en que usamos la factorizacion de poilinomios y minomios en la vida diaria

para cuando quieras dejar de vender empanadas para ser ingeniero :v

El factor de un número es el número que está contenido en el número cierta cantidad EXACTA de veces. Ej: 8 es factor de 16, pues está contenido en 16 exactamente 2 veces.

Contenido principal

Curso: Álgebra 1 (FL BEST) > Unidad 10

Lección 1: Factores y divisibilidad

Introducción a factores y divisibilidad

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Aprende qué significa que los polinomios sean factores de otros polinomios o que sean divisibles entre ellos.

Lo que necesitamos saber para esta lección

Un monomio es una expresión que es el producto de constantes y potencias enteras no negativas de

x

, por ejemplo,

3 x^{2}

. Un polinomio es una expresión que consiste en la suma o resta de monomios, por ejemplo,

3 x^{2} + 6 x - 1

Lo que aprenderemos en esta lección

En esta lección vamos a explorar la relación entre factores y divisibilidad en polinomios, y también aprenderemos cómo determinar si un polinomio es un factor de otro polinomio.

Factores y divisibilidad en enteros

En general, dos enteros que se multiplican para obtener un número se consideran factores de ese número.

Por ejemplo, como

14 = 2 \cdot 7

, sabemos que

2

7

son factores de

14 .

Un número es divisible entre otro número si el resultado de la división es un entero.

Por ejemplo, como

\frac{15}{3} = 5

\frac{15}{5} = 3

, entonces

15

es divisible entre

3

5

. Pero, ya que

\frac{9}{4} = 2.25

, entonces

9

no es divisible entre

4

Observa la relación entre factores y divisibilidad:

Como

14 = 2 \cdot 7

(lo cual significa que

2

es un factor de

14

), sabemos que

\frac{14}{2} = 7

(lo que significa que

14

es divisible entre

2

\underset{2 es un factor de 14}{\underset{⏟}{14 = 2 \cdot 7}} ⟶ \underset{14 es divisible entre 2}{\underset{⏟}{\frac{14}{2} = 7}}

En la otra dirección, como

\frac{15}{3} = 5

(lo que significa que

15

es divisible entre

3

), sabemos que

15 = 3 \cdot 5

(lo que significa que

3

es un factor de

15

\underset{15 es divisible entre 3}{\underset{⏟}{\frac{15}{3} = 5}} ⟶ \underset{3 es un factor de 15}{\underset{⏟}{15 = 3 \cdot 5}}

Esto es verdad en general: si

a

es un factor de

b

, entonces

b

es divisible entre

a

y viceversa.

Factores y divisibilidad en polinomios

Este conocimiento puede aplicarse también a polinomios.

Cuando se multiplican dos o más polinomios, llamamos a cada uno de estos polinomios factores del producto.

Por ejemplo, sabemos que

2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x

. Esto significa que

2 x

x + 3

son factores de

2 x^{2} + 6 x

Además, un polinomio es divisible entre otro polinomio si el cociente es también un polinomio.

Por ejemplo, como

\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x

y como

\frac{6 x^{2}}{2 x} = 3 x

, entonces

6 x^{2}

es divisible entre

3 x

2 x

. Sin embargo, como

\frac{4 x}{2 x^{2}} = \frac{2}{x}

, sabemos que

4 x

no es divisible entre

2 x^{2}

Con polinomios, podemos notar la misma relación entre los factores y la divisibilidad que con enteros.

\underset{2 x es un factor de 2 x^{2} + 6 x}{\underset{⏟}{2 x \cdot (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x}} ⟶ \underset{2 x^{2} + 6 x es divisible entre 2 x}{\underset{⏟}{\frac{2 x^{2} + 6 x}{2 x} = x + 3}}

\underset{6 x^{2} es divisible entre 3 x}{\underset{⏟}{\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x}} ⟶ \underset{3 x es un factor de 6 x^{2}}{\underset{⏟}{3 x \cdot (2 x) = 6 x^{2}}}

En general, si

p = q \cdot r

para los polinomios

p

q

r

, entonces sabemos lo siguiente:

$q$ ‍ y $r$ ‍ son factores de $p$ ‍.
$p$ ‍ es divisible entre $q$ ‍ y $r$ ‍.

Comprueba tu comprensión

1) Completa el enunciado acerca de la relación expresada por $3 x (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x$ ‍.

x + 2

3 x^{2} + 6 x

, y

3 x^{2} + 6 x

x + 2

2) Una maestra escribe el siguiente producto en el pizarrón:

(3 x^{2}) (4 x) = 12 x^{3}

Miles concluye que

3 x^{2}

es un factor de

12 x^{3}

Jude concluye que

12 x^{3}

es divisible entre

4 x

¿Quién está en lo correcto?

Determinar factores y divisibilidad

Ejemplo 1: ¿ $24 x^{4}$ ‍ es divisible entre $8 x^{3}$ ‍?

Para responder esta pregunta, podemos encontrar y simplificar

\frac{24 x^{4}}{8 x^{3}}

. Si el resultado es un monomio, entonces

24 x^{4}

es divisible entre

8 x^{3}

. Si el resultado no es un monomio, entonces

24 x^{4}

no es divisible entre

8 x^{3}

\begin{aligned} \frac{24 x^{4}}{8 x^{3}} & = \frac{24}{8} \cdot \frac{x^{4}}{x^{3}} \\ = 3 \cdot x^{1} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 3 x \end{aligned}

Como el resultado es un monomio, sabemos que

24 x^{4}

es divisible entre

8 x^{3}

. (Esto también implica que

8 x^{3}

es un factor de

24 x^{4}

Ejemplo 2: ¿ $4 x^{6}$ ‍ es un factor de $32 x^{3}$ ‍?

4 x^{6}

es un factor de

32 x^{3}

, entonces

32 x^{3}

es divisible entre

4 x^{6}

. Así que encontremos y simplifiquemos

\frac{32 x^{3}}{4 x^{6}}

\begin{aligned} \frac{32 x^{3}}{4 x^{6}} & = \frac{32}{4} \cdot \frac{x^{3}}{x^{6}} \\ = 8 \cdot x^{- 3} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 8 \cdot \frac{1}{x^{3}} & a^{- m} = \frac{1}{a^{m}} \\ = \frac{8}{x^{3}} \end{aligned}

Observa que el término

\frac{8}{x^{3}}

no es un monomio pues es un cociente, no un producto. Por lo tanto, podemos concluir que

4 x^{6}

no es un factor de

32 x^{3}

Resumen

En general, para determinar si un polinomio

p

es divisible entre otro polinomio

q

, o de forma equivalente si

q

es un factor de

p

, podemos encontrar y examinar

\frac{p (x)}{q (x)}

Si la forma simplificada es un polinomio, entonces

p

es divisible entre

q

q

es un factor de

p

Comprueba tu comprensión

3) ¿Es $30 x^{4}$ ‍ divisible entre $2 x^{2}$ ‍?

4) ¿Es $12 x^{2}$ ‍ un factor de $6 x$ ‍?

Problemas de desafío

5*) ¿Cuáles de los siguientes monomios son factores de $15 x^{2} y^{6}$ ‍ ?

	Es factor	No es factor
$3 x^{2} y^{5}$ ‍
$5 x$ ‍
$10 x^{4} y^{3}$ ‍

Podemos determinar si un monomio

A

es un factor de

15 x^{2} y^{6}

al dividir

15 x^{2} y^{6}

entre

A

y revisar el cociente:

¡Vamos a probar esto con los monomios dados!

\begin{aligned} \frac{15 x^{2} y^{6}}{5 x} & = 3 x y^{6} \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{3 x^{2} y^{5}} & = 5 y \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{10 x^{4} y^{3}} & = \frac{3 y^{3}}{2 x^{2}} \end{aligned}

Como

3 x y^{6}

5 y

son ambos monomios, podemos concluir que

5 x

3 x^{2} y^{5}

son factores de

15 x^{2} y^{6}

Observa que el término

\frac{3 y^{3}}{2 x^{2}}

tiene un

x^{2}

en el denominador, y entonces no es un monomio. Por lo tanto concluimos que

10 x^{4} y^{3}

no es un factor de

15 x^{2} y^{6}

6*) El área de un rectángulo con alto de

x + 1

unidades y base de

x + 4

unidades es de

x^{2} + 5 x + 4

unidades cuadradas.

¿Cuáles de los siguientes son factores de $x^{2} + 5 x + 4$ ‍?

¿Por qué nos interesa factorizar polinomios?

Así como factorizar enteros se volvió muy útil para una variedad de aplicaciones, ¡lo mismo ocurre con la factorización de polinomios!

Específicamente, la factorización de polinomios es muy útil para resolver ecuaciones y para simplificar expresiones racionales.

Si te gustaría aprender más al respecto revisa los siguientes artículos:

¿Qué sigue?

El siguiente paso en el proceso de factorización involucra aprender a factorizar monomios. Puedes aprender sobre esto en nuestro siguiente artículo.

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Janeth Martinez
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avilaesquivelvictordaniel4bd
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- Claudia Pérez
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saracasla
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Al resultado de la factorización si resulta no ser un monomio, ¿ya no hay otras de maneras de sacar algún resultado?
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Esta explicado de manera sencilla porque es un tema difícil de entender finalmente. El factor de un número es el número que está contenido en el número cierta cantidad de veces exacta.
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- ISRAEL2829$#
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  Claro, tienes mucha razón, Francisco Campos.
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ramosromerojovannialexC153
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fox100399
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Una pregunta, en el ejemplo #5 en la division de monomios #3 porque el cociente tiene 2 y 3 como coeficientes?
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Ricardo Ibañez Soto
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Por que las matematicas son asi d: "en mayusculas"
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Jose Enrique Martinez Carreño
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¿cual es la forma mas rapida de factorizar un polinomio?
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Lo que necesitamos saber para esta lección

Lo que aprenderemos en esta lección

Factores y divisibilidad en enteros

Factores y divisibilidad en polinomios

Comprueba tu comprensión

Determinar factores y divisibilidad

Ejemplo 1: ¿24x4‍ es divisible entre 8x3‍ ?

Ejemplo 2: ¿4x6‍ es un factor de 32x3‍ ?

Resumen

Comprueba tu comprensión

Problemas de desafío

¿Por qué nos interesa factorizar polinomios?

¿Qué sigue?

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Ejemplo 1: ¿ $24 x^{4}$ ‍ es divisible entre $8 x^{3}$ ‍?

Ejemplo 2: ¿ $4 x^{6}$ ‍ es un factor de $32 x^{3}$ ‍?