Ejemplo resuelto: dominio y rango de funciones lineales definidas por partes

tenemos una función lineal por pedazos por aquí donde para distintos intervalos de nuestra variable x está definida por líneas distintas verdad aquí tenemos las funciones que nos definen líneas ahora bien dependiendo de qué intervalo consideremos tendremos una línea distinta así que primero pensemos en su dominio para después ver qué pasa con su rango ok entonces pensemos qué es lo que va a ocurrir con el dominio de esta función y recordemos que el dominio es el conjunto de valores de entrada que en este caso son las x verdad para los que la función g está definida muy bien así que eso lo podemos checar del lado derecho en los intervalos que que nos definen las líneas para la variable x verdad por ejemplo x necesariamente tiene que ser mayor que menos 6 verdad después sigue creciendo al menos 3 salta por ejemplo aquí a menos 3 y sigue hasta 4 después de 4 salta de esta otra parte y llegamos hasta el valor 6 quiere decir que no está definida para ningún valor más chico o igual que menos 6 verdad y eso nos lo da esta parte de aquí arriba nuevamente no tenemos ningún agujero desde menos 6 hasta menos 3 después saltamos a esta segunda parte y subimos hasta 4 y después saltamos a esta otra parte y llegamos hasta 6 verdad entonces no está definida para ningún valor de más chico o igual que menos 6 por otro lado aquí estamos viendo justamente que nuestro valor x tiene un tope máximo verdad que es justamente en 6 no no está definida esta función para valores más grandes que 6 por ejemplo nuestra definida para 7 no está definida para 8 simplemente no hay ninguna regla que nos diga cómo operar con x más grande que 6 verdad y por supuesto no tenemos agujeros por ejemplo aquí llegamos hasta menos 3 y lo estamos incluyendo y en el siguiente paso ya no estamos incluyendo a -3 verdad seguimos hasta 4 no lo incluimos pero después si lo incluimos en esta tercera regla de correspondencia así que podemos concluir fácilmente que el dominio digamos vamos a expresar lo de forma muy matemática el dominio son todos los valores de x tales que todos los valores de x que son números reales verdad que es un elemento de los números reales tales que menos 6 es más chico que x eso es esta parte de acá arriba y es menor o igual x es menor o igual que 6 que es esta parte de abajo ahora bien otra forma quizás no muy matemática de decir exactamente lo mismo es que x puede ser puede ser cualquier número real puede ser cualquier número real y eso esta parte de verdad cualquier número real tal que tal que hay que ponerle una restricción tal que menos 6 es más chico que x y es menor o igual x es menor o igual que 6 muy bien y ahí tenemos el dominio ahí tenemos el dominio de nuestra función ahora qué pasaría con el rango de nuestra función y recordemos que el rango son todos aquellos valores posibles que puede tomar nuestra función que verdad son todos los valores de salida que puede tomar la función g así que para determinar el rango tenemos que ver cuáles son todos los valores posibles que podemos tomar en cada uno de estos pedazos así que vamos a ponerlo así gx en este pedazo puede ser mayor que algo y menor que algo aquí también puede ser mayor que algo y menor que algo y gtx puede ser mayor que algo o menor que algo y por supuesto a lo mejor en algunos casos puede incluir alguno de los dos extremos pero eso lo iremos viendo a medida que vayamos analizando esta función muy bien empecemos con esta primera parte muy bien si nos fijamos por ejemplo en esta primera función que define ag x en este pedazo es x 7 y si queremos ver por ejemplo el valor más chico que puede tener esta función pues correcto corresponde justamente al valor más chico que podría alcanzar x verdad y por supuesto eso es cuando se aproxima tanto como queramos a menos 6 verdad entonces digamos que x valiera menos 6 y ya sé que no está incluido en este intervalo pero digamos que podemos aproximarnos mucho mucho menos 6 en un caso digamos extremo que valiera menos 6 la función de aquí valdría menos seis más siete que es una verdad es uno entonces obviamente tenemos que el valor más chico corresponde al valor más chico que pueda tomar x porque estamos sumando verdad eso corresponde a sumarle lo menor que podamos sumar le digamos a 7 verdad ahora bien cuál sería el valor más grande pues cuando podamos sumarle lo más que podamos sumar que en este caso corresponde al valor menos 3 verdad cuando sustituimos menos 3 en esta expresión tendremos menos 3 7 nos da 4 y ojo algo que hay que notar es que en este caso si podemos incluir el menos 3 verdad entonces la en este pedazo si alcanzamos el valor 4 en este caso no alcanzamos el valor 1 porque nos aproximamos a menos 6 pero no tomamos exactamente el valor de menos 6 muy bien vamos a ver qué pasa con el siguiente caso muy bien aquí tenemos digamos esta función que define a este pedazo es 1 - x quiere decir que la función está restando x entonces para tener el mayor valor posible tenemos que restar lo menos que se pueda porque por ejemplo si si restamos un número muy grande pues esto va a quedar muy muy pequeño verdad así que el valor más grande corresponde a cuando restamos el valor más pequeño de x que en este caso digamos en un caso el límite sería -3 muy bien entonces si sustituimos menos 3 en esta expresión tendríamos 1 - menos 3 sería uno más 3 que es 4 verdad entonces el valor más grande que podemos alcanzar es 4 y no no lo alcanzamos exactamente verdad porque el menos 3 no está incluido solo nos podemos aproximar muchísimo al 4 ahora cuál sería el valor más chico que toma esta expresión pues justamente cuando x es el más grande verdad porque estaríamos restando un número muy grande un número muy grande y eso hace que esto en en total disminuya así que cuando tomamos el valor más grande que es 4 tendríamos 1 menos 4 sería menos 3 menos 3 y no está incluido verdad porque otra vez el 4 no está incluido en este intervalo y vamos digamos al último pedazo que tenemos 2 por x menos 11 entonces aquí nuevamente tenemos y que a medida que digamos x es más grande entonces estaremos sumando mucho quiere decir que el valor más grande que puede adoptar esta expresión es cuando x es igual a 6 verdad cuando x es igual a 6 tendremos 2 por 6 que son 12 menos 11 nos da 1 verdad nos da 1 pero aquí el 6 si lo estamos incluyendo así que el 1 si lo podemos alcanzar ahora bien cuál es el valor más pequeño que puede tomar esta expresión pues justamente cuando x toma el valor más pequeño que en este caso sería 4 verdad si sustituimos con el valor de 4 tendremos 2 por 4 que son 8 menos 11 que es menos 3 menos 3 y nuevamente este valor si lo incluimos porque el 4 también está incluido en el intervalo así que con esto ya podemos determinar el rango el rango es el conjunto de todos los valores que de x que son elementos de los números real tal que qué bueno pues podemos notar que gx puede ir desde menos 3 es el valor más chico que puede tomar verdad menos 3 es menor o igual está incluido que quede x y por ejemplo aquí podemos tomar valores desde menos 3 hasta 1 pero por ejemplo en la segunda parte podemos tomar también valores que incluyen menos 3 hasta 1 y de hecho hasta 4 pero por ejemplo en la primera parte podemos ir desde 1 hasta 4 verdad y uno no lo incluye aunque aquí si está incluido entonces realmente tenemos todos los valores posibles desde menos 3 hasta 4 y por supuesto el 4 está incluido porque aquí también lo estamos incluyendo el conjunto de valores que quede x puede tomar va desde menos 3 hasta 4 incluyendo los a los 2