Determinar semejanza de triángulos

aquí tenemos varios triángulos y queremos determinar si algunos de ellos son semejantes y para eso vamos a utilizar los criterios de semejanza que ya vimos vamos a empezar con este ejemplo de aquí aquí tenemos el triángulo ac y el triángulo bsd y observa que estos dos triángulos comparten el ángulo en sí además de esto tenemos marcado que es paralela a bd y por esta razón los ángulos correspondientes por esta transversal son iguales es decir este ángulo de acá es congruente a este ángulo de acá y con esto terminamos esto nos permite concluir que el ac y dbc son triángulos semejantes utilizando el criterio ángulo ángulo este ángulo es congruente a este y este ángulo pues es 'urgente' asimismo vale entonces déjame apuntarlo por aquí arriba tenemos que el triángulo el triángulo e es semejante a y aquí hay que ser cuidadosos tenemos que ir en el orden correcto verdad de naranja a azul a nada entonces vamos de naranja al triángulo de azul c a nada de esto es por el criterio ángulo ángulo ángulo ángulo muy bien vamos a este segundo ejemplo este se parece un poco al de la izquierda otra vez tenemos dos triángulos con un ángulo en común aquí arriba pero ahora no sabemos si esta recta es paralela a ésta parece que no lo son pero aunque parecieran no hay que dejarnos guiarnos nada más por nuestra vista tendría que estar marcado que son paralelas para de adeveras poder usar eso vale bueno entonces no podemos suponer que son paralelas sin embargo tenemos información acerca de los lados a lo mejor eso puede ayudar vamos a ver si las razones correspondientes entre las parejas de lados son las mismas vale entonces déjame déjame tomar el color naranja para marcar este lado de acá entonces vamos a intentar verificar si x xy entre y aquí hay que ser cuidadosos o sea que es lo que podría resultar este es el lado chiquito del triángulo pequeño entonces éste tendría que corresponderse con el lado chiquito del triángulo grande eso lo que nos motiva a hacer es comparar x y con x con este grande de acá vale entonces la razón que vamos a hacer es xy entre xt y nos vamos a preguntar si esa razón es la misma que voy a tomar otro color rojo está bien xz xz ahora es el lado grande del triángulo pequeño comparado o bueno dividido entre el lado grande del triángulo grande entonces sería dividido entre x s x s pues vamos a hacer las cuentas a ver qué pasa x ya tenemos que es 2 entonces esto sería 2 y existe existe tenemos que es 3 + 1 entonces esto sería 4 y queremos ver si dos cuartos es lo mismo es lo mismo que x z o sea 3 / / x s y x s es 24 o sea de 6 entonces queremos ver si 2 cuartos es igual a 3 sextos y si estas dos fracciones son iguales las dos son iguales a un medio y por lo tanto aquí podemos utilizar el criterio del criterio lado ángulo lado entonces déjame poner que los triángulos son semejantes que el triángulo y aquí hay que ser particularmente cuidadosos porque como que volteamos los lados va entonces el triángulo de x zeta x z es semejante semejante al haber fui de y por el lado pequeño hasta x entonces vamos de t hasta x al triángulo de x s t x s vale y ahora estoy aquí es por el criterio por el criterio lado ángulo lado los lados no tienen que ser congruentes simplemente deben de estar en la misma proporción vale bueno vamos al tercer ejemplo es esta figura de acá tenemos un ángulo recto y tenemos una línea que va a este punto b pero no nada acerca de esta línea parece ser que aquí es perpendicular pero si no está marcado no podemos suponer lo entonces vamos a ver si podemos encontrar triángulos semejantes a ver el bdc y el cda pues tiene en este lado en común tienen este ángulo en común pero no tenemos mucho más verdad a ver qué tal el verde con el verde con el de hace pues también tenemos este ángulo en común este lado en común pero no mucho más y estos dos triángulos pequeños de aquí tienen este lado en común pero pues no sabemos nada en realidad tenemos muy poquita información y entonces aquí no podemos determinar nada acerca de los de semejanzas vale si aquí tuviéramos un ángulo recto las cosas serían un poco más interesantes porque ahora sí compartirían el pequeño y el grandote compartiría en este ángulo y este de acá pero bueno no lo tenemos así que aquí no podemos determinar nada vale bueno ahora vamos a este ejemplo de aquí en este ejemplo de aquí tenemos las longitudes de los lados de los triángulos y ahora si los triángulos están separados entonces pues lo más razonable sería pues si están en la misma proporción cada una de las parejas de lados correspondientes vale a ver las parejas de lados correspondientes tendrían que ser pues vamos por tamaños aquí en el lado más pequeño mide 3 y acá es el de 9 raíz de 3 entonces ésta tendría que corresponderse con esta ahorita vemos qué pasa va luego el siguiente el mediano es este de aquí y tendría que ir con este de acá y finalmente finalmente déjame agarrar el color rojo este de aquí tendría que corresponderse con este de acá entonces vamos a ver si las razones si quedan vamos a ver si 33 entre 9 raíz de 3 entre 9 raíz de 3 es igual a 3 raíz de 3 3 raíz de 3 entre entre 27 y también hay que ver si eso es igual a 10 es igual a 66 entre 18 raíz de 3 bueno vamos a hacer las cuentas aquí este 3 se cancela con este 9 nos queda 1 entre 3 raíz de tres en el de aquí en medio el 3 se puede cancelar con el 27 nos queda raíz de 3 entre 9 esto parece distinto pero ahorita lo vemos con más calma y finalmente este 6 con este 18 se cancela aquí se hace un 1 y aquí abajo nos queda 3 raíz de 3 entonces el primero y el último son iguales nos queda 1 entre 3 raíz de 3 eso está bien el primero con el último pero el de medio se ve un poco más sospechoso verdad aquí tenemos 1 entre 3 raíz de 3 y aquí aquí tenemos raíz de 3 entre 9 bueno vamos a racionalizar esto de aquí porque a lo mejor racionalizando lo vemos que es igual esto de acá entonces esta expresión es uno entre tres raíz de tres para racionalizar multiplicamos por raíz de tres arriba y abajo raíz de 3 arriba nos queda a raíz de 3 esto simplemente es un 1 entonces la expresión no se altera y abajo nos queda 3 por raíz de 3 por raíz de 3 raíz de 3 por raíz de 3 33 por 39 entonces nos queda la raíz de tres entre 9 y eso está muy padre porque eso es justo justo lo que estaba en la expresión de aquí en medio entonces estas tres razones son la misma y por lo tanto estos dos triángulos estos dos triángulos son semejantes vamos a ver si cabe por aquí el triángulo el triángulo efe efe efe es semejante con triángulos semejantes es semejante al triángulo a ver hay que ser cuidadosos él es el opuesto al naranja entonces aquí tiene que ser h al triángulo h h luego va el g que es el opuesto al azul entonces tiene que seguir jota y bueno la tercera letra tiene que ser que vale entonces vamos a ver si es rojo vamos avanzando de aje o sea rojo naranja naranja azul y aquí también tiene que ser en que se rojo naranja azul muy bien entonces estos dos triángulos son semejantes por el criterio el l el que simplemente pide que sean proporcionales va y bueno para terminar vamos con estos triángulos de aquí estos triángulos pues son como medio truculentos porque ve comparten un ángulo este ángulo es igual este de acá y además parece ser que tienen la misma proporción porque para pasar de 4 a 8 multiplicamos por 2 y para pasar de cinco a diez también multiplicamos por dos sin embargo hay que ser muy cuidadosos porque aquí aquí tenemos que los lados nos dan son los correspondientes al ángulo que nos dan pero aquí tenemos que el ángulo está por otro lado entonces en realidad este lado no es correspondiente a este de acá sino tal vez a este de acá y este no es correspondiente este de acá vale sino correspondiente a este de acá es el opuesto a este de acá entonces bueno o sea así parece que son semejantes pero es una ilusión óptica en realidad no lo son porque porque no tenemos los lados correspondientes correspondientes proporcionales y entonces no podemos utilizar lado a ángulo lado sería otra historia si tuviéramos el 5 porque entonces ahora sí tendríamos los dos lados proporcionales alrededor del ángulo correspondiente pero como no lo tenemos no podemos decir nada interesante acerca de la semejanza