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Contenido principal
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Transcripción del video

en este vídeo quiero graficar la función logaritmo en este plano cartesiano que tengo aquí y también la función exponencial las dos en este mismo plano cartesiano para ver cómo están relacionadas entre sí justo lo que quiero hacer en este vídeo es comparar estas dos funciones de una manera visual así que en esta ocasión quiero trabajar con la función quién es igual a 2 elevado a la equis ok y también quiero trabajar con la función que es igual al logaritmo al logaritmo en base 2 de x ok quiero trabajar con estas dos funciones hacer una tabla para cada una de ellas y así poder graficar las las dos en este plano cartesiano y entonces voy a poder compararlas y entender de una manera visual cómo están relacionadas estas dos funciones pero antes me gustaría que lo intentara por ti mismo así que te encargo que pases este vídeo e intentes hacerlo para ver a qué conclusión llegas muy bien pues ahora que tengo estas dos funciones aquí qué te parece si empezamos con esta función de color salmón vamos a trabajar con es igual a 12 la equis y para esto voy a hacer una tabla así que déjame poner aquí una tabla aquí tengo a x ok y aquí tengo ahí ok y vamos a hacer una tabla así que déjenme ponerle aquí la tabla voy a hacer una recta por aquí ok y voy a hacer otra recta por aquí ok y vamos dándole algunos valores a x para ver qué obtenemos de gemma así que qué te parece si empezamos esta tabla con x igual a menos 2 ok o espera déjame cambiar la herramienta menos 2 ok menos 1 - 1 ok 0 0 ok y dos y por último tres y por último tres ok y cuánto vale y bueno si te das cuenta y déjenme ponerlo con este color si yo digo que es igual a dos a la x cuando x vale menos 2 bueno tendría 2 elevado al menos 202 elevado al menos 2 es lo mismo que uno entre dos lados y esto es un cuarto estás de acuerdo esto es un cuarto ok y si yo pongo menos uno menos uno en lugar de x tengo dos elevado a la menos uno y bueno eso es lo mismo que un medio y si yo pongo cero bueno dos elevado a la cero eso es uno todo número elevado de acero es uno excepto el cero claro está y si yo sustituyó x por uno me quedaría 2 a la 1 lo cual es 22 en la 2 los cuales 423 lo cual es 8 de lujo y bueno ya que tengo esta tabla de aquí qué te parece si ahora lo ponemos aquí en este plano cartesiano dice cuando x vale 3 lleva de 8 así que estoy aquí en el 3 al quite que me ponerlo con este mismo color vale 8 es decir estoy como por acá ok pongamos un punto cuando x vale 2 vale 4 ok 2 y 4 estoy más o menos por acá ok 1 y 2 a 1 y 2 estoy como por acá 0 y 1 ok es este punto de aquí y después cuando vale menos 1 x llévale un medio menos 1 en x que es este de aquí vale un medio un medio es esté aquí ok y cuando x vale menos 2 llevarle un cuarto un cuarto está como por aquí ok y bueno también podemos decir que cuando x vale menos 3 va a valer un octavo y después voy a ir pegando cada vez más y más y más al eje de las x y bueno si ahora unimos todos los puntos se va a ver más o menos así se va a ver una gráfica más o menos así déjame hacer algo más o menos por aquí esta es la típica función exponencial ok casi todas las muchas exponenciales tienen esta forma las típicas funciones exponenciales y después por acá va para acá ok más o menos estos dos se unen y después estos dos se unen más o menos así ok y después esto se hace más o menos así ok vamos a unir estos dos de lujo y por último ahora tengo que llegar hasta acá entonces estos se unen más o menos a algo así y que de hecho estas funciones exponenciales me gustan mucho porque si te das cuenta empiezan a crecer de una manera déjame ponerlo así empiezan a crecer una manera muy lenta muy lenta muy lenta muy lenta llegan a este punto y de repente un bang hop hasta que llegan es decir de una manera rapidísima crecen y bueno esto sigue creciendo y sigue creciendo sigue creciendo y cabe mencionar que esta gráfica de esta función exponencial se va acercando al eje de las x cuando x se va haciendo cada vez más negativa pero nunca lo toca es decir que si yo pongo 2 elevado a la menos 1000 por ejemplo bueno estamos en un valor muy pero muy pero muy cerca al cero sería más o menos como por aquí pero no tocamos nunca el eje de las x está esta es la clásica forma que tienen una función exponencial ok déjame volver a ponerle bien algo más o menos así ok de 2 elevado a la equis de lujo bueno esta función se acerca el eje de las x cuando x es muy pero muy negativa y después crece desmesuradamente de lujo ahora pensemos en es igual a logaritmo en base 2 de x y seguramente lo primero que estás diciendo es oye sal eso se ve bastante difícil cómo vamos a encontrar la gráfica de esto pero recuerda que al final esto es exactamente lo mismo es exactamente lo mismo lo podemos ver con un lenguaje equivalente que decir a qué potencia tengo que elevar 2 para que me dé el valor de x si yo quiero obtener el valor de x a qué potencia tenga que elevar a este 2 o dicho de otra manera lo podemos ver como que dos elevado al aire esto es exactamente lo mismo que x 2 elevado al aiem es lo mismo que x esto es lo mismo que decir que ya es igual al logaritmo envase 2 de xy si te das cuenta en este momento lo único que estoy haciendo de esta función acá es intercambiar la x por la jem ahora tengo 2 elevado la i es igual a x mientras que en un inicio tenía que es igual a 2 elevado a la x por lo tanto haciendo este pequeño cambio es decir intercambiando la x por la yema si te das cuenta fue lo único que pasó aquí abajo voy a hacer una tabla que me sirva para en contra de los valores de una manera mucho más sencilla de esta función que tengo aquí es decir que si yo pongo aquí a x a x y aquí voy a poner dos pero esperar sino un signo de igual y aquí voy a poner hay quien entonces vamos a hacer una pequeña tabla y al final creo que allá más o menos te estás imaginando qué es lo que está pasando porque lo único que estoy haciendo es intercambiando la x por la que me estoy intercambiando estas dos y eso es lo que representa mi función logaritmo en base 2 de x así que si nosotros tomamos algunos valores para x pero voy a tomar algunos valores que sean fáciles de obtener aquí con me voy a tomar un cuarto o déjame cambiar de herramienta un cuarto ok también me voy a tomar un medio ok también voy a tomar uno ok me voy a tomar 2 4 y 8 y si te das cuenta como lo estamos haciendo justo al revés entonces estos valores me van a servir porque son estos mismos y ya sé que es lo que me tienen que dar james o en este caso x lleva a hacer lo contrario a esto o dicho de otra manera que potencia toma ayer cuando x vale un cuarto 2 elevada que potencia me da un cuarto y bueno eso sabemos que es menos 2 entonces aquí me quedaría menos 2 ok leamos de esta manera aquí potencia tengo que elevar dos para que me dé un medio bueno pues eso es menos 1 ok vamos a ponerlo así el lugar y no en base 2 de 1 dicho de otra manera aquí potencias tenemos que elevar el 2 para que me dé 1 bueno eso es 0 ok a qué potencia tenemos que elevar el 2 para que me dé 2 esos 1 ok a qué potencia tenemos que elevar el 2 para que me dé 4 bueno 2 y por último a qué potencia tenemos que elevar el 2 para que me dé 8 eso es tres de lujo y bueno como este 8 está muy pero muy pero muy pequeño déjeme mejor hacerlo un poco más grande ok de lujo y ahora ya que tenemos estos datos y estos datos vamos a graficar los justo aquí así que para eso déjame utilizar el mismo color dice cuando x vale un cuarto que vale menos dos cuando x vale un cuarto es decir estamos como por aquí que valen menos dos estamos justo aquí en este punto de aquí cuando x vale un medio que vale menos uno ok un medio en x vale menos uno estaríamos justo por aquí cuando x vale uno que vale cero cuando x vale uno lleva al de cero estamos en este punto de que cuando x vale 2 de vale 1 2 y 1 ok cuando x vale 4 que vale 2 cuando x vale 4 que vale 2 y hasta acá hasta acá en el 8 que vale 3 1 2 3 ok es tenemos justo por aquí y bueno también podemos ver que está esta gráfica de aquí se vaya acercando al eje de las íes pero nunca lo toca se va a ir acercando el eje slayer es algo más o menos como por aquí se va a ir acercando se vaya acercando pero nunca lo toca y después empieza a subir por acá por acá espera esto va más o menos así ok y si te das cuenta se parece mucho mucho a la gráfica fue exponencial lo único que cambia es que estas dos funciones y bueno yo estoy seguro que ya sospechaba sesto estas dos funciones se parecen tanto que es un reflejo la una de la otra pero seguramente te estás preguntando bajo qué se están reflejando si son dos funciones que se parecen tanto bueno como es que estamos reflejando a esta función para que me dé esta y la respuesta es que se están reflejando por medio de la función identidad si yo trazo aquí la función de identidad entonces estas dos gráficas se están reflejando la una a la otra es como si pusiera un espejo en esta función identidad y lo mismo que pasa de este lado está pasando de este otro lado si te das cuenta estas dos gráficas son simétricas la una a la otra con respecto a esta línea de igual a equis y esto pasa y es lo más importante de este vídeo esto pasa porque estas dos funciones son funciones inversas eso quiere decir que esta función es inversa de la otra intercambiamos la equis por la jep y la ye por la equis y así obtenemos la otra función y viceversa estas dos funciones son inversas y es por eso que pasa que esta función exponencial cuando la reflejamos a través de la recta identidad llego a la equis obtenemos esta gráfica la función y es igual a logaritmo en base 2 de x 10 más lo puedes ver aquí cuando x es más y más y más negativa entonces esta gráfica exponencial se acerca al 0 y viceversa cuando en la función logaritmo en base 2 de x lai es cada vez más y más y más negativa entonces nos vamos acercando al eje layes o dicho de otra manera cuando x tiende a 0 la que se vuelve cada vez más negativa y esto sucede porque estas dos funciones son funciones inversas y justo aquí lo tenemos representado de una manera visual cuando estamos viendo que esta función es el reflejo de esta otra función bajo la recta de la equis estas dos gráficas son simétricas bajo esta recta