Definir rotaciones precisamente

El siguiente es un diálogo entre un profesor y un estudiante. Su objetivo consiste en describir las rotaciones en general, usando un lenguaje matemático preciso. Como verás, el estudiante debe revisar su definición varias veces para hacerla cada vez más clara. ¡Disfrútalo!

Hoy trataremos de describir de manera general qué hacen las rotaciones.

Si tenemos una rotación de $\theta$‍ grados con respecto al punto $P$‍. ¿Cómo describirías el efecto de esta rotación sobre otro punto $A$‍?

¿Qué quieres decir? ¿Cómo puedo saber qué le hace la rotación al punto $A$‍ si no sé nada acerca de esto?

Es cierto que no sabes nada de esta rotación particular, pero todas las rotaciones se comportan de manera similar. ¿Puedes pensar alguna forma de describir lo que la rotación le hace al punto $A$‍?

Eh... Déjame pensar... Bueno, creo que $A$‍ se mueve a otra posición, relativa a $P$‍. Por ejemplo, si $A$‍ hubiera estado a la derecha de $P$‍, tal vez ahora estaría arriba de $P$‍, o algo así. Esto depende de qué tan grande sea $\theta$‍.

Excelente. Podemos describir lo que acabas de decir de esta manera:

Sí, estoy de acuerdo con esta definición.

Recuerda, sin embargo, que en matemáticas debemos ser muy precisos. ¿Solo hay una forma de crear un ángulo $\mathrm{\angle }P$‍ que sea igual a $\theta$‍?

Déjame ver... No, hay dos formas de crear ese ángulo: en sentido horario y en sentido antihorario.

¡Correcto! Las rotaciones se realizan en sentido antihorario y nuestra definición debería reconocer que:

Claro que si $\theta$‍ es una medida negativa, la rotación es en la dirección opuesta, o sea en sentido horario.

Bien. ¿Ya terminamos?

Tú dime. La definición debe hacer completamente claro adonde se mapea $A$‍. En otras palabras, solo debe haber un punto que corresponda a la descripción de $B$‍.

¿Solo hay un punto que crea un ángulo en sentido antihorario igual a $\theta$‍?

Yo creo que sí... ¡Espera! ¡No! ¡Hay muchos puntos que crean este ángulo! Cualquier punto sobre el rayo que va de $P$‍ a $B$‍ tiene un ángulo $\theta$‍ con $A$‍.

¡Buena observación! Entonces, ¿puedes pensar en algo que mejore nuestra definición?

Si, además de que el ángulo sea igual a $\theta$‍, la distancia a $P$‍ debe permanecer igual. Creo que esto lo puedes definir matemáticamente como $PA=PB$‍.

¡Bien hecho! Podemos resumir todo nuestro trabajo en la siguiente definición:

Genial, ¡esto es muy preciso!

De hecho. Como un extra, déjame mostrarte otra forma de definir las rotaciones:

Sí, esto también funciona porque todos los puntos de un círculo tienen la misma distancia a su centro.

¡Exacto! La principal diferencia entre las dos definiciones es que la primera usa segmentos de recta y la segunda usa un círculo.

Bien. ¿entonces eso es todo?

Sí. Creo que ya definimos las rotaciones tan precisamente como podemos.