Versión matemática de la propensión marginal al consumo y el multiplicador (opcional)

en este vídeo lo que voy a hacer es exactamente lo mismo que hice en el vídeo pasado pero en esta ocasión voy a hacer un poco más matemático la razón por la cual quiero meter un poco más de matemáticas es para que veas la misma idea claro con una notación un poco más críptica pero de una forma un poco más general ok entonces supongamos que en esta economía en vez de que la propensión marginal al consumo sea de 0.6 como era antes la apm ce ahora es de un número en general bueno lo que queremos hacer en este vídeo es ver cómo un cambio de gasto de este cuate bueno para él sería un cambio de gasto pero para el constructor sería un cambio de ingreso bueno dado ese cambio y dado también que aquí tenemos un ciclo verdad que la economía tiene este ciclo de aquí entonces cuál va a ser el efecto total en el producto interno bruto eso es lo que queremos determinar dejarlo pongo por aquí entonces déjame ponerlo aquí como delta ye mayúscula es el cambio total en el producto interno bruto vale lo podemos pensar como gasto como producción depende de cómo lo pienses bueno entonces supongamos que te quad el granjero en vez de gastar mil pesos vamos a nombrar a lo que se encontró en el calcetín como delta de cero esta es la cantidad inicial la del calcetín del test cambio y en mayúscula lo podemos pensar como gasto y este cero este pequeño cero es un indicador de que estamos en la 0a iteración esto indica que es el delta inicial y luego conforme tengamos más iteraciones vamos a ir aumentando el subíndice vale llegó uno de 23 etcétera bueno entonces si pensamos en el cambio total del producto interno bruto pues va a tener que considerar esto de aquí antes era mil pesos ahorita es del talle cero entonces acá abajo hay que poner del talle cero pero ahora hay que hacer más cosas porque el constructor recibió dinero y tiene una propensión marginal al consumo de cee entonces de lo que obtuvo va a gastar ce veces esa cantidad entonces ahora va a realizar un nuevo gasto pongamos ley del talle uno este que el siguiente paso para incrementar nuestro producto interno bruto y es igual a cero por lo que obtuvo o se hace por delta cero entonces ahora después de nuestra 0a y nuestra primera iteración el cambio total que obtenemos es de dejarlo como por acá pues se no sabes que déjame ponerlo nada más como del taller 1 y luego detalle 1 lo voy a poner así que es lo mismo que se por delta 0 va parece una anotación muy sofisticada pero en realidad no estamos diciendo nada nuevo son las mismas ideas que en el vídeo pasado ahora este cuate recibió ce del talle cero verdad que es lo mismo que del talle uno otra vez tiene una propensión marginal al consumo de ce que lo que estamos suponiendo y entonces va a gastar cbs es eso entonces ahora va a estar va a tener un gasto con el constructor con este color desde el talle 2 que es lo mismo que se por delta 1 entonces es más delta jet2 estoy acá es otro incremento pero observa que cada vez se van haciendo más y más chiquitos y para no olvidarnos cuánto vale aquí ponemos que del talle 2 es lo mismo que ese por delta y 1 que también es lo mismo porque detalla 1s por detalles 0 es lo mismo que se x del talle 0 y entonces toda esta expresión es exactamente lo mismo que se cuadrada por delta de 0 ok estoy acá es por del talle 0 y acá es del talle cero verdad aquí está la cuenta final la que va a ser en limpio ok entonces podemos seguir haciendo esto verdad si ahora el constructor obtiene esta cantidad de dinero y gasta cbs eso con el granjero entonces ahora tenemos un detalle 3ds veces lo anterior que sería sea el jugo pobre del talle cero y podemos seguir y seguir podemos sumar y sumar una infinidad de veces cada uno de estos términos se hace más pequeño de forma que cuando sumamos todo esto verdad vamos a suponer lo esperar que se está entre 0 y 1 para que todo esto funcione se está entre 0 y 1 obviamente cuando alguien no tiene dinero pues va a gastar un poquito verdad no se va a quedar todo y no va a gastar todo lo que tiene entonces su propensión marginal al consumo pues no es 1 porque si gasta todo está feo y tampoco pueden gastar más de lo que obtiene entonces vamos a suponer que está entre 0 y 1 y entonces esta es exactamente la misma idea que hicimos en el vídeo pasado pero déjame hacer esto en general va entonces todo esto es el cambio en el producto interno bruto verdad del talle mayúscula es como el empujón causado por el empujón inicial y de aquí actualizamos el empujón inicial del talle 0 dejalo como en otro color para que se vea más bonito aquí tenemos del talle 0 del talle 0 del talle 0 todo esto de acá son del talle ceros recuerda que ya se ve 0 pero es muy complicado decir ya su 0 si vas factor izamos del talle 0 tenemos que el cambio total en el producto interno bruto en la producción o en el gasto es igual a después de factorizar es igual a detalles 0 x y vamos a ver qué nos queda al principio nos queda un 1 verdad aquí del talle 0 nos hace 11 aquí queda una c luego tenemos que sumar se cuadrada más sea el cubo más y así sucesivamente muy bien en el vídeo pasado te dije que toda esta expresión se iba a simplificar a 1 entre 1 - entonces toda esta parte todo lo de aquí dije que es uno entre 1 c bueno pero a lo mejor no está satisfecho con eso y como este es el vídeo matemático nos conviene hacer las cuentas veamos entonces de dónde sale la formulita bala de 1 / 1 c ahora no quiero meter demasiadas variables pero me llamara a esto x entonces le ponemos que x x es toda esta expresión de por acá 1 c más se cuadrada más sea al cubo más y así sucesivamente y fíjate el truco consiste en multiplicar esta expresión por c y entonces qué sucede si consideramos c x déjame ponerlo en otro color qué pasa con c x pues esto de aquí sería igual saber todo esto se multiplica por cada sumando entonces aquí ese aquí este cuadrado más sean cubo más sea la cuarta más y así sucesivamente ok y mirad qué sucede ahora si restamos esto de esto voy a poner una raya para hacer la resta vamos a restar los lados izquierdos es x men x y obtenemos x menos c x a lo mejor debería usar el color rosa - quien creo que borre el color rosa bueno con blanco menos x esto de aquí es igual y en el lado derecho fíjate que sucede pues aquí muchos términos se cancelan estas c se cancelan déjame tacharlas con otro color las c cuadradas también se cancelan las se cúbicas también la será cuarta también y como vamos hasta infinito todo se cancela excepto el 1 y nada más queda este 1 de aquí entonces eso está muy padre aquí tenemos un 1 es un truco súper padre actualizando el x por acá es x por 1 c es igual a 1 y ahora sí podemos dividir ambos lados entre 1 y obtener que x es uno entre 1 - esto está súper vale x es esta expresión de acá y entonces esta expresión es igual a 1 entre 1 - c estoy acá está muy bueno verdad lo que acabo de demostrar bueno lo que acabamos de demostrar es justo lo que te dije en el vídeo pasado es decir que el cambio total en el producto interno bruto esto que habíamos escrito por acá verdad esta expresión es igual al cambio inicial al empujoncito que le dimos que aquí le pusimos del talle cero que es el gasto inicial que hizo el granjero cuando el gasto del granjero o bien el ingreso inicial del constructor entonces el cambio total es ese cambio inicial por esta expresión de aquí a la cual le pusimos el multiplicador y esto de aquí está bien padre esta expresión está en función de c y c es la propensión marginal al consumo esto de aquí déjame lo pongo de alguna forma como lo escribiré pues no lo voy a escribir así entonces el cambio total de nuestro gasto agregado o nuestro ingreso agregado o como quieras pensarlo va a ser igual al cambio inicial x vaya sorpresa el multiplicador y otra vez este multiplicador está en función de la propensión marginal al consumo entonces esta expresión de aquí es nuestro multiplicador multiplicador multiplicador y esto de acá es nuestro cambio inicial ahora nada más para ver que cuadran las cosas vamos a verificar las cuentas del último vídeo en este teníamos que la propensión marginal al consumo era de punto 6 entonces se era igual a 0.6 nuestra detalle 0 nuestro gasto inicial era de 1000 y vamos a ver cuánto nos da si ponemos puntos 6 aquí obtenemos 2.5 y es el mismo multiplicador como aquí también es 1000 entonces a final de cuentas obtenemos el mismo aumento del pib que en el vídeo pasado bajo los padres que ahorita tenemos una fórmula más en general espero no haberse enredado mucho con la anotación y bueno la mala noticia es que en otros textos va a haber notaciones distintas pero bueno espero que esto te haya sido de ayuda