Identidades de senos y cosenos: periodicidad

digamos que tenemos un ángulo theta aquí tenemos un ángulo theta y lo estoy dibujando sobre el círculo unitario con la convención usual de que el rayo inicial del ángulo es la parte positiva del eje x mientras que el punto de intersección del radio final con el círculo unitario determinan coseno de teta y seno de teta así es que el coseno dt está el coseno de teta dejan usar un color que resalte aquí el coseno de teta es la coordenada en x del punto donde el rayo final intersecta el círculo unitario podemos considerar entonces que el coseno de teta es la longitud de este segmento que estoy dibujando en color púrpura la longitud de este segmento que tenemos aquí corresponde entonces a coseno de teta mientras que la coordenada en ye del punto de intersección es el seno de theta lo cual corresponde a la longitud de esta línea que tenemos aquí la distancia del punto al eje x corresponde a la coordenada n es decir la longitud correspondiente a este segmento es no detecta y esto hace sentido nos muestra la correspondencia del círculo unitario con la definición de shock actual recuerda soca todas vamos a escribirlo acá tohá esto sólo es seno el seno del ángulo el seno de teta es igual al cateto opuesto seno de teta es igual al cateto puesto que en este caso mide seno de teta es igual al cateto opuesto que es seno de teta entre la hipotenusa pero la hipotenusa vale 1 pues es el radio del círculo unitario así es que seno ett es igual a 0 etc otra manera de ver esto es que el seno de teta es igual al cateto opuesto entre la hipotenusa el cateto opuesto dividido entre la hipotenusa que es 1 el cateto opuesto dividido entre 1 es cateto opuesto con lo cual el cateto opuesto es igual al seno de teta o el seno de teta es igual al cateto opuesto lo mismo aplica para coseno coseno de teta es igual adyacente es igual al cateto adyacente sobre hipotenusa y dado que la hipotenusa vale 1 esto es igual al cateto adyacente el coseno de teta es la longitud del cateto adyacente esto no es más que un repaso verificando que la definición de soca tohá corresponde a la definición del círculo unitario hagamos algo interesante este es el ángulo theta ahora consideramos el ángulo theta más pi sobre dos tetas y sobre dos si voy a sumarle pi sobre dos a este ángulo voy a obtener un rayo que es perpendicular al primero al sumar ti sobre dos y cuando digo pi sobre dos se entiende que son pi sobre dos radiales y pi sobre dos radiales ya sabemos que equivale a 90 grados así es que básicamente estamos agregando un ángulo de 90 grados así es que este ángulo este ángulo que tenemos aquí este está más y sobre 2 ahora lo que quiero hacer aquí y creo que es la parte más interesante de este vídeo podemos relacionar seno de teta más y sobre 2 ya sea con el seno de teta o con el coseno de teta te invito a que le pongas pausa el vídeo y trates de hacer esto por tu cuenta antes de que lo hagamos juntos bien el seno de teta más y sobre 2 es a partir de la definición del círculo unitario la coordenada en y de este punto esto de aquí esta longitud que tenemos aquí déjame marcarla esta longitud que tenemos aquí esta longitud corresponde al seno de teta más pi sobre dos seno de teta más y sobre dos ahí lo tenemos cómo se relaciona esto con lo que obtuvimos aquí previamente al ver la gráfica parece que agarramos este triángulo y lo rotamos 90 grados 90 grados que es de hecho lo que hicimos tomamos este lado terminal y le sumamos 90 grados o pi sobre dos radiales y si queremos ser más rigurosos con esto todo este ángulo que marcamos con blanco aquí me de teta más y sobre 2 como la parte que abarca el primer cuadrante mide y sobre 2 entonces este ángulo de aquí me de teta ahora considerando esto que tenemos aquí si tratamos de relacionar este lado que pinte aquí en magenta con este ángulo teta en amarillo de acuerdo a la definición de shock actúa aquí con respecto a teta este es el cateto adyacente consideremos esto con más detalle cómo podemos relacionar el cateto al día sentí la hipotenusa y aquí por supuesto la hipotenusa vale 1 pues estamos en el círculo unitario coseno nos relaciona adyacente hipotenusa tenemos entonces que el coseno de este ángulo teta coseno de teta es igual al cateto adyacente que ya vimos que es el seno de teta más lo voy a mover un poco para abajo esto es igual al seno de teta más y sobre 2 sobre la hipotenusa que mide 1 sobre 1 lo cual es igual simplemente a seno de teta más y sobre 2 estupendo hemos obtenido una sorprendente relación entre coseno y seno coseno de teta es igual al seno de teta más pi sobre 2 o también podríamos establecer la como seno de teta más y sobre 2 es igual a jose no detecta te invito que al terminar este vídeo intentes obtener otras relaciones con que se relaciona por ejemplo seno de teta o con que se relaciona con seno de teta más y sobre 2 te invito a que intentes obtener otras relaciones por tu cuenta