y me quede algo algo que no sea tan difícil de calcular bueno voy a tomar este plano y este punto yo quiero calcular la distancia de este punto a este plano pues lo único que hay que hacer es aplicar esta fórmula que tengo aquí está muy sencillo es decir tengo que poner pero a es el coeficiente que está lado de la x es decir 11 que multiplica al valor de x en el punto que nos acaban de dar es decir 1 x 2 y después a esto le tengo que agregar en este caso b vale menos 2 y multiplicarlo y multiplicarlo por algo y después me voy a tomar y multiplicarlo por algo y después le voy a quitar d es decir menos 5 y entonces me fijo en cero que es el valor de y en el punto que es 3 y después me fijo en z 0 que es el valor de z en el punto que es 1 y recuerda que es menos 5 porque este 5 hay que pasarlo del otro lado de la ecuación y por otra parte tenemos la raíz cuadrada de la cuadra damas b cuadrada más e cuadrada es decir y todo esto entre la raíz cuadrada de uno menos dos al cuadrado que es cuatro y tres al cuadrado que es 914 más 9 y bueno a quién es esto uno por dos me da dos menos dos por tres me da menos 63 por una humedad 3 y después menos 5 y me queda 2 y 3 son 5 5 y 5 se van entonces sencillamente me quedan menos 6 menos 6 entre la raíz cuadrada de quién de 149 es decir de la raíz cuadrada de 14 y lo hemos logrado espero que te haya sido todo esto bastante útil esta es mi fórmula de la distancia y aplica en varios ejercicios que veas en un futuro