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Curso: 11º Grado Piloto (Innova Schools) > Unidad 4

Lección 2: Razones trigonométricas de ángulos agudos

Razones trigonométricas notables de ángulos agudos en triángulos rectángulos

Razones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos notables

Lo que necesitas saber para esta lección

Previamente debes revisar la lección sobre Razones trigonométricas de triángulos rectángulos.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección ampliarás tu aprendizaje sobre las razones trigonométricas de triángulos rectángulos. En este caso, los triángulos tendrán ángulos agudos notables de

30 °

60 °

;

45 °

45 °

37 °

53 °

Imagina que Carol observa dos barcos desde la parte superior de un faro y quiere hallar cuál es la distancia que hay entre estos barcos.

Para resolver esta situación, podemos hacer uso de las razones trigonométricas. Sin embargo, dado que los ángulos de los triángulos que se muestran en este caso, son ángulos notables (

45 °

37 °

), podemos aplicar la relación entre sus lados.

A continuación, presentamos las razones trigonométricas de los triángulos rectángulos notables.

Razones trigonométricas de ángulos notables

Observa la medida de los ángulos agudos de cada uno de los triángulos y la relación entre sus lados que, como ya sabes, son relaciones que se mantienen constantes.

Como se observa en la figura, tenemos 3 triángulos para los cuales podemos hallar sus razones trigonométricas. Veamos el caso para el triángulo de

37 °

53 °

Triángulo de $37 °$ ‍ y $53 °$ ‍

Consideremos las razones trigonométricas para el ángulo agudo que mide

37 °

en el siguiente triángulo notable:

Como aprendiste en la lección previa, utilizaremos SOH-CAH-TOA como una manera sencilla de recordar las razones trigonométricas.

De este modo, las razones trigonométricas se describen de la siguiente forma:

\begin{aligned} \sin 37 ° = \frac{3 k}{5 k} = \frac{3}{5} \\ \cos 37 ° = \frac{4 k}{5 k} = \frac{4}{5} \\ \tan 37 ° = \frac{3 k}{4 k} = \frac{3}{4} \end{aligned}

Ahora, dado que cada una de estas razones tiene razón inversa, fácilmente obtenemos las otras razones:

Para un mismo ángulo agudo, el producto de dos razones trigonométricas inversas es igual a 1. Así, se tiene

El seno y la cosecante de un mismo ángulo son razones inversas, porque $\sin α . \csc α = 1$ ‍
El coseno y la secante de un mismo ángulo son razones inversas, porque $\cos α . \sec α = 1$ ‍
La tangente y la cotangente de un mismo ángulo son razones inversas, porque $\tan α . \cot α = 1$ ‍

\begin{aligned} \csc 37 ° = \frac{5 k}{3 k} = \frac{5}{3} \\ \sec 37 ° = \frac{5 k}{4 k} = \frac{5}{4} \\ \cot 37 ° = \frac{4 k}{3 k} = \frac{4}{3} \end{aligned}

Del mismo modo, podemos encontrar la razones trigonométricas para el ángulo de

53 °

, así como para los otros triángulos rectángulos con ángulos agudos notables, teniendo en cuenta las relaciones entre sus lados.

Razones trigonométricas de ángulos agudos notables

Como se mostró en la sección anterior, podemos hallar las razones trigonométricas de otros ángulos notables. Observa.

Razón	$30 °$ ‍	$60 °$ ‍	$45 °$ ‍	$37 °$ ‍	$53 °$ ‍
$sen α$ ‍	$\frac{1}{2}$ ‍	$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ‍	$\frac{1}{\sqrt{2}}$ ‍	$\frac{3}{5}$ ‍	$\frac{4}{5}$ ‍
$cos α$ ‍	$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ‍	$\frac{1}{2}$ ‍	$\frac{1}{\sqrt{2}}$ ‍	$\frac{4}{5}$ ‍	$\frac{3}{5}$ ‍
$tan α$ ‍	$\frac{1}{\sqrt{3}}$ ‍	$\sqrt{3}$ ‍	$1$ ‍	$\frac{3}{4}$ ‍	$\frac{3}{4}$ ‍
$cot α$ ‍	$\sqrt{3}$ ‍	$\frac{1}{\sqrt{3}}$ ‍	$1$ ‍	$\frac{4}{3}$ ‍	$\frac{4}{5}$ ‍
$sec α$ ‍	$\frac{2}{\sqrt{3}}$ ‍	$2$ ‍	$\sqrt{2}$ ‍	$\frac{5}{4}$ ‍	$\frac{5}{3}$ ‍
$csc α$ ‍	$2$ ‍	$\frac{2}{\sqrt{3}}$ ‍	$\sqrt{2}$ ‍	$\frac{5}{3}$ ‍	$\frac{5}{4}$ ‍

Estas relaciones se utilizan constantemente en situaciones que involucran simplificar expresiones trigonométricas.

Resolvemos la situación

Ahora ya podemos ayudar a Carol a encontrar la distancia entre los barcos, utilizando las razones trigonométricas de ángulos agudos. Recordemos la situación:

Carol observa dos barcos desde la parte superior de un faro y quiere hallar cuál es la distancia que hay entre los barcos.

Observando con atención el gráfico, podemos notar que:

En el $△ A B C$ ‍ (de $45 °$ ‍ y $45 °$ ‍): $A B = B C = 21 m$ ‍
En el $△ A B D$ ‍ (de $37 °$ ‍ y $53 °$ ‍):

\begin{aligned} \cot 37 ° = \frac{B D}{21} \\ \Rightarrow B D = 21 \cot 37 ° \\ \Rightarrow 21 \times \frac{4}{3} = 28 \end{aligned}

Luego,

B D = 28 m

Como

B D = 21 + x = 28 \Rightarrow x = 7

Por lo tanto, la distancia que hay entre los barcos es de 7 metros.

Comprueba tu comprensión

1) Calcula

\frac{\tan 45 ° + \cot 45 °}{\cos 60 °}

2) Resuelve

\sin (α + 10 °) = \frac{2}{3} \tan 37 °

, halla el valor de

\csc (α + 10 °)

3) Resuelve

Encuentra el valor de

x

, si

x \sin 30 ° \cot 45 ° = \tan 45 ° - \cos 60 °

x =

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FARFAN VILLALOBOS, jesse james
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “Si a es un ángulo agudo, ...” de FARFAN VILLALOBOS, jesse james
Si a es un ángulo agudo, tal que tan (α/2 = 1), halla el valor de cot (a/3)
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